Комплексное векторное расслоение

В математике комплексное векторное расслоение — это векторное расслоение , слоями которого являются комплексные векторные пространства .

Любое комплексное векторное расслоение можно рассматривать как действительное векторное расслоение посредством ограничения скаляров . И наоборот, любое действительное векторное расслоение E можно повысить до комплексного векторного расслоения, комплексификация

${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} ;}$

волокна которого E _x ⊗ _R C .

Любое комплексное векторное расслоение над паракомпактным пространством допускает эрмитову метрику .

Основным инвариантом комплексного векторного расслоения является класс Черна . Комплексное векторное расслоение канонически ориентировано ; в частности, можно взять его класс Эйлера .

Комплексное векторное расслоение является голоморфным векторным расслоением, если X является комплексным многообразием и если локальные тривиализации биголоморфны.

Сложная структура

Комплексное векторное расслоение можно рассматривать как действительное векторное расслоение с дополнительной структурой, комплексной структурой . По определению, комплексная структура — это отображение расслоения между действительным векторным расслоением E и собой:

${\displaystyle J:E\to E}$

так что J действует как квадратный корень i из −1 на волокнах: если — отображение на уровне волокон, то как линейное отображение. Если E — комплексное векторное расслоение, то комплексную структуру J можно определить, установив ее как скалярное умножение на . Наоборот, если E — действительное векторное расслоение с комплексной структурой J , то E можно превратить в комплексное векторное расслоение, установив: для любых действительных чисел a , b и действительного вектора v в волокне E _x , ${\displaystyle J_{x}:E_{x}\to E_{x}}$ ${\displaystyle J_{x}^{2}=-1}$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle (a+ib)v=av+J(bv).}$

Пример : Комплексная структура на касательном расслоении вещественного многообразия M обычно называется почти комплексной структурой . Теорема Ньюлендера и Ниренберга гласит, что почти комплексная структура J является «интегрируемой» в том смысле, что она индуцируется структурой комплексного многообразия тогда и только тогда, когда определенный тензор, включающий J, обращается в нуль.

Сопряженный пучок

Если E — комплексное векторное расслоение, то сопряженное расслоение E получается , если комплексные числа действуют через комплексно сопряженные числа. Таким образом, тождественное отображение базовых вещественных векторных расслоений: является сопряженно-линейным, а E и его сопряженное E изоморфны как вещественные векторные расслоения. ${\displaystyle {\overline {E}}}$ ${\displaystyle E_{\mathbb {R} }\to {\overline {E}}_{\mathbb {R} }=E_{\mathbb {R} }}$

k -й класс Черна определяется как ${\displaystyle {\overline {E}}}$

${\displaystyle c_{k}({\overline {E}})=(-1)^{k}c_{k}(E)}$.

В частности, E и E в общем случае не изоморфны.

Если E имеет эрмитову метрику, то сопряженное расслоение E изоморфно двойственному расслоению относительно метрики, которую мы записали для тривиального комплексного линейного расслоения. ${\displaystyle E^{*}=\operatorname {Hom} (E,{\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Если E — действительное векторное расслоение, то лежащее в основе действительное векторное расслоение комплексификации E является прямой суммой двух копий E :

${\displaystyle (E\otimes \mathbb {C} )_{\mathbb {R} }=E\oplus E}$

(поскольку V ⊗ _R C = V ⊕ i ‌ V для любого действительного векторного пространства V .) Если комплексное векторное расслоение E является комплексификацией действительного векторного расслоения E ' , то E ' называется действительной формой E ( может быть более одной действительной формы), а E называется определенным над действительными числами. Если E имеет действительную форму, то E изоморфно своему сопряженному (поскольку они оба являются суммой двух копий действительной формы), и, следовательно, нечетные классы Черна E имеют порядок 2.

Смотрите также

• Голоморфное векторное расслоение
• К-теория

Ссылки

• Милнор, Джон Уиллард ; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характеристические классы , Annals of Mathematics Studies, т. 76, Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN 978-0-691-08122-9