Вектор координат

Концепция линейной алгебры

В линейной алгебре координатный вектор — это представление вектора в виде упорядоченного списка чисел ( кортежа ), описывающего вектор в терминах определенного упорядоченного базиса . ^[1] Простым примером может служить позиция, такая как (5, 2, 1) в трехмерной декартовой системе координат с базисом в качестве осей этой системы. Координаты всегда указываются относительно упорядоченного базиса. Базисы и связанные с ними координатные представления позволяют конкретно реализовать векторные пространства и линейные преобразования как векторы-столбцы , векторы-строки и матрицы ; следовательно, они полезны в вычислениях.

Идею координатного вектора можно использовать и для бесконечномерных векторных пространств, как это рассматривается ниже.

Определение

Пусть V — векторное пространство размерности n над полем F и пусть

${\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}}$

быть упорядоченным базисом для V. Тогда для каждого существует уникальная линейная комбинация базисных векторов, которая равна : ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

Вектор координат относительно B представляет собой последовательность координат​ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle [v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}).}$

Это также называется представлением относительно B ${\displaystyle v}$ или представлением B ${\displaystyle v}$ . Они называются координатами . Порядок базиса здесь становится важным, поскольку он определяет порядок, в котором коэффициенты перечислены в координатном векторе. ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle v}$

Координатные векторы конечномерных векторных пространств могут быть представлены матрицами как векторы столбцов или строк . В приведенных выше обозначениях можно записать

${\displaystyle [v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle [v]_{B}^{T}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

где — транспонированная матрица . ${\displaystyle [v]_{B}^{T}}$ ${\displaystyle [v]_{B}}$

Стандартное представление

Мы можем механизировать вышеуказанное преобразование, определив функцию , называемую стандартным представлением V относительно B , которая переводит каждый вектор в его координатное представление: . Тогда — линейное преобразование из V в F ⁿ . Фактически, это изоморфизм , а его обратное — это просто ${\displaystyle \phi _{B}}$ ${\displaystyle \phi _{B}(v)=[v]_{B}}$ ${\displaystyle \phi _{B}}$ ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}:F^{n}\to V}$

${\displaystyle \phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

В качестве альтернативы мы могли бы изначально определить как указанную выше функцию, понять, что это изоморфизм, и определить как ее обратную. ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$ ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$ ${\displaystyle \phi _{B}}$

Примеры

Пример 1

Пусть будет пространством всех алгебраических многочленов степени не выше 3 (т.е. наивысший показатель степени x может быть равен 3). Это пространство линейно и охватывается следующими многочленами: ${\displaystyle P_{3}}$

${\displaystyle B_{P}=\left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}}$

соответствие

${\displaystyle 1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

тогда координатный вектор, соответствующий полиному

${\displaystyle p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}}$

является

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}.}$

Согласно этому представлению, оператор дифференцирования d / dx , который мы обозначим D, будет представлен следующей матрицей :

${\displaystyle Dp(x)=P'(x);\quad [D]={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

Используя этот метод, можно легко исследовать свойства оператора, такие как: обратимость , эрмитовость или антиэрмитовость или ни то, ни другое , спектр и собственные значения и многое другое.

Пример 2

Матрицы Паули , которые представляют оператор спина при преобразовании собственных состояний спина в векторные координаты.

Базисная матрица преобразования

Пусть B и C — два различных базиса векторного пространства V , и обозначим матрицей , столбцы которой состоят из C -представления базисных векторов b ₁ , b ₂ , …, b _n : ${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}}$

${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}}$

Эта матрица называется базисной матрицей преобразования из B в C. Ее можно рассматривать как автоморфизм над . Любой вектор v, представленный в B, может быть преобразован в представление в C следующим образом: ${\displaystyle F^{n}}$

${\displaystyle \lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.}$

При преобразовании базиса обратите внимание, что верхний индекс на матрице преобразования, M , и нижний индекс на векторе координат, v , одинаковы и, по-видимому, отменяются, оставляя оставшийся нижний индекс. Хотя это может служить для запоминания, важно отметить, что никакого такого сокращения или подобной математической операции не происходит.

Следствие

Матрица M является обратимой матрицей , а M ⁻¹ является базисной матрицей преобразования из C в B. Другими словами,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Id} &=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack M\rbrack _{B}^{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{C}\\[3pt]&=\lbrack M\rbrack _{B}^{C}\lbrack M\rbrack _{C}^{B}=\lbrack M\rbrack _{B}^{B}\end{aligned}}}$

Бесконечномерные векторные пространства

Предположим, что V — бесконечномерное векторное пространство над полем F. Если размерность равна κ , то существует некоторый базис из κ элементов для V. После выбора порядка базис можно считать упорядоченным базисом. Элементы V — это конечные линейные комбинации элементов в базисе, которые приводят к уникальным представлениям координат, как описано ранее. Единственное изменение заключается в том, что набор индексов для координат не является конечным. Поскольку заданный вектор v — это конечная линейная комбинация базисных элементов, единственными ненулевыми элементами вектора координат для v будут ненулевые коэффициенты линейной комбинации, представляющей v . Таким образом, вектор координат для v равен нулю, за исключением конечного числа элементов.

Линейные преобразования между (возможно) бесконечномерными векторными пространствами можно моделировать, аналогично конечномерному случаю, с помощью бесконечных матриц . Частный случай преобразований из V в V описан в статье о полном линейном кольце .

Смотрите также

• Изменение основы
• Координатное пространство

Ссылки

1. Howard Anton; Chris Rorres (12 апреля 2010 г.). Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1.