Логарифмическая линейка

Механический аналоговый компьютер

Типичная десятидюймовая (25 см) ученическая логарифмическая линейка (Pickett N902-T simplex trig)

Логарифмическая линейка — это ручной механический калькулятор, состоящий из подвижных линеек для оценки математических операций, таких как умножение , деление , возведение в степень , корень , логарифмирование и тригонометрия . Это один из простейших аналоговых компьютеров . ^{[1] [2]}

Логарифмические линейки существуют в разнообразном диапазоне стилей и обычно имеют линейную, круглую или цилиндрическую форму. Логарифмические линейки, изготовленные для специализированных областей, таких как авиация или финансы, обычно имеют дополнительные шкалы, которые помогают в специализированных вычислениях, характерных для этих областей. Логарифмическая линейка тесно связана с номограммами, используемыми для вычислений, связанных с конкретными приложениями. Хотя по названию и внешнему виду логарифмическая линейка похожа на стандартную линейку , логарифмическая линейка не предназначена для измерения длины или рисования прямых линий. Она также не предназначена для сложения или вычитания, которые обычно выполняются с использованием других методов, например, с использованием счетов . Максимальная точность стандартных линейных логарифмических линеек составляет около трех значащих десятичных цифр, в то время как для отслеживания порядка величины результатов используется научная запись .

Английский математик и священнослужитель преподобный Уильям Отред и другие разработали логарифмическую линейку в 17 веке на основе новой работы Джона Нейпира о логарифмах . Она сделала вычисления более быстрыми и менее подверженными ошибкам, чем оценка на бумаге . До появления научного карманного калькулятора это был наиболее часто используемый инструмент для вычислений в науке и технике . ^[3] Простота использования логарифмической линейки, ее доступность и низкая стоимость привели к тому, что ее использование продолжало расти в течение 1950-х и 1960-х годов, даже когда постепенно внедрялись настольные электронные компьютеры . Но после того, как в 1972 году был представлен карманный научный калькулятор , который стал недорогим в середине 1970-х годов, логарифмические линейки в значительной степени устарели , поэтому большинство поставщиков покинули этот бизнес.

В Соединенных Штатах логарифмическую линейку в разговорной речи называют линейкой . ^{[4] [5]}

Основные понятия

Простая логарифмическая линейка, сделанная из карточек, на которых отмечены степени числа 2, вычисляет 8x4, выравнивая нижнюю линейку так, чтобы она начиналась там, где на верхней линейке стоит 8, а затем считывая значение с числа, находящегося выше, где на нижней линейке стоит 4.

Каждая шкала линейки имеет градуировки , помеченные предварительно вычисленными выходами различных математических функций , действуя как таблица поиска , которая отображает положение на линейке как вход каждой функции. Вычисления, которые можно свести к простому сложению или вычитанию с использованием этих предварительно вычисленных функций, можно решить, выровняв две линейки и прочитав приблизительный результат.

Например, число, которое нужно умножить на одной логарифмической линейке , можно выровнять с началом другой такой линейки, чтобы суммировать их логарифмы. Затем, применяя закон логарифма произведения , можно прочитать произведение двух чисел. Более сложные логарифмические линейки могут выполнять другие вычисления, такие как квадратные корни , экспоненты , логарифмы и тригонометрические функции .

Пользователь может оценить местоположение десятичной точки в результате, мысленно интерполируя между помеченными градуировками. Научная нотация используется для отслеживания десятичной точки для более точных вычислений. Шаги сложения и вычитания в вычислениях обычно выполняются в уме или на бумаге, а не на логарифмической линейке.

Компоненты

Курсор на логарифмической линейке

Большинство логарифмических линеек состоят из трех частей:

• Рама или основание – две полосы одинаковой длины, расположенные параллельно с зазором между ними.
• Салазки — центральная полоса, соединенная с рамой и способная перемещаться в продольном направлении относительно рамы.
• Направляющая или стекло — наружная раздвижная деталь с волосяной линией, также известная как «курсор».

Некоторые логарифмические линейки (модели «дуплекс») имеют шкалы с обеих сторон линейки и полосы слайдов, другие — с одной стороны внешних полос и с обеих сторон полосы слайдов (которую обычно можно вытащить, перевернуть и вставить обратно для удобства), третьи — только с одной стороны (линейки «симплекс»). Скользящий курсор с вертикальной линией выравнивания используется для поиска соответствующих точек на шкалах, которые не соседствуют друг с другом или, в моделях «дуплекс», находятся с другой стороны линейки. Курсор также может записывать промежуточный результат на любой из шкал.

Десятилетия

Шкалы могут быть сгруппированы в декады , где каждая декада соответствует диапазону чисел, охватывающему отношение 10 (т. е. диапазон от 10 ⁿ до 10 ^{n +1} ). Например, диапазон от 1 до 10 является одной декадой, а диапазон от 10 до 100 является другой декадой. Таким образом, однодекадные шкалы (называемые C и D) имеют диапазон от 1 до 10 по всей длине логарифмической линейки, в то время как двухдекадные шкалы (называемые A и B) имеют диапазон от 1 до 100 по всей длине логарифмической линейки.

Операция

Логарифмические шкалы

Следующие логарифмические тождества преобразуют операции умножения и деления в сложение и вычитание соответственно:

$${\displaystyle \log(x\times y)=\log(x)+\log(y)\,,}$$ $${\displaystyle \log(x/y)=\log(x)-\log(y)\,.}$$

Умножение

При наличии двух логарифмических шкал действие по размещению верхней шкалы для начала с метки нижней шкалы соответствует смещению верхней логарифмической шкалы на расстояние . Это выравнивает номер каждой верхней шкалы в позиции offset с номером нижней шкалы в позиции . Поскольку , отметка на нижней шкале в этой позиции соответствует . Например, при x=2 и y=3 , размещая верхнюю шкалу для начала с метки нижней шкалы 2 , результат умножения 3×2=6 можно прочитать на нижней шкале под меткой верхней шкалы 3 : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \log(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \log(y)}$ ${\displaystyle \log(x)+\log(y)}$ ${\displaystyle \log(x)+\log(y)=\log(x\times y)}$ ${\displaystyle x\times y}$

Хотя приведенный выше пример находится в пределах одной декады, пользователи должны мысленно учитывать дополнительные нули при работе с несколькими декадами. Например, ответ на 7×2=14 находится, сначала расположив верхнюю шкалу так, чтобы она начиналась над 2 нижней шкалы, а затем считав отметку 1,4 с нижней двухдекадной шкалы, где 7 находится на верхней шкале:

Но поскольку 7 находится над вторым набором цифр, это число необходимо умножить на 10. Таким образом, даже если ответ напрямую читается как 1,4 , правильный ответ — 1,4×10 = 14 .

Для примера с еще большими числами, чтобы умножить 88×20 , верхняя шкала снова устанавливается так, чтобы начинаться с 2 на нижней шкале. Поскольку 2 представляет 20 , все числа в этой шкале умножаются на 10. Таким образом, любой ответ во втором наборе чисел умножается на 100. Поскольку 8,8 в верхней шкале представляет 88 , ответ необходимо дополнительно умножить на 10. Ответ напрямую читается как 1,76 . Умножьте на 100 , а затем на 10 , чтобы получить фактический ответ: 1760 .

В общем, 1 сверху перемещается в фактор внизу, и ответ считывается снизу, где другой фактор находится сверху. Это работает, потому что расстояния от отметки 1 пропорциональны логарифмам отмеченных значений.

Разделение

На рисунке ниже показано вычисление ⁠5.5/2⁠ . 2 на верхней шкале помещается над 5,5 на нижней шкале. Полученное частное, 2,75 , затем можно прочитать под 1 на верхней шкале :

Существует несколько методов деления, и метод, представленный здесь, имеет то преимущество, что конечный результат не может выйти за пределы шкалы, поскольку есть возможность использовать 1 на любом конце.

При более сложных вычислениях, включающих несколько факторов в числителе и знаменателе выражения, движение весов можно минимизировать путем чередования делений и умножений. Таким образом ⁠5,5×3/2⁠ будет вычисляться как ⁠5.5/2⁠ ×3 и результат 8,25 можно прочитать под цифрой 3 на верхней шкале на рисунке выше, без необходимости регистрировать промежуточный результат для ⁠5.5/2⁠ .

Решение пропорций

Поскольку пары чисел, выровненные на логарифмической шкале, образуют постоянные соотношения, независимо от смещения шкал, логарифмические линейки можно использовать для создания эквивалентных дробей, решающих задачи на пропорции и проценты.

Например, установив 7,5 на одной шкале над 10 на другой шкале, пользователь может увидеть, что в то же время 1,5 над 2, 2,25 над 3, 3 над 4, 3,75 над 6, 4,5 над 6, а 6 над 8, среди прочих пар. Для реальной ситуации, где 750 представляет собой целых 100%, эти показания можно интерпретировать так, что 150 составляет 20%, 225 — 30%, 300 — 40%, 375 — 50%, 450 — 60%, а 600 — 80%.

Другие весы

Эта логарифмическая линейка установлена ​​так, чтобы выдавать несколько значений: от шкалы C к шкале D (умножить на 2), от шкалы D к шкале C (делить на 2), шкалы A и B (умножить и разделить на 4), шкалы A и D (квадраты и квадратные корни).

В дополнение к логарифмическим шкалам, некоторые логарифмические линейки имеют другие математические функции, закодированные на других вспомогательных шкалах. Наиболее популярными являются тригонометрические , обычно синус и тангенс , десятичный логарифм (log 10 ) (для взятия логарифма значения на шкале множителя), натуральный логарифм (ln) и экспоненциальная ( e ^x ) шкала. Другие имеют шкалы для вычисления гиперболических функций . В линейных линейках шкалы и их маркировка в высокой степени стандартизированы, причем вариации обычно происходят только с точки зрения того, какие шкалы включены и в каком порядке. ^[6]

Бинарная логарифмическая линейка, изготовленная Жильсоном в 1931 году, выполняла функции сложения и вычитания, ограниченные дробями. ^[7]

Корни и силы

Существуют однодекадные (C и D), двухдекадные (A и B) и трехдекадные (K) шкалы. Например, чтобы вычислить, найдите x на шкале D и считайте его квадрат на шкале A. Инвертирование этого процесса позволяет находить квадратные корни, и аналогично для степеней 3, 1/3, 2/3 и 3/2. Необходимо соблюдать осторожность, когда основание x находится более чем в одном месте на своей шкале. Например, на шкале A есть две девятки; чтобы найти квадратный корень из девяти, используйте первую; вторая дает квадратный корень из 90. ${\displaystyle x^{2}}$

Для решения задач используйте шкалы LL. Если есть несколько шкал LL, используйте ту, на которой есть x . Сначала совместите самую левую 1 на шкале C с x на шкале LL. Затем найдите y на шкале C и спуститесь к шкале LL с x на ней. Эта шкала укажет ответ. Если y «за пределами шкалы», найдите и возведите его в квадрат с помощью шкал A и B, как описано выше. В качестве альтернативы используйте самую правую 1 на шкале C и считайте ответ со следующей более высокой шкалы LL. Например, совместив самую правую 1 на шкале C с 2 на шкале LL2, 3 на шкале C совпадет с 8 на шкале LL3. ${\displaystyle x^{y}}$ ${\displaystyle x^{y/2}}$

Чтобы извлечь кубический корень с помощью логарифмической линейки только со шкалами C/D и A/B, совместите 1 на курсоре B с базовым числом на шкале A (как всегда, соблюдая различие между нижней и верхней половинами шкалы A). Перемещайте ползунок до тех пор, пока число на шкале D, которое находится против 1 на курсоре C, не совпадет с числом на курсоре B, которое находится против базового числа на шкале A. (Примеры: A 8, B 2, C 1, D 2; A 27, B 3, C 1, D 3.)

Корни квадратных уравнений

Квадратные уравнения вида можно решить, сначала приведя уравнение к виду (где и ), а затем выровняв индекс («1») шкалы C со значением на шкале D. Затем курсор перемещается по линейке до тех пор, пока не будет найдено положение, в котором числа на шкалах CI и D в сумме составят . Эти два значения являются корнями уравнения. ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ${\displaystyle x^{2}-px+q=0}$ ${\displaystyle p=-b/a}$ ${\displaystyle q=c/a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

Будущая стоимость денег

Шкалы LLN можно использовать для вычисления и сравнения стоимости или доходности кредита с фиксированной ставкой или инвестиций. Самый простой случай — непрерывно начисляемые проценты. Пример: Взяв D в качестве процентной ставки в процентах, сдвиньте индекс («1» на правом или левом конце шкалы) C к проценту на D. Соответствующее значение на LL2 непосредственно под индексом будет множителем для 10 циклов процентов (обычно лет). Значение на LL2 ниже 2 на шкале C будет множителем после 20 циклов и т. д.

Тригонометрия

Шкалы S, T и ST используются для тригонометрических функций и кратных им функций для углов в градусах.

Для углов от 5,7 до 90 градусов синусы находятся путем сравнения шкалы S со шкалой C (или D). (Во многих правилах замкнутого тела шкала S относится к шкалам A и B и охватывает углы от 0,57 до 90 градусов; то, что следует, должно быть соответствующим образом скорректировано.) Шкала S имеет второй набор углов (иногда другого цвета), которые идут в противоположном направлении и используются для косинусов. Тангенсы находятся путем сравнения шкалы T со шкалой C (или D) для углов меньше 45 градусов. Для углов больше 45 градусов используется шкала CI. Распространенные формы, такие как можно прочитать непосредственно из x на шкале S в результат на шкале D, когда индекс шкалы C установлен на  k . Для углов ниже 5,7 градусов синусы, тангенсы и радианы приблизительно равны и находятся на шкале ST или SRT (синусы, радианы и тангенсы) или просто делятся на 57,3 градуса/ радиан . Обратные тригонометрические функции находятся путем обратного процесса. ${\displaystyle k\sin x}$

На многих логарифмических линейках имеются шкалы S, T и ST, отмеченные градусами и минутами (например, некоторые модели Keuffel и Esser (например, модели Doric duplex 5"), последние модели линеек Teledyne-Post Mannheim). В так называемых моделях decitrig вместо этого используются десятичные доли градусов.

Логарифмы и экспоненты

Логарифмы и экспоненты по основанию 10 вычисляются с использованием шкалы L, которая является линейной. Некоторые логарифмические линейки имеют шкалу Ln, которая предназначена для основания e. Логарифмы по любому другому основанию можно вычислить, выполнив обратную процедуру вычисления степеней числа. Например, значения log2 можно определить, выстроив в ряд либо самую левую, либо самую правую 1 на шкале C, либо 2 на шкале LL2, найдя число, логарифм которого необходимо вычислить на соответствующей шкале LL, и считав значение log2 на шкале C.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание обычно не выполняются на логарифмических линейках, но возможны с использованием одного из следующих двух методов: ^[8]

1. Преобразование сложения и вычитания в деление (требуется для шкал C и D или сопоставимых):
   • Использует тождество , согласно которому частное двух переменных плюс (или минус) один, умноженный на делитель, равно их сумме (или разности): $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {x}{y}}+1\right)y&=x+y\,{\text{ (addition)}},\\\left({\frac {x}{y}}-1\right)y&=x-y\,{\text{ (subtraction)}}.\end{aligned}}}$$
   • Это похоже на технику сложения/вычитания, используемую для высокоскоростных электронных схем с логарифмической системой счисления в специализированных компьютерных приложениях, таких как суперкомпьютер Gravity Pipe (GRAPE) и скрытые марковские модели .
2. Используя линейную шкалу L (доступную в некоторых моделях):
   • После перемещения курсора вправо (для сложения) или влево (для вычитания) и возврата ползунка в положение 0 можно прочитать результат.

Обобщения

Квадратичные и обратные шкалы

Используя (почти) любые строго монотонные шкалы , другие вычисления также могут быть выполнены одним движением. ^{[9] [10]} Например, обратные шкалы могут быть использованы для равенства (вычисления параллельных сопротивлений , среднего гармонического и т. д.), а квадратичные шкалы могут быть использованы для решения . ${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {1}{z}}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

Физический дизайн

Стандартные линейные правила

Учебная логарифмическая линейка длиной 7 футов (2,1 м) в сравнении с моделью обычного размера

Ширина логарифмической линейки указывается в терминах номинальной ширины шкал. Шкалы на самых распространенных моделях «10 дюймов» на самом деле составляют 25 см, поскольку они были сделаны по метрическим стандартам, хотя некоторые линейки предлагают слегка расширенные шкалы для упрощения манипуляций, когда результат выходит за пределы. Карманные линейки обычно имеют длину 5 дюймов (12 см). Модели шириной в пару метров (ярдов) были сделаны для подвешивания в классах в учебных целях. ^[11]

Обычно деления отмечают шкалу с точностью до двух значащих цифр , а пользователь оценивает третью цифру. Некоторые высококачественные логарифмические линейки имеют курсоры-лупы, которые делают отметки более заметными. Такие курсоры могут эффективно удваивать точность показаний, позволяя использовать 10-дюймовую логарифмическую линейку так же хорошо, как и 20-дюймовую.

Были разработаны различные другие удобства. Тригонометрические шкалы иногда имеют двойную маркировку, черного и красного цвета, с дополнительными углами, так называемый стиль «Дармштадта». Двойные логарифмические линейки часто дублируют некоторые шкалы на обратной стороне. Шкалы часто «разделяются» для получения более высокой точности. Например, вместо того, чтобы читать от шкалы A к шкале D, чтобы найти квадратный корень, может быть возможно читать от шкалы D к шкале R1, идущей от 1 до квадратного корня из 10, или к шкале R2, идущей от квадратного корня из 10 до 10, где наличие большего количества отмеченных подразделов может привести к возможности прочитать ответ с еще одной значащей цифрой.

Круглые логарифмические линейки

Круглые логарифмические линейки бывают двух основных типов: с двумя курсорами и со свободной тарелкой и одним курсором. Версии с двумя курсорами выполняют умножение и деление, удерживая постоянный угол между курсорами, когда они вращаются вокруг циферблата. Версия с одним курсором работает больше как стандартная логарифмическая линейка за счет соответствующего выравнивания шкал.

Основное преимущество круглой логарифмической линейки заключается в том, что самый широкий размер инструмента был уменьшен примерно в 3 раза (т. е. на π ). Например, круглая линейка длиной 10 см (3,9 дюйма) будет иметь максимальную точность, приблизительно равную обычной логарифмической линейке длиной 31,4 см (12,4 дюйма). Круглые логарифмические линейки также устраняют «внемасштабные» вычисления, поскольку шкалы были разработаны для «оборачивания»; их никогда не нужно переориентировать, когда результаты близки к 1,0 — линейка всегда находится на шкале. Однако для нециклических неспиральных шкал, таких как S, T и LL, ширина шкалы сужена, чтобы освободить место для конечных полей. ^[12]

Круглые логарифмические линейки механически более прочные и плавно перемещаются, но точность выравнивания их шкалы чувствительна к центрированию центрального шарнира; незначительное отклонение от центра шарнира на 0,1 мм (0,0039 дюйма) может привести к ошибке выравнивания в 0,2 мм (0,0079 дюйма) в худшем случае. Шарнир предотвращает царапание циферблата и курсоров. Шкалы наивысшей точности размещены на внешних кольцах. Вместо «раздельных» шкал, высококачественные круговые линейки используют спиральные шкалы для более сложных операций, таких как шкалы логарифма. Одна восьмидюймовая круговая линейка премиум-класса имела 50-дюймовую спиральную шкалу логарифма. Около 1970 года недорогая модель от BC Boykin (модель 510) имела 20 шкал, включая 50-дюймовые шкалы CD (умножение) и логарифмические шкалы. RotaRule имела фрикционный тормоз для курсора.

Главными недостатками круглых логарифмических линеек являются сложность размещения фигур вдоль тарелки и ограниченное количество шкал. Другим недостатком круглых логарифмических линеек является то, что менее важные шкалы находятся ближе к центру и имеют меньшую точность. Большинство студентов изучали использование логарифмических линеек на линейных логарифмических линейках и не нашли причин для перехода.

Одна из логарифмических линеек, которая по-прежнему используется ежедневно во всем мире, — это E6B . Это круглая логарифмическая линейка, впервые созданная в 1930-х годах для пилотов самолетов, чтобы помочь им в точных расчетах . С помощью шкал, напечатанных на раме, она также помогает в таких разнообразных задачах, как преобразование значений времени, расстояния, скорости и температуры, погрешностей компаса и расчет расхода топлива. Так называемое «молитвенное колесо» все еще доступно в летных магазинах и остается широко используемым. В то время как GPS сократил использование точных расчетов для воздушной навигации, а карманные калькуляторы взяли на себя многие из его функций, E6B по-прежнему широко используется в качестве основного или резервного устройства, и большинство летных школ требуют, чтобы их студенты имели определенную степень мастерства в его использовании.

Колеса пропорций — это простые круговые линейки, используемые в графическом дизайне для расчета пропорций . Выравнивание исходных и желаемых значений размера на внутренних и внешних колесах отобразит их соотношение в процентах в небольшом окне. Хотя они и не так распространены с появлением компьютерной компоновки, их все еще производят и используют. ^{[ необходима цитата ]}

В 1952 году швейцарская часовая компания Breitling представила наручные часы для пилотов со встроенной круговой логарифмической линейкой, предназначенной для расчетов полета: Breitling Navitimer . Круговая линейка Navitimer, которую Breitling называл «навигационным компьютером», имела функции измерения скорости полета , скорости /времени набора/снижения, времени полета, расстояния и расхода топлива, а также функции преобразования километра в морскую милю и галлона в литр.

• 
  Простая круговая логарифмическая линейка, произведенная Concise Co., Ltd., Токио, Япония, только с обратной, квадратной и кубической шкалами. На обороте — удобный список из 38 коэффициентов перевода метрических / имперских единиц .
• 
  Русская круглая логарифмическая линейка, выполненная в виде карманных часов, которая работает как логарифмическая линейка с одним курсором, поскольку две стрелки соединены вместе.
• 
  Двухшкальная логарифмическая линейка, встроенная в кольцо
• 
  Круглая логарифмическая линейка Пикетта с двумя курсорами. (Ширина 4,25 дюйма/10,9 см). Обратная сторона имеет дополнительную шкалу и один курсор.
• 
  Наручные часы Breitling Navitimer с круглой логарифмической линейкой
• 
  Передняя сторона Boykin RotaRule Model 510
• 
  Задняя сторона Boykin RotaRule Model 510
• 
  Карманный калькулятор Sperry 4016

Цилиндрические логарифмические линейки

Существует два основных типа цилиндрических логарифмических линеек: с винтовыми шкалами, такие как калькулятор Fuller , логарифмическая линейка Otis King и Bygrave , и с линейками, такие как Thacher и некоторые модели Loga. В любом случае преимуществом является гораздо более длинная шкала, а значит, потенциально большая точность, чем у прямой или круглой линейки.

• 
  Калькулятор Фуллера, 1928 г.
• 
  Отис Кинг Модель К
• 
  Логарифмическая линейка Байгрейва
• 
  Логарифмическая линейка Тэчера, ок.  1890 г.

Материалы

Традиционно логарифмические линейки изготавливались из твердой древесины, такой как красное дерево или самшит, с курсорами из стекла и металла. По крайней мере один высокоточный инструмент был изготовлен из стали.

В 1895 году японская фирма Hemmi начала производить логарифмические линейки из бамбука, покрытого целлулоидом , который имел такие преимущества, как стабильность размеров, прочность и естественную самосмазываемость. Эти бамбуковые логарифмические линейки были представлены в Швеции в сентябре 1933 года ^[13] и, вероятно, немного раньше в Германии.

Шкалы также изготавливались из целлулоида или других полимеров, или печатались на алюминии. Позднее курсоры формовались из акрила или поликарбоната , иногда с тефлоновыми опорными поверхностями.

Все премиальные логарифмические линейки имели глубоко выгравированные цифры и шкалы, а затем заполненные краской или другой смолой . Окрашенные или отпечатанные логарифмические линейки считались второсортными, поскольку маркировка могла стереться или быть химически повреждена. Тем не менее, Pickett, американская компания по производству логарифмических линеек, производила только отпечатанные логарифмические линейки. Премиальные логарифмические линейки включали в себя умные механические защелки, чтобы линейка не разваливалась случайно, и бамперы для защиты шкал и курсора от трения о столешницы.

История

Уильям Отред (1575–1660), изобретатель логарифмической линейки

Иллюстрация логарифмической линейки 1763 года

Логарифмическая линейка была изобретена около 1620–1630 годов, вскоре после публикации Джоном Непером концепции логарифма . В 1620 году Эдмунд Гюнтер из Оксфорда разработал вычислительное устройство с одной логарифмической шкалой; с дополнительными измерительными инструментами его можно было использовать для умножения и деления. ^[14] Около 1622 года Уильям Отред из Кембриджа объединил две ручные линейки Гюнтера , чтобы создать устройство, которое легко узнать как современную логарифмическую линейку. ^[15] Отред оказался вовлечённым в яростную полемику о приоритете со своим бывшим учеником Ричардом Деламейном и предыдущими претензиями Уингейта. Идеи Отреда были обнародованы только в публикациях его ученика Уильяма Форстера в 1632 и 1653 годах.

В 1677 году Генри Коггесхолл создал складную линейку длиной в два фута для измерения древесины, названную логарифмической линейкой Коггесхолла , расширив сферу применения логарифмической линейки за пределы математических исследований.

В 1722 году Уорнер ввел двух- и трехдекадные шкалы, а в 1755 году Эверард включил перевернутую шкалу; логарифмическая линейка, содержащая все эти шкалы, обычно известна как «полифазная» линейка.

В 1815 году Питер Марк Роже изобрел логарифмическую линейку, которая включала шкалу, отображающую логарифм логарифма. Это позволяло пользователю напрямую выполнять вычисления с корнями и показателями степени. Это было особенно полезно для дробных степеней.

В 1821 году Натаниэль Боудич описал в « Американском практическом навигаторе» «скользящую линейку», которая содержала масштабированные тригонометрические функции на неподвижной части и линию логарифмических синусов и логарифмических тангенсов на ползунке, используемую для решения навигационных задач.

В 1845 году Пол Кэмерон из Глазго представил морскую логарифмическую линейку, способную отвечать на навигационные вопросы, включая прямое восхождение и склонение солнца и основных звезд. ^[16]

Современная форма

Инженер использует логарифмическую линейку на фоне механического калькулятора, середина 20 века.

Более современная форма логарифмической линейки была создана в 1859 году французским артиллерийским лейтенантом Амедеем Мангеймом , которому повезло и то, что его линейка была изготовлена ​​фирмой с национальной репутацией, и то, что ее приняла французская артиллерия. Линейка Мангейма имела две основные модификации, которые сделали ее более простой в использовании, чем предыдущие универсальные логарифмические линейки. Такие линейки имели четыре основные шкалы: A, B, C и D, а D была единственной однодекадной логарифмической шкалой; C имела две декады, как A и B. Большинство операций выполнялось на шкалах A и B; D использовалась только для нахождения квадратов и квадратных корней.

Мангейм изменил шкалу C на однодекадную и выполнил большинство операций с C и D вместо A и B. Поскольку шкалы C и D были однодекадными, их можно было читать точнее, поэтому результаты правила могли быть более точными. Изменение также упростило включение квадратов и квадратных корней в качестве части более крупного вычисления. Правило Мангейма также имело курсор, в отличие от почти всех предыдущих правил, поэтому любую из шкал можно было легко и точно сравнивать по ширине линейки. «Правило Мангейма» стало стандартным устройством логарифмической линейки для конца 19 века и оставалось общим стандартом на протяжении всей эпохи логарифмических линеек.

Рост инженерной профессии в конце 19 века привел к широкому использованию логарифмической линейки, которая началась в Европе и в конечном итоге распространилась и на Соединенные Штаты. Дуплексная линейка была изобретена Уильямом Коксом в 1891 году и была произведена компанией Keuffel and Esser Co. из Нью-Йорка. ^{[17] [18]}

В 1881 году американский изобретатель Эдвин Тэчер представил свою цилиндрическую линейку, которая имела гораздо большую шкалу, чем стандартные линейные линейки, и, таким образом, могла производить вычисления с большей точностью, около четырех-пяти значащих цифр. Однако линейка Тэчера была довольно дорогой, а также непереносимой, поэтому ее использовали в гораздо более ограниченном количестве, чем обычные логарифмические линейки.

Астрономическая работа также требовала точных вычислений, и в Германии 19 века в одной обсерватории использовалась стальная логарифмическая линейка длиной около двух метров. К ней был прикреплен микроскоп, что давало точность до шести знаков после запятой. ^{[ необходима цитата ]}

В 1920-х годах писатель и инженер Невил Шут Норвегия (он назвал свою автобиографию Slide Rule ) был главным расчетчиком при проектировании британского дирижабля R100 для Vickers Ltd. с 1924 года. Расчеты напряжений для каждой поперечной рамы требовали вычислений парой калькуляторов (людей) с использованием цилиндрических логарифмических линеек Фуллера в течение двух или трех месяцев. Одновременное уравнение содержало до семи неизвестных величин, требовало около недели для решения и должно было повторяться с другим набором провисающих проводов, если предположение о том, какой из восьми радиальных проводов провисал, было неверным, а один из проводов, предположительно провисавших, не провисал. После месяцев труда по заполнению, возможно, пятидесяти листов писчей бумаги расчетами «истина была раскрыта (и) вызывала удовлетворение, почти равное религиозному опыту». ^[19]

В 1937 году физик Люси Хейнер спроектировала и построила круглую логарифмическую линейку со шрифтом Брайля . ^[20]

На протяжении 1950-х и 1960-х годов логарифмическая линейка была символом профессии инженера, так же как стетоскоп является символом профессии врача. ^[21]

Алюминиевые логарифмические линейки Pickett использовались в космических миссиях проекта Apollo . Модель N600-ES, принадлежавшая Баззу Олдрину , которая летала с ним на Луну на Apollo 11, была продана на аукционе в 2007 году. ^[22] Модель N600-ES, взятая с собой на Apollo 13 в 1970 году, принадлежит Национальному музею авиации и космонавтики . ^[23]

Некоторые студенты-инженеры и инженеры носили десятидюймовые логарифмические линейки в поясных кобурах, что было обычным явлением в кампусах даже в середине 1970-х годов. До появления карманного цифрового калькулятора студенты также могли держать десяти- или двадцатидюймовую линейку для точной работы дома или в офисе ^[24], одновременно нося с собой пятидюймовую карманную логарифмическую линейку.

В 2004 году исследователи образования Дэвид Б. Шер и Дин К. Натаро придумали новый тип логарифмической линейки, основанный на простефаэрезисе , алгоритме для быстрого вычисления продуктов, который предшествовал логарифмам. Однако, не было большого практического интереса к созданию чего-либо, кроме первоначального прототипа. ^[25]

Специализированные калькуляторы

Логарифмические линейки часто были специализированы в той или иной степени для их области использования, например, акцизы, расчеты доказательств, инженерия, навигация и т. д., а некоторые логарифмические линейки чрезвычайно специализированы для очень узких приложений. Например, в каталоге John Rabone & Sons 1892 года указана «Измерительная лента и весовой датчик для крупного рогатого скота», устройство для оценки веса коровы по ее измерениям.

Существовало множество специализированных линеек для фотографических приложений. Например, актинограф Хертера и Дриффилда представлял собой двухслайдовое устройство из самшита, латуни и картона для оценки экспозиции в зависимости от времени суток, времени года и широты.

Специализированные логарифмические линейки были изобретены для различных форм инженерии, бизнеса и банковского дела. Они часто имели общие вычисления, напрямую выраженные в виде специальных шкал, например, расчеты кредита, оптимальные объемы покупки или особые инженерные уравнения. Например, компания Fisher Controls распространяла специализированную логарифмическую линейку, адаптированную для решения уравнений, используемых для выбора правильного размера промышленных клапанов управления потоком. ^[26]

Логарифмические линейки для шаров-пилотов использовались метеорологами в метеорологических службах для определения скорости ветра на высотах с помощью восходящего шара-пилота, наполненного водородом или гелием. ^[27]

E6 -B — круглая логарифмическая линейка, используемая пилотами и штурманами.

Круговые логарифмические линейки для оценки дат овуляции и фертильности известны как колесные калькуляторы . ^[28]

В печально известной публикации Министерства обороны от 1962 года ^[29] была представлена ​​специальная круговая логарифмическая линейка для расчета эффектов взрыва, избыточного давления и воздействия радиации при заданной мощности атомной бомбы. ^[30]

• 
  Авиационный компьютер E6-B
• 
  John Rabone & Sons 1892 измеритель для скота
• 
  Актинограф Хертера и Дриффилда
• 
  Криптографическая логарифмическая линейка, использовавшаяся швейцарской армией в 1914—1940 годах.
• 
  Редкий дробный сумматор

Отклонить

Научный калькулятор TI -30 , представленный в 1976 году по цене менее 25 долларов США.

Значение логарифмической линейки начало уменьшаться по мере того, как электронные компьютеры, новый, но редкий ресурс в 1950-х годах, стали более широко доступны техническим работникам в 1960-х годах.

Первым шагом от логарифмических линеек стало появление относительно недорогих электронных настольных научных калькуляторов. К ним относятся Wang Laboratories LOCI-2, ^{[31] [32],} представленный в 1965 году, который использовал логарифмы для умножения и деления; и Hewlett-Packard HP 9100A , представленный в 1968 году. ^[33] Оба они были программируемыми и обеспечивали экспоненциальные и логарифмические функции; HP также имел тригонометрические функции (синус, косинус и тангенс) и гиперболические тригонометрические функции. HP использовал алгоритм CORDIC (цифровой компьютер вращения координат), ^[34] , который позволяет вычислять тригонометрические функции, используя только операции сдвига и сложения. Этот метод способствовал разработке все более мелких научных калькуляторов.

Как и в случае с мэйнфреймовыми вычислениями, доступность этих настольных машин не оказала существенного влияния на повсеместное использование логарифмической линейки, пока в середине 1970-х годов не появились дешевые ручные научные электронные калькуляторы, после чего она быстро пришла в упадок. Карманный научный калькулятор Hewlett-Packard HP-35 был первым ручным устройством такого типа, но в 1972 году он стоил 395 долларов США. Это было оправданно для некоторых инженерных специалистов, но слишком дорого для большинства студентов.

Около 1974 года недорогие карманные электронные научные калькуляторы начали вытеснять логарифмические линейки. ^{[35] [36] [37] [38]} К 1975 году базовые электронные калькуляторы с четырьмя функциями можно было купить менее чем за 50 долларов, а к 1976 году научный калькулятор TI-30 продавался менее чем за 25 долларов (134 доллара с учетом инфляции).

1980 год стал последним годом соревнований Университетской межшкольной лиги (UIL) в Техасе по использованию логарифмических линеек. ^{[ необходима цитата ]} Первоначально UIL был организован в 1910 году для проведения литературных мероприятий, ^{[ необходима цитата ]} но затем стал также руководящим органом школьных спортивных мероприятий.

Сравнение с электронными цифровыми калькуляторами

Реклама электронного вычислительного перфоратора IBM 604, выпущенная в декабре 1951 года , в которой электронные компьютеры явно сравниваются с инженерами, выполняющими вычисления с помощью логарифмических линеек.

Даже в период своего расцвета логарифмические линейки так и не завоевали популярность у широкой публики. ^[39] Сложение и вычитание не являются хорошо поддерживаемыми операциями на логарифмических линейках, и выполнение вычислений на логарифмической линейке, как правило, происходит медленнее, чем на калькуляторе. ^[40] Это привело к тому, что инженеры стали использовать математические уравнения, которые отдавали предпочтение операциям, которые было легко выполнять на логарифмической линейке, а не более точным, но сложным функциям; эти приближения могли приводить к неточностям и ошибкам. ^[41] С другой стороны, пространственное, ручное управление логарифмическими линейками развивает у пользователя интуицию числовых соотношений и масштаба, которых часто не хватает людям, которые использовали только цифровые калькуляторы. ^[42] Логарифмическая линейка также отображает все условия вычисления вместе с результатом, тем самым устраняя неопределенность относительно того, какое вычисление было фактически выполнено. Таким образом, ее сравнивают с обратной польской записью (RPN), реализованной в электронных калькуляторах. ^[43]

Логарифмическая линейка требует от пользователя отдельного вычисления порядка величины ответа, чтобы расположить десятичную точку в результатах. Например, 1,5 × 30 (что равно 45) покажет тот же результат, что и1 500 000  × 0,03 (что равно45 000 ). Этот отдельный расчет заставляет пользователя отслеживать величину в кратковременной памяти (что подвержено ошибкам), делать заметки (что обременительно) или рассуждать об этом на каждом этапе (что отвлекает от других требований к расчетам).

Типичная арифметическая точность логарифмической линейки составляет около трех значащих цифр , по сравнению со многими цифрами на цифровых калькуляторах. Поскольку порядок величины приобретает наибольшую значимость при использовании логарифмической линейки, пользователи менее склонны совершать ошибки ложной точности .

При выполнении последовательности умножений или делений на одно и то же число ответ часто можно определить, просто взглянув на логарифмическую линейку без каких-либо манипуляций. Это может быть особенно полезно при вычислении процентов (например, для результатов тестов) или при сравнении цен (например, в долларах за килограмм). Множественные вычисления скорости-времени-расстояния можно выполнить без помощи рук одним взглядом с помощью логарифмической линейки. Другие полезные линейные преобразования, такие как фунты в килограммы, можно легко отметить на линейке и использовать непосредственно в вычислениях.

Будучи полностью механической, логарифмическая линейка не зависит от электричества или батареек. Механическая неточность логарифмических линеек, которые были плохо сконструированы или деформированы под воздействием тепла или использования, приведет к ошибкам.

Многие моряки держат логарифмические линейки в качестве резервных для навигации в случае отказа электропитания или разрядки батареи на длинных участках маршрута. Логарифмические линейки по-прежнему широко используются в авиации, особенно для небольших самолетов. Их заменяют только интегрированные, специальные и дорогие бортовые компьютеры, а не калькуляторы общего назначения. Круглая логарифмическая линейка E6B , используемая пилотами, находится в непрерывном производстве и остается доступной в различных моделях. Некоторые наручные часы, предназначенные для использования в авиации, по-прежнему оснащены шкалами логарифмической линейки, что позволяет производить быстрые расчеты. Citizen Skyhawk AT и Seiko Flightmaster SNA411 — два ярких примера. ^[44]

Современное использование

Логарифмическая линейка Faber-Castell с чехлом

Даже в 21 веке некоторые люди предпочитают логарифмическую линейку электронному калькулятору в качестве практичного вычислительного устройства. Другие хранят свои старые логарифмические линейки из чувства ностальгии или коллекционируют их в качестве хобби. ^[45]

Популярная коллекционная модель — Keuffel & Esser Deci-Lon , научная и инженерная логарифмическая линейка премиум-класса, доступная как в десятидюймовом (25 см) «обычном» ( Deci-Lon 10 ), так и в пятидюймовом «карманном» ( Deci-Lon 5 ) варианте. Еще одна ценная американская модель — восьмидюймовая (20 см) круговая линейка Scientific Instruments. Из европейских линеек наиболее популярны среди коллекционеров модели Faber-Castell высокого класса.

Хотя на рынке циркулирует множество логарифмических линеек, образцы в хорошем состоянии, как правило, дороги. Многие линейки, выставленные на продажу на интернет-аукционах, повреждены или имеют недостающие части, а продавец может не знать достаточно, чтобы предоставить соответствующую информацию. Запасные части редки, дороги и, как правило, доступны только для отдельной покупки на веб-сайтах отдельных коллекционеров. Линейки Койффеля и Эссера периода до 1950 года особенно проблематичны, поскольку наконечники на курсорах, сделанные из целлулоида , имеют тенденцию к химическому разрушению со временем. Методы консервации пластика могут использоваться для замедления ухудшения состояния некоторых старых логарифмических линеек, а 3D-печать может использоваться для воссоздания недостающих или безвозвратно сломанных частей курсора. ^[46]

Все еще есть несколько источников для совершенно новых логарифмических линеек. Компания Concise Company из Токио, которая начинала как производитель круглых логарифмических линеек в июле 1954 года, ^[47] продолжает производить и продавать их сегодня. В сентябре 2009 года интернет-магазин ThinkGeek представил свой собственный бренд прямых логарифмических линеек, описанный как «точная копия[и]», которые были «индивидуально обработаны вручную». ^[48] Они больше не были доступны в 2012 году . ^[49] Кроме того, у Faber-Castell было несколько логарифмических линеек в инвентаре, доступных для международной покупки через их интернет-магазин, до середины 2018 года. ^[50] Колеса пропорций по-прежнему используются в графическом дизайне.

Различные приложения-симуляторы логарифмической линейки доступны для смартфонов и планшетов на базе Android и iOS.

Специализированные логарифмические линейки, такие как E6B, используемые в авиации, и артиллерийские логарифмические линейки, используемые при наведении артиллерии, все еще используются, хотя уже не на регулярной основе. Эти линейки используются как часть процесса обучения и инструктажа, поскольку при обучении их использованию студент также узнает о принципах, лежащих в основе расчетов, это также позволяет студенту использовать эти инструменты в качестве резерва в случае отказа современной электроники общего назначения.

Коллекции

Логарифмическая линейка размером с классную комнату, представленная в музее Массачусетского технологического института

Музей Массачусетского технологического института в Кембридже, штат Массачусетс , располагает коллекцией из сотен логарифмических линеек, номограмм и механических калькуляторов . ^[51] Коллекция компании Keuffel and Esser Company от производителя логарифмических линеек, ранее располагавшегося в Хобокене, штат Нью-Джерси , была передана в дар Массачусетскому технологическому институту примерно в 2005 году, что существенно расширило существующие фонды. ^[52] Отдельные предметы из коллекции обычно экспонируются в музее. ^{[53] [54]}

Международный музей логарифмических линеек считается «самым обширным [в мире] ресурсом по всем вопросам, касающимся логарифмических линеек и логарифмических калькуляторов». ^[55] Веб-страница музея содержит обширную литературу, касающуюся логарифмических линеек, в разделе «Библиотека логарифмических линеек». ^[56]

Смотрите также

• Счеты  – счетный инструмент
• Компьютер (род занятий)  – Человек, выполнявший математические вычисления до появления калькуляторов.
• Бортовой компьютер  – круговая логарифмическая линейка, используемая в авиации
• Плавающая точка  – Компьютерное приближение для действительных чиселСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Ганс Петер Лун  — американский учёный-компьютерщик
• Номограмма  – Аналоговый графический калькулятор
• Сектор (инструмент)  – математический инструмент, состоящий из двух шарнирно соединённых линеек.
• Слайд-калькулятор  – Механический калькулятор
• Слайд-диаграмма  – ручное устройство с подвижными частями, обычно бумажное, обычно распечатывается для справки или расчетов.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Хронология вычислений
• Нониусная шкала  – вспомогательная шкала измерительного прибора, используемая для повышения точности.
• Volvelle  – бумажная конструкция с вращающимися частями, может считаться подклассом слайд-чарта или подвижной книги.

Ссылки

1. Роджер Р. Флинн (июнь 2002 г.). Компьютерные науки. Том 1. Macmillan. С. 175. ISBN 978-0-02-865567-3. Получено 2013-03-30 . Логарифмическая линейка является примером механического аналогового компьютера...
2. Эрнст Блейлер; Роберт Озиас Хэксби (2011-09-21). Электронные методы. Academic Press. стр. 638. ISBN 978-0-08-085975-0. Получено 2013-03-30 . Например, логарифмические линейки — это механические аналоговые компьютеры.
3. "Линейки логарифмов". Музей Массачусетского технологического института . Массачусетский технологический институт . Получено 01.05.2019 .
4. Беррей, Лестер В.; ван ден Барк, Мелвин (1953). Американский тезаурус сленга: полный справочник разговорной речи (2-е изд.). Кроуэлл. OCLC  319462.
5. Петроски, Генри (2011). Азбука инженера: крупицы знаний с более мягкой стороны профессии. Cambridge University Press. С. 46–47. ISBN 9781139505307. Получено 21.03.2017 .
6. Маркотт, доктор философии, Эрик (2002). «Типы логарифмических линеек Эрика и их шкалы». www.sliderule.ca . Получено 13 июля 2021 г.
7. "instruction manual" .spheric.bc.ca . стр. 7–8. Архивировано из оригинала 2007-04-02 . Получено 2007-03-14 .
8. "AntiQuark: трюки с логарифмической линейкой". antiquark.com .
9. Иштван, Салькай (2016). «Общие функции двух переменных на логарифмической линейке». Журнал Oughtred Society . 27 (1): 14–18. arXiv : 1612.03955 . Bibcode : 2016arXiv161203955S.
10. Иштван, Салкаи (2016). «Общие функции двух переменных на логарифмической линейке». arXiv : 1612.03955 [math.HO].
11. "Slide Rules". Tbullock.com. 2009-12-08. Архивировано из оригинала 2013-02-03 . Получено 2010-02-20 .
12. По крайней мере одна круговая линейка, модель Gilson 1931 года, пожертвовала некоторыми шкалами, обычно встречающимися в логарифмических линейках, чтобы получить дополнительное разрешение при умножении и делении. Она функционировала за счет использования спиральной шкалы C, которая, как утверждалось, была 50 футов и считывалась до пяти значащих цифр. См. http://www.sphere.bc.ca/test/gilson/gilson-manual2.jpg Архивировано 2006-12-30 на Wayback Machine . Фото можно увидеть на http://www.hpmuseum.org/srcirc.htm. Инструкцию по эксплуатации для устройства, продаваемого Dietzgen, можно найти на http://www.sliderulemuseum.com/SR_Library_General.htm Архивировано 2007-02-14 на Wayback Machine . Все извлечено 14 марта 2007 г.
13. "336 (Teknisk Tidskrift / 1933. Allmänna avdelningen)" . Рунеберг.орг . Проверено 20 февраля 2010 г.
14. Смит, Дэвид Э. (1958). История математики. Courier Corporation. стр. 205. ISBN 9780486204307.
15. Эпплбаум, Уилбур (2003-12-16). "Линейка". Энциклопедия научной революции: от Коперника до Ньютона . Routledge. Bibcode :2000esrc.book.....A. ISBN 9781135582555.
16. "Морская логарифмическая линейка Кэмерона", Журнал практической механики и инженера , апрель 1845 г., стр. 187 и таблица XX-B
17. Келлс, Лайман М.; Керн, Уиллис Ф.; Блэнд, Джеймс Р. (1943). Логарифмическая дуплексная децитриговая логарифмическая линейка № 4081: Руководство. Keuffel & Esser. стр. 92. Архивировано из оригинала 14.02.2009.
18. Полифазная дуплексная логарифмическая линейка, Самоучитель , Брекенридж, 1922, стр. 20.
19. Норвегия, Невил Шут (1954). Логарифмическая линейка . Лондон: Уильям Хайнеманн. С. 76–78.
20. Witcher, CM (1954-12-01). «Физика без зрения». Physics Today . 7 (12): 8–10. doi :10.1063/1.3061483. ISSN  0031-9228.
21. Столл, Клифф (2006). «Когда правили логарифмические линейки». Scientific American . 294 (5): 80–87. Bibcode : 2006SciAm.294e..80S. doi : 10.1038/scientificamerican0506-80. ISSN  0036-8733. JSTOR  26061456. PMID  16708492.
22. "Лот 25368 Логарифмическая линейка Базза Олдрина «Аполлон-11» — полет на Луну. ... Аукцион Grand Format Air & Space № 669, сентябрь 2007 г.". Heritage Auctions. Архивировано из оригинала 03.09.2013 . Получено 03.09.2013 .
23. "Линейка логарифмическая, 5 дюймов, Pickett N600-ES, Apollo 13". Смитсоновский национальный музей авиации и космонавтики. Архивировано из оригинала 2013-10-09 . Получено 2013-09-03 .
24. Чарльз Овертон Харрис, Упрощенная логарифмическая линейка , Американское техническое общество, 1961, стр. 5.
25. Шер, Дэвид Б.; Натаро, Дин К. (2009-06-02). «Простаферетическая логарифмическая линейка: механическое устройство для умножения, основанное на тригонометрических тождествах». Математика и компьютерное образование, т. 38, вып. 1 (зима 2004 г.): 37–43 . Архивировано из оригинала 10.05.2005 г. Получено 20.02.2010 г. – через Findarticles.com.
26. "Fisher sizing rules". natgasedu.com . Архивировано из оригинала 2010-01-06 . Получено 2009-10-06 .
27. "Линейки Pilot Balloon". www.pilotballoon.com . Архивировано из оригинала 2016-09-28 . Получено 2016-09-28 .
28. Росс, MG (2003). «Круг времени: ошибки в использовании колеса беременности». Журнал медицины матери и плода и новорожденных . 14 (6): 370–372. doi :10.1080/14767050412331312200. PMID  15061314. S2CID  20101166.
29. "Воздействие ядерного оружия" . Получено 2021-05-02 .
30. "Strangelove Slide Rule" . Получено 2021-05-02 .
31. "Wang LOCI-2". oldcalculatormuseum.com .
32. Wang Laboratories (декабрь 1966 г.). «Теперь вы можете определить состав сополимера за несколько минут за своим столом». Аналитическая химия . 38 (13): 62A–63A. doi :10.1021/ac50155a005.
33. Лейбсон, Стивен (2010). «Проект HP 9100: экзотермическая реакция» . Получено 16 июня 2024 г.
34. Volder, Jack E. (июнь 2000 г.). "Рождение CORDIC" (PDF) . Journal of VLSI Signal Processing . 25 (2): 101–105. doi :10.1023/a:1008110704586. ISSN  0922-5773. S2CID  112881. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-04 . Получено 2016-01-02 .
35. Беренс, Лоуренс; Розен, Леонард Дж. (1982). Письмо и чтение в учебной программе . Литтл, Браун . стр. 273. Затем, всего десять лет назад, изобретение карманного калькулятора сделало логарифмическую линейку устаревшей практически в одночасье...
36. Maor, Eli (2009). e: История одного числа . Princeton University Press. стр. 16. ISBN 978-0-691-14134-3. Затем, в начале 1970-х годов, на рынке появились первые электронные карманные калькуляторы, и через десять лет логарифмическая линейка устарела.
37. Каслден, Родни (2007). Изобретения, которые изменили мир . Futura. стр. 157. ISBN 978-0-7088-0786-6С изобретением калькулятора логарифмическая линейка мгновенно устарела .
38. Деннинг, Питер Дж .; Меткалф, Роберт М. (1998). За пределами вычислений: следующие пятьдесят лет вычислений. Springer . стр. xiv. ISBN 978-0-387-98588-6. Первый ручной калькулятор появился в 1972 году и в одночасье сделал логарифмическую линейку устаревшей.
39. Столл, Клифф. «Когда правили логарифмические линейки», Scientific American, май 2006 г., стр. 80–87. «Сложность обучения использованию логарифмических линеек отпугивала простых людей от их использования . Да, случайный менеджер продуктового магазина рассчитывал скидки на линейке, и автор этой статьи однажды поймал своего школьного учителя английского языка, который вычислял статистику победителей скачек на логарифмической линейке во время занятий. Но логарифмические линейки так и не вошли в повседневную жизнь, потому что с их помощью нельзя было выполнять простые действия сложения и вычитания, не говоря уже о сложности отслеживания десятичной точки. Логарифмические линейки оставались инструментами для технарей».
40. Уотсон, Джордж Х. «Проблемно-ориентированное обучение и три «С» технологий», Сила проблемно-ориентированного обучения , Барбара Дач, Сьюзан Гро, Дебора Аллен, ред., Stylus Publishing, LLC, 2001. «Численные вычисления на первокурсниках по физике и химии были мучительными; однако, похоже, это не относилось к тем студентам, которым посчастливилось уже иметь калькулятор. Я живо помню, что в конце 1974 года студентам, которые все еще использовали логарифмические линейки, давали дополнительные 15 минут на выпускном экзамене, чтобы компенсировать вычислительное преимущество, предоставляемое калькулятором, что вряд ли было адекватной компенсацией по мнению оставшихся практикующих логарифмические линейки».
41. Столл, Клифф. «Когда правили логарифмические линейки», Scientific American, май 2006 г., стр. 80–87. «С вычислениями, движущимися буквально со скоростью руки, и отсутствием точности как таковой, математики работали над упрощением сложных задач. Поскольку линейные уравнения были более дружелюбны к логарифмическим линейкам, чем более сложные функции, ученые изо всех сил пытались линеаризовать математические соотношения, часто заметая высокопорядковые или менее значимые члены под вычислительный ковер. Так что конструктор автомобиля мог вычислить расход топлива, глядя в основном на мощность двигателя, игнорируя при этом, как трение воздуха меняется со скоростью. Инженеры разработали сокращения и эмпирические правила. В лучшем случае эти меры приводили к экономии времени, проницательности и пониманию. С другой стороны, эти приближения могли скрывать ошибки и приводить к грубым ошибкам».
42. Столл, Клифф. «Когда правили логарифмические линейки», Scientific American , май 2006 г., стр. 80–87. «Одним из последствий было то, что пользователи чувствовали себя ближе к числам, осознавая ошибки округления и систематические неточности, в отличие от пользователей современных программ компьютерного проектирования. Пообщайтесь с инженером 1950-х годов, и вы, скорее всего, услышите сетования по тем дням, когда вычисления шли рука об руку с более глубоким пониманием. Вместо того чтобы вводить числа в компьютерную программу, инженер понимал тонкости нагрузок и напряжений, напряжений и токов, углов и расстояний. Числовые ответы, созданные вручную, означали решение проблем посредством знаний и анализа, а не простого перемалывания чисел».
43. Уильямс, Эл (21.06.2023). «В похвалу RPN (с Python или C)». Hackaday . Архивировано из оригинала 23.09.2023 . Получено 23.09.2023 .
44. "Citizen Watch Company – Citizen Eco-Drive / США, Канада, Великобритания, ИрландияCitizen Watch". citizenwatch.com . Архивировано из оригинала 2014-04-22 . Получено 2014-04-21 .
45. "Линейки Грега – Ссылки на коллекционеров линеек". Sliderule.ozmanor.com. 2004-07-29 . Получено 2010-02-20 .
46. «Восстановление и ремонт логарифмических линеек и заметок». Международный музей логарифмических линеек .
47. "About CONCISE". Concise.co.jp. Архивировано из оригинала 2012-03-12 . Получено 2010-02-20 .
48. "Линейка логарифмическая". ThinkGeek. Архивировано из оригинала 2010-03-27 . Получено 2015-04-08 .
49. "Линейка логарифмическая". ThinkGeek. Архивировано из оригинала 2012-04-15 . Получено 2015-04-08 .
50. "Rechenschieber". Faber-Castell. Архивировано из оригинала 21.11.2013 . Получено 17.01.2012 .Предполагается, что у них все еще могут быть некоторые логарифмические линейки, но на их новом веб-сайте и в интернет-магазине они отсутствуют.
51. "Коллекция логарифмических линеек Массачусетского технологического института, категория Commons".
52. "MIT Museum Measures Up". MIT News . Массачусетский технологический институт. 2005-01-11 . Получено 2019-05-01 .
53. "Slide Rules". Музей Массачусетского технологического института. Массачусетский технологический институт. Архивировано из оригинала 2019-05-01 . Получено 2019-05-01 .
54. "MIT Museum — Slide Rules". proundesign.com . Proun Design. Архивировано из оригинала 2019-05-01 . Получено 2019-05-01 .
55. Тернер, Кимберли (2009-10-07). "Линейка логарифмическая: 101". Газеты родного города Колорадо .
56. "Slide Rule Library Main Desk". Международный музей логарифмических линеек . Архивировано из оригинала 2023-01-07 . Получено 2023-01-07 .

Внешние ссылки

• Международный музей логарифмических линеек
• История, теория и применение инженерной логарифмической линейки — Доктор Джеймс Б. Калверт, Денверский университет
• Домашняя страница круга логарифмической линейки Великобритании Архивировано 28.09.2015 на Wayback Machine
• Домашняя страница логарифмических линеек общества Oughtred — посвящена сохранению и истории логарифмических линеек.
• Логарифмические правила Рода Ловетта – всеобъемлющий сайт Aristo с множеством возможностей поиска
• Виртуальная галерея логарифмических линеек Дерека — Javascript-симуляции исторических логарифмических линеек
• «Линейка логарифмическая»  . Новая международная энциклопедия . 1905.
• «Линейка логарифмическая»  . Энциклопедия Американа . 1920.
• Reglas de Cálculo — Очень большая коллекция Фабера Кастелла.
• Коллекция логарифмических линеек — Французские логарифмические линейки (Graphoplex, Tavernier-Gravet и другие)
• Сайт логарифмической линейки Эрика — История и использование
• Логарифмические линейки — Информация из Музея калькуляторов HP
• Описания, в алфавитном порядке по названию бренда, с изображениями (Vintage Tech. Assoc.)