Дилатация (теория операторов)

В теории операторов расширение оператора T в гильбертовом пространстве H — это оператор в большем гильбертовом пространстве K , ограничение которого на H, составленное с ортогональной проекцией на H, есть T.

Более формально, пусть T — ограниченный оператор в некотором гильбертовом пространстве H , а H — подпространство большего гильбертова пространства H' . Ограниченный оператор V в H' является расширением T, если

${\displaystyle P_{H}\;V|_{H}=T}$

где — ортогональная проекция на H. ${\displaystyle P_{H}}$

Говорят, что V является унитарной дилатацией (соответственно, нормальной, изометрической и т. д.), если V является унитарной (соответственно, нормальной, изометрической и т. д.). Говорят, что T является сжатием V . Если оператор T имеет спектральное множество , мы говорим, что V является нормальной граничной дилатацией или нормальной дилатацией, если V является нормальной дилатацией T и . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle \sigma (V)\subseteq \partial X}$

Некоторые тексты налагают дополнительное условие. А именно, чтобы расширение удовлетворяло следующему (исчисленному) свойству:

${\displaystyle P_{H}\;f(V)|_{H}=f(T)}$

где f(T) — некоторое заданное функциональное исчисление (например, полиномиальное или H ^∞ исчисление). Полезность расширения заключается в том, что оно позволяет «поднимать» объекты, связанные с T , на уровень V , где поднятые объекты могут иметь более хорошие свойства. См., например, теорему о подъеме коммутанта .

Приложения

Мы можем показать, что каждое сжатие в гильбертовых пространствах имеет унитарную дилатацию. Возможная конструкция этого дилатации следующая. Для сжатия T оператор

${\displaystyle D_{T}=(I-T^{*}T)^{\frac {1}{2}}}$

является положительным, где непрерывное функциональное исчисление используется для определения квадратного корня. Оператор D _T называется оператором дефекта T . Пусть V будет оператором на

${\displaystyle H\oplus H}$

определяется матрицей

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}T&D_{T^{*}}\\\ D_{T}&-T^{*}\end{bmatrix}}.}$

V, очевидно, является расширением T. Кроме того, T ( I - T*T ) = ( I - TT* ) T и предельный аргумент ^[1] подразумевают

${\displaystyle TD_{T}=D_{T^{*}}T.}$

Используя это , можно показать, вычисляя напрямую, что V является унитарным , следовательно, унитарным расширением T. Этот оператор V иногда называют оператором Жюлиа T.

Обратите внимание, что когда T — действительный скаляр, скажем , мы имеем ${\displaystyle T=\cos \theta }$

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\ \sin \theta &-\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

которая является просто унитарной матрицей , описывающей поворот на θ. По этой причине оператор Жюлиа V(T) иногда называют элементарным поворотом T.

Отметим здесь, что в приведенном выше обсуждении мы не требовали свойства исчисления для дилатации. Действительно, прямое вычисление показывает, что оператор Жюлиа не может быть дилатацией "степени 2" в общем случае, т.е. не обязательно должно быть верно, что

${\displaystyle T^{2}=P_{H}\;V^{2}|_{H}}$.

Однако можно также показать, что любое сжатие имеет унитарную дилатацию, которая имеет свойство исчисления, указанное выше. Это теорема о дилатации С.-Надя . В более общем смысле, если — алгебра Дирихле , любой оператор T с в качестве спектрального множества будет иметь нормальную дилатацию с этим свойством. Это обобщает теорему о дилатации С.-Надя, поскольку все сжатия имеют единичный круг в качестве спектрального множества. ${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial X}$

Примечания

1. Сз.-Надь и Фояш 1970, 3.1.

Ссылки

• Константинеску, Т. (1996), Параметры Шура, проблемы расширения и факторизации , т. 82, Birkhauser Verlag, ISBN 3-7643-5285-X.
• Паульсен, В. (2002), Полностью ограниченные отображения и операторные алгебры , Cambridge University Press, ISBN 0-521-81669-6.
• С.-Надь, Б.; Фойаш, К. (1970), Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве , North-Holland Publishing Company, ISBN 9780720420357.