Эллипсоидальные координаты

Трехмерная система координат

Эллипсоидальные координаты — это трехмерная ортогональная система координат , обобщающая двумерную эллиптическую систему координат . В отличие от большинства трехмерных ортогональных систем координат , которые имеют квадратичные координатные поверхности , эллипсоидальная система координат основана на софокусных квадриках . ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$

Основные формулы

Декартовы координаты могут быть получены из эллипсоидальных координат с помощью уравнений ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$

${\displaystyle x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+\nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}}}$

${\displaystyle y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+\nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}$

${\displaystyle z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+\nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}}}$

где к координатам применяются следующие ограничения

${\displaystyle -\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.}$

Следовательно, поверхности константы являются эллипсоидами ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,}$

тогда как поверхности константы являются гиперболоидами из одной полосы ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,}$

поскольку последний член в левой части отрицателен, а поверхности константы являются гиперболоидами из двух листов ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1}$

потому что последние два члена в левой части отрицательны.

Ортогональная система квадрик, используемая для эллипсоидальных координат, является софокусной квадрикой .

Масштабные коэффициенты и дифференциальные операторы

Для краткости в уравнениях ниже введем функцию

${\displaystyle S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right)}$

где может представлять любую из трех переменных . Используя эту функцию, масштабные коэффициенты можно записать ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$

${\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda )}}}}$

${\displaystyle h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}}}$

${\displaystyle h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}}$

Следовательно, бесконечно малый элемент объема равен

${\displaystyle dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\,d\lambda \,d\mu \,d\nu }$

а Лапласиан определяется как

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]\end{aligned}}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как и , могут быть выражены в координатах путем подстановки масштабных множителей в общие формулы, найденные в ортогональных координатах . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$

Угловая параметризация

Существует альтернативная параметризация, которая близко следует угловой параметризации сферических координат : ^[1]

${\displaystyle x=as\sin \theta \cos \phi ,}$

${\displaystyle y=bs\sin \theta \sin \phi ,}$

${\displaystyle z=cs\cos \theta .}$

Здесь параметризует концентрические эллипсоиды вокруг начала координат и и являются обычными полярными и азимутальными углами сферических координат соответственно. Соответствующий элемент объема равен ${\displaystyle s>0}$ ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$ ${\displaystyle \phi \in [0,2\pi ]}$

${\displaystyle dx\,dy\,dz=abc\,s^{2}\sin \theta \,ds\,d\theta \,d\phi .}$

Смотрите также

• Эллипсоидальная широта
• Фокалоид (оболочка, заданная двумя координатными поверхностями)
• Картографическая проекция трехосного эллипсоида

Ссылки

1. «Квадрупольный момент эллипсоида».

Библиография

• Морзе П.М., Фешбах Х. (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 663.
• Zwillinger D (1992). Справочник по интеграции . Бостон, Массачусетс: Jones and Bartlett. стр. 114. ISBN 0-86720-293-9.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Нью-Йорк: Springer Verlag. стр. 101–102. LCCN  67025285.
• Корн ГА, Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 176. LCCN  59014456.
• Маргенау Х, Мерфи ГМ (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. С. 178–180. LCCN  55010911.
• Moon PH, Spencer DE (1988). "Эллипсоидальные координаты (η, θ, λ)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (исправленное 2-е, 3-е печатное изд.). New York: Springer Verlag. С. 40–44 (таблица 1.10). ISBN 0-387-02732-7.

Необычная конвенция

• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. (1984). Электродинамика сплошных сред (т. 8 курса теоретической физики ) (2-е изд.). Нью-Йорк: Pergamon Press. С. 19–29. ISBN 978-0-7506-2634-7. Использует координаты (ξ, η, ζ), в которых единицы измерения расстояния возведены в квадрат.

Внешние ссылки

• Описание MathWorld конфокальных эллипсоидальных координат