В математике две квадратные матрицы A и B над полем называются конгруэнтными , если существует обратимая матрица P над тем же полем такая, что
где «T» обозначает транспонирование матрицы . Матричная конгруэнтность — это отношение эквивалентности .
Конгруэнтность матриц возникает при рассмотрении эффекта изменения базиса на матрице Грама, присоединенной к билинейной форме или квадратичной форме на конечномерном векторном пространстве : две матрицы конгруэнтны тогда и только тогда, когда они представляют одну и ту же билинейную форму относительно разных базисов .
Обратите внимание, что Халмош определяет конгруэнтность в терминах сопряженной транспонировки (относительно пространства комплексного внутреннего произведения ), а не транспонировки [1] , но это определение не было принято большинством других авторов.
Закон инерции Сильвестра гласит, что две конгруэнтные симметричные матрицы с действительными элементами имеют одинаковое количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений . То есть количество собственных значений каждого знака является инвариантом соответствующей квадратичной формы. [2]