Коноид

Линейчатая поверхность, состоящая из линий, параллельных плоскости и пересекающих ось.

Правый круговой коноид:

  Директриса – это круг

  Ось перпендикулярна  плоскость директрисы

В геометрии коноид (от греческого κωνος  «конус» и — ειδης  «подобный») — линейчатая поверхность , линейки (линии) которой удовлетворяют дополнительным условиям:

(1) Все правила параллельны плоскости , плоскости директрисы .

(2) Все постановления пересекают фиксированную линию — ось .

Коноид называется прямым коноидом, если его ось перпендикулярна плоскости направляющей. Следовательно, все правила перпендикулярны оси.

Ввиду (1) любой коноид является каталонской поверхностью и параметрически может быть представлен формулой

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)\ }$

Любая кривая x ( u ₀ , v ) с фиксированным параметром u = u ₀ является управляющей, c ( u ) описывает направляющую , а векторы r ( u ) все параллельны плоскости направляющей. Планарность векторов r ( u ) можно представить как

${\displaystyle \det(\mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {\ddot {r}} )=0}$.

Если директриса представляет собой круг, то коноид называется круговым коноидом .

Термин коноид уже использовался Архимедом в его трактате « О коноидах и сфероидах» .

Примеры

Правый круглый коноид

Параметрическое представление

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,0)+v(0,-\sin u,z_{0})\ ,\ 0\leq u<2\pi ,v\in \mathbb {R} }$

описывает правый круговой коноид с единичной окружностью плоскости xy в качестве направляющей и плоскостью направляющей, параллельной плоскости y-z. Его осью является линия ${\displaystyle (x,0,z_{0})\ x\in \mathbb {R} \ .}$

Особые возможности :

1. Пересечение с горизонтальной плоскостью представляет собой эллипс.
2. ${\displaystyle (1-x^{2})(z-z_{0})^{2}-y^{2}z_{0}^{2}=0}$является неявным представлением. Следовательно, правый круговой коноид является поверхностью степени 4.
3. Правило Кеплера дает для прямого кругового коноида с радиусом и высотой точный объем: . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle V={\tfrac {\pi }{2}}r^{2}h}$

Неявное представление выполняется и точками прямой . Для этих точек не существует касательных плоскостей . Такие точки называются особыми . ${\displaystyle (x,0,z_{0})}$

Параболический коноид

параболический коноид: директриса является параболой

Параметрическое представление

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\left(1,u,-u^{2}\right)+v\left(-1,0,u^{2}\right)}$

${\displaystyle =\left(1-v,u,-(1-v)u^{2}\right)\ ,u,v\in \mathbb {R} \ ,}$

описывает параболический коноид уравнением . Коноид имеет параболу в качестве направляющей, ось Y в качестве оси и плоскость, параллельную плоскости xz, в качестве плоскости направляющей. Архитекторы используют его в качестве поверхности крыши (см. ниже). ${\displaystyle z=-xy^{2}}$

Параболический коноид не имеет особых точек.

Дальнейшие примеры

1. гиперболический параболоид
2. Коноид Плюкера
3. Уитни Зонт
4. геликоид

• 
  гиперболический параболоид
• 
  Коноид Плюкера
• 
  Уитни зонтик

Приложения

коноид в архитектуре

коноиды в архитектуре

Математика

Существует множество коноидов с особыми точками, которые исследуются в алгебраической геометрии .

Архитектура

Как и другие линейчатые поверхности, коноиды представляют большой интерес для архитекторов, поскольку их можно построить с использованием балок или стержней. Правильные коноиды можно легко изготовить: навинчивают стержни на ось так, чтобы их можно было вращать только вокруг этой оси. После этого стержни отклоняются на направляющую и образуют коноид (например, параболический коноид).

Внешние ссылки

• mathworld: коноид Плюкера
• «Коноид», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Рекомендации

• А. Грей, Э. Аббена, С. Саламон, Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica , 3-е изд. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, 2006. [1] ( ISBN 978-1-58488-448-4 ) 
• Владимир Ю. Ровенский, Геометрия кривых и поверхностей с помощью MAPLE [2] ( ISBN 978-0-8176-4074-3 )