Сохраняемое количество

Значение, остающееся постоянным в динамической системе

Сохраняющаяся величина — это свойство или значение , которое остается постоянным с течением времени в системе , даже когда в системе происходят изменения. В математике сохраняющаяся величина динамической системы формально определяется как функция зависимых переменных , значение которой остается постоянным вдоль каждой траектории системы. ^[1]

Не все системы имеют сохраняющиеся величины, и сохраняющиеся величины не являются уникальными, поскольку всегда можно получить другую такую ​​величину, применив подходящую функцию , например, прибавив константу, к сохраняющейся величине.

Поскольку многие законы физики выражают некоторый вид сохранения , сохраняющиеся величины обычно существуют в математических моделях физических систем . Например, любая классическая модель механики будет иметь механическую энергию как сохраняющуюся величину, пока задействованные силы являются консервативными .

Дифференциальные уравнения

Для системы дифференциальных уравнений первого порядка

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)}$

где жирным шрифтом выделены векторные величины, скалярная функция H ( r ) является сохраняющейся величиной системы, если для всех времен и начальных условий в некоторой конкретной области

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=0}$

Обратите внимание, что при использовании правила многомерной цепи ,

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=\nabla H\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)}$

так что определение можно записать как

${\displaystyle \nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)=0}$

которая содержит информацию, специфичную для системы, и может быть полезна для поиска сохраняющихся величин или установления того, существует ли сохраняющаяся величина.

Гамильтонова механика

Для системы, определяемой гамильтонианом , функция f обобщенных координат q и обобщенных импульсов p имеет временную эволюцию ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$

и, следовательно, сохраняется тогда и только тогда, когда . Здесь обозначает скобку Пуассона . ${\textstyle \{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}=0}$ ${\displaystyle \{f,{\mathcal {H}}\}}$

Лагранжева механика

Предположим, что система определяется лагранжианом L с обобщенными координатами q . Если L не имеет явной зависимости от времени (so ), то энергия E определяется как ${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=0}$

${\displaystyle E=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right]-L}$

сохраняется.

Кроме того, если , то q называется циклической координатой, а обобщенный импульс p определяется как ${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial q}}=0}$

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$

сохраняется. Это можно вывести с помощью уравнений Эйлера–Лагранжа .

Смотрите также

• Консервативная система
• Функция Ляпунова
• Гамильтонова система
• Закон сохранения
• Теорема Нётер
• Заряд (физика)
• Инвариант (физика)

Ссылки

1. Бланшар, Девани, Холл (2005). Дифференциальные уравнения . Brooks/Cole Publishing Co. стр. 486. ISBN 0-495-01265-3.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )