Непрерывное вейвлет-преобразование

Интегральное преобразование

Непрерывное вейвлет -преобразование сигнала частотного пробоя. Используется симлет с 5 исчезающими моментами.

В математике непрерывное вейвлет-преобразование ( НВП ) — это формальный (т. е. нечисловой) инструмент, который обеспечивает сверхполное представление сигнала, позволяя параметрам трансляции и масштабирования вейвлетов непрерывно изменяться.

Определение

Непрерывное вейвлет-преобразование функции в масштабе и трансляционном значении выражается следующим интегралом ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R^{+*}} }$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle X_{w}(a,b)={\frac {1}{|a|^{1/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t){\overline {\psi }}\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,\mathrm {d} t}$$

где — непрерывная функция как во временной, так и в частотной области, называемая материнским вейвлетом, а верхняя черта представляет операцию комплексного сопряжения . Основная цель материнского вейвлета — предоставить исходную функцию для генерации дочерних вейвлетов, которые являются просто переведенными и масштабированными версиями материнского вейвлета. Для восстановления исходного сигнала можно использовать первое обратное непрерывное вейвлет-преобразование. ${\displaystyle \psi (t)}$ ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)=C_{\psi }^{-1}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X_{w}(a,b){\frac {1}{|a|^{1/2}}}{\tilde {\psi }}\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,\mathrm {d} b\ {\frac {\mathrm {d} a}{a^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {\psi }}(t)}$является двойной функцией и ${\displaystyle \psi (t)}$

${\displaystyle C_{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\overline {\hat {\psi }}}(\omega ){\hat {\tilde {\psi }}}(\omega )}{|\omega |}}\,\mathrm {d} \omega }$

допустимая константа, где hat означает оператор преобразования Фурье. Иногда, , тогда допустимая константа становится ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(t)=\psi (t)}$

${\displaystyle C_{\psi }=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\left|{\hat {\psi }}(\omega )\right|^{2}}{\left|\omega \right|}}\,\mathrm {d} \omega }$

Традиционно эта константа называется допустимой константой вейвлета. Вейвлет, допустимая константа которого удовлетворяет

${\displaystyle 0<C_{\psi }<\infty }$

называется допустимым вейвлетом. Для восстановления исходного сигнала можно использовать второе обратное непрерывное вейвлет-преобразование. ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi {\overline {\hat {\psi }}}(1)}}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a^{2}}}X_{w}(a,b)\exp \left(i{\frac {t-b}{a}}\right)\,\mathrm {d} b\ \mathrm {d} a}$

Это обратное преобразование предполагает, что вейвлет следует определять как

${\displaystyle \psi (t)=w(t)\exp(it)}$

где - окно. Такой определенный вейвлет можно назвать анализирующим вейвлетом, поскольку он допускает частотно-временной анализ. Анализирующий вейвлет необязателен, чтобы быть допустимым. ${\displaystyle w(t)}$

Масштабный фактор

Масштабный коэффициент либо расширяет, либо сжимает сигнал. Когда масштабный коэффициент относительно низок, сигнал более сжат, что в свою очередь приводит к более подробному результирующему графику. Однако недостатком является то, что низкий масштабный коэффициент не длится в течение всей продолжительности сигнала. С другой стороны, когда масштабный коэффициент высок, сигнал растягивается, что означает, что результирующий график будет представлен менее подробно. Тем не менее, он обычно длится в течение всей продолжительности сигнала. ${\displaystyle a}$

Свойства непрерывного вейвлет-преобразования

По определению, непрерывное вейвлет-преобразование представляет собой свертку входной последовательности данных с набором функций, сгенерированных материнским вейвлетом. Свертку можно вычислить с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ). Обычно выход представляет собой вещественную функцию, за исключением случаев, когда материнский вейвлет является комплексным. Комплексный материнский вейвлет преобразует непрерывное вейвлет-преобразование в комплексную функцию. Спектр мощности непрерывного вейвлет-преобразования можно представить как . ^{[1] [2]} ${\displaystyle X_{w}(a,b)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{a}}\cdot |X_{w}(a,b)|^{2}}$

Визуализация эффекта изменения параметра вейвлета Морле , который интерполирует между исходным временным рядом и преобразованием Фурье . Здесь анализируется частотно-модулированный тон (плюс шум); регулируется от 1 до 200 с шагом в единицу. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 1/\sigma }$

Применение вейвлет-преобразования

Одним из самых популярных применений вейвлет-преобразования является сжатие изображений. Преимущество использования вейвлет-кодирования при сжатии изображений заключается в том, что оно обеспечивает значительное улучшение качества изображения при более высоких коэффициентах сжатия по сравнению с традиционными методами. Поскольку вейвлет-преобразование способно разлагать сложную информацию и шаблоны на элементарные формы, оно обычно используется в акустической обработке и распознавании образов, но также было предложено в качестве мгновенной оценки частоты. ^[3] Более того, вейвлет-преобразования могут применяться в следующих областях научных исследований: обнаружение краев и углов, решение уравнений в частных производных, обнаружение переходных процессов, проектирование фильтров, анализ электрокардиограммы (ЭКГ), анализ текстур, анализ деловой информации и анализ походки. ^[4] Вейвлет-преобразования также могут использоваться в анализе данных электроэнцефалографии (ЭЭГ) для выявления эпилептических всплесков, возникающих в результате эпилепсии . ^[5] Вейвлет-преобразование также успешно использовалось для интерпретации временных рядов оползней ^[6] и проседания почвы, ^[7] а также для расчета изменяющихся периодичностей эпидемий. ^[8]

Непрерывное вейвлет-преобразование (CWT) очень эффективно для определения коэффициента затухания осциллирующих сигналов (например, идентификация затухания в динамических системах). CWT также очень устойчив к шуму в сигнале. ^[9]

Смотрите также

• Непрерывный вейвлет
• S-преобразование
• Частотно-временной анализ
• Вейвлет Коши

Ссылки

• ^[10]
• А. Гроссманн и Дж. Морле, 1984, Разложение функций Харди на квадратично-интегрируемые вейвлеты постоянной формы, Soc. Int. Am. Math. (SIAM), J. Math. Analys., 15, 723–736.
• Линьтао Лю и Хоутсе Сю (2012) «Инверсия и нормализация частотно-временного преобразования» AMIS 6 № 1S стр. 67S-74S.
• Стефан Малла , «Вейвлет-тур по обработке сигналов», 2-е издание, Academic Press, 1999, ISBN  0-12-466606-X
• Дин, Цзянь-Цзюнь (2008), Частотно-временной анализ и вейвлет-преобразование, просмотрено 19 января 2008 г.
• Поликар, Роби (2001), The Wavelet Tutorial, просмотрено 19 января 2008 г.
• WaveMetrics (2004), Анализ частоты времени, просмотрено 18 января 2008 г.
• Валенс, Клеменс (2004), Действительно дружественное руководство по вейвлетам, просмотрено 18 сентября 2018 г.]
• Непрерывное вейвлет-преобразование Mathematica
• Левалле, Жак: Непрерывное вейвлет-преобразование ^{[ постоянная неработающая ссылка ]} , просмотрено 6 февраля 2010 г.

1. Торренс, Кристофер; Компо, Гилберт (1998). «Практическое руководство по вейвлет-анализу». Бюллетень Американского метеорологического общества . 79 (1): 61–78. Bibcode : 1998BAMS...79...61T. doi : 10.1175/1520-0477(1998)079<0061:APGTWA>2.0.CO;2 . S2CID  14928780.
2. Лю, Юнган (декабрь 2007 г.). «Исправление смещения в спектре мощности вейвлета». Журнал атмосферных и океанических технологий . 24 (12): 2093–2102. Bibcode : 2007JAtOT..24.2093L. doi : 10.1175/2007JTECHO511.1 .
3. Sejdic, E.; Djurovic, I.; Stankovic, L. (август 2008 г.). «Количественный анализ производительности скалограммы как мгновенного оценщика частоты». IEEE Transactions on Signal Processing . 56 (8): 3837–3845. Bibcode : 2008ITSP...56.3837S. doi : 10.1109/TSP.2008.924856. ISSN  1053-587X. S2CID  16396084.
4. «Новый метод оценки длины шага с помощью сетевых акселерометров области тела», IEEE BioWireless 2011 , стр. 79–82
5. Iranmanesh, Saam; Rodriguez-Villegas, Esther (2017). «Аналоговый чип обработки данных мощностью 950 нВт для носимых систем ЭЭГ при эпилепсии». IEEE Journal of Solid-State Circuits . 52 (9): 2362–2373. Bibcode : 2017IJSSC..52.2362I. doi : 10.1109/JSSC.2017.2720636. hdl : 10044/1/48764 . S2CID  24852887.
6. Томас, Р.; Ли, З.; Лопес-Санчес, JM; Лю, П.; Синглтон, А. (1 июня 2016 г.). «Использование вейвлет-инструментов для анализа сезонных изменений на основе данных временных рядов InSAR: тематическое исследование оползня Хуангтупо» (PDF) . Оползни . 13 (3): 437–450. Бибкод : 2016Земли..13..437Т. дои : 10.1007/s10346-015-0589-y. hdl : 10045/62160 . ISSN  1612-510Х. S2CID  129736286.
7. Томас, Роберто; пастор Хосе Луис; Бехар-Писарро, Марта; Бони, Роберта; Эскерро, Пабло; Фернандес-Меродо, Хосе Антонио; Гвардиола-Альберт, Каролина; Эррера, Херардо; Мейсина, Клаудия; Театини, Пьетро; Зукка, Франческо; Зоккарато, Клаудия; Франческини, Андреа (22 апреля 2020 г.). «Вейвлет-анализ временных рядов оседания земель: тематическое исследование Мадридского третичного водоносного горизонта». Труды Международной ассоциации гидрологических наук . 382 : 353–359. Бибкод : 2020PIAHS.382..353T. дои : 10.5194/piahs-382-353-2020 . ISSN  2199-899X.
8. фон Чефалвай, Крис (2023), «Временная динамика эпидемий», Вычислительное моделирование инфекционных заболеваний , Elsevier, стр. 217–255, doi :10.1016/b978-0-32-395389-4.00016-5, ISBN 978-0-323-95389-4, получено 27 февраля 2023 г.
9. Славик, Дж. и Симоновски, И. и М. Болтезар, Идентификация затухания с использованием непрерывного вейвлет-преобразования: применение к реальным данным
10. Прасад, Акхилеш; Маан, Джитендрасингх; Верма, Сандип Кумар (2021). «Вейвлет-преобразования, связанные с индексным преобразованием Уиттекера». Математические методы в прикладных науках . 44 (13): 10734–10752. Bibcode : 2021MMAS...4410734P. doi : 10.1002/mma.7440. ISSN  1099-1476. S2CID  235556542.

Внешние ссылки

• Вейвлеты: математический микроскоп на YouTube