Континуум, содержащий более одной точки, называется невырожденным .
Подмножество A континуума X, такое что A само является континуумом, называется субконтинуумом X. Пространство , гомеоморфное субконтинууму евклидовой плоскости R2 , называется плоским континуумом .
Континуум X является однородным , если для любых двух точек x и y из X существует гомеоморфизм h : X → X такой, что h ( x ) = y .
Континуум Пеано — это континуум, который локально связан в каждой точке.
Неразложимый континуум — это континуум, который не может быть представлен в виде объединения двух собственных подконтинуумов. Континуум X наследственно неразложим, если каждый подконтинуум X неразложим.
Под размерностью континуума обычно понимают его топологическую размерность . Одномерный континуум часто называют кривой .
Примеры
Дуга — это пространство , гомеоморфное замкнутому интервалу [0,1]. Если h : [0,1] → X — гомеоморфизм и h (0) = p и h (1) = q , то p и q называются конечными точками X ; также говорят, что X — это дуга из p в q . Дуга — это простейший и наиболее знакомый тип континуума. Он одномерен, дугообразно связен и локально связен.
Синусоида тополога — это подмножество плоскости, являющееся объединением графика функции f ( x ) = sin(1/ x ), 0 < x ≤ 1, с отрезком −1 ≤ y ≤ 1 оси Y. Это одномерный континуум, который не является дугообразно связным и локально несвязен в точках вдоль оси Y.
n -ячейка — это пространство, гомеоморфное замкнутому шару в евклидовом пространстве R n . Оно стягиваемо и является простейшим примером n -мерного континуума.
N -сфера — это пространство, гомеоморфное стандартной n -сфере в ( n + 1) -мерном евклидовом пространстве. Это n -мерный однородный континуум, который не является стягиваемым, и, следовательно, отличается от n -ячейки.
Куб Гильберта представляет собой бесконечномерный континуум.
Соленоиды являются одними из простейших примеров неразложимых однородных континуумов. Они не являются ни дугообразно связанными, ни локально связанными.
Ковер Серпинского , также известный как универсальная кривая Серпинского , представляет собой одномерный плоский континуум Пеано, содержащий гомеоморфный образ любого одномерного плоского континуума.
Псевдодуга представляет собой однородный наследственно неразложимый плоский континуум.
Характеристики
Существует два основных метода построения континуумов: с помощью вложенных пересечений и обратных пределов .
Если { X n } — вложенное семейство континуумов, т. е. X n ⊇ X n +1 , то их пересечение — континуум.
Если {( X n , f n )} — обратная последовательность континуумов X n , называемых координатными пространствами , вместе с непрерывными отображениями f n : X n +1 → X n , называемыми отображениями связей , то ее обратный предел — континуум.
Конечное или счетное произведение континуумов есть континуум.
Сэм Б. Надлер-младший, Теория континуума. Введение . Чистая и прикладная математика, Марсель Деккер. ISBN 0-8247-8659-9 .
Внешние ссылки
Открытые проблемы в теории континуума
Примеры в теории континуума
Теория континуума и топологическая динамика, М. Барж и Дж. Кеннеди, в книге «Открытые проблемы топологии», Дж. ван Милль и Г. М. Рид (редакторы), Elsevier Science Publishers BV (Северная Голландия), 1990.
