Выпуклое тело

Непустое выпуклое множество в евклидовом пространстве

Додекаэдр — выпуклое тело.

В математике выпуклое тело в -мерном евклидовом пространстве — это компактное выпуклое множество с непустой внутренностью . Некоторые авторы не требуют непустой внутренности, а только того, чтобы множество было непустым. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Выпуклое тело называется симметричным , если оно центрально симметрично относительно начала координат; то есть точка лежит в тогда и только тогда, когда ее антипод также лежит в Симметричные выпуклые тела находятся во взаимно однозначном соответствии с единичными шарами норм на ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Некоторые общеизвестные примеры выпуклых тел — это евклидов шар , гиперкуб и кросс-политоп .

Структура метрического пространства

Запишем для множества выпуклых тел в . Тогда — полное метрическое пространство с метрикой ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$

${\displaystyle d(K,L):=\inf\{\epsilon \geq 0:K\subset L+B^{n}(\epsilon ),L\subset K+B^{n}(\epsilon )\}}$. ^[1]

Кроме того, теорема Бляшке о выборе гласит, что каждая d -ограниченная последовательность в имеет сходящуюся подпоследовательность. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$

Полярное тело

Если — ограниченное выпуклое тело, содержащее начало координат внутри себя, то полярное тело — это . Полярное тело обладает несколькими хорошими свойствами, включая , ограничено, и если то . Полярное тело — это тип отношения двойственности . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle K^{*}}$ ${\displaystyle \{u:\langle u,v\rangle \leq 1,\forall v\in K\}}$ ${\displaystyle (K^{*})^{*}=K}$ ${\displaystyle K^{*}}$ ${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}}$ ${\displaystyle K_{2}^{*}\subset K_{1}^{*}}$

Смотрите также

• Список тем по выпуклости
• Эллипсоид Джона  – Эллипсоид, наиболее близко содержащий n-мерный выпуклый объект или содержащийся в нем.
• Теорема Брунна–Минковского , имеющая множество следствий, касающихся геометрии выпуклых тел.

Ссылки

1. Hug, Daniel; Weil, Wolfgang (2020). "Лекции по выпуклой геометрии". Graduate Texts in Mathematics . 286 . doi :10.1007/978-3-030-50180-8. ISBN 978-3-030-50179-2. ISSN  0072-5285.

• Хириар-Уррути, Жан-Батист; Лемарешаль, Клод (2001). Основы выпуклого анализа. дои : 10.1007/978-3-642-56468-0. ISBN 978-3-540-42205-1.
• Rockafellar, R. Tyrrell (12 января 1997 г.). Выпуклый анализ. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01586-6.
• Арья, Сунил; Маунт, Дэвид М. (2023). «Оптимальные границы, чувствительные к объему, для аппроксимации многогранников». 39-й Международный симпозиум по вычислительной геометрии (SoCG 2023) . 258 : 9:1–9:16. doi : 10.4230/LIPIcs.SoCG.2023.9 .
• Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна-Минковского». Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (электронный). doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .