Корреляционная функция (статистическая механика)

Мера порядка системы

Схематические функции корреляции спинов с равным временем для ферромагнитных и антиферромагнитных материалов как выше, так и ниже в зависимости от расстояния, нормализованного длиной корреляции, . Во всех случаях корреляции наиболее сильны ближе к началу координат, что указывает на то, что спин оказывает наибольшее влияние на своих ближайших соседей. Все корреляции постепенно затухают по мере увеличения расстояния от спина в начале координат. Выше температуры Кюри корреляция между спинами стремится к нулю, поскольку расстояние между спинами становится очень большим. Напротив, ниже корреляция между спинами не стремится к нулю на больших расстояниях, а вместо этого затухает до уровня, соответствующего дальнему порядку системы. Разница в этих поведении затухания, где корреляции между микроскопическими случайными величинами становятся нулевыми по сравнению с ненулевыми на больших расстояниях, является одним из способов определения ближнего и дальнего порядка. ${\displaystyle T_{\text{Curie}}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle T_{\text{Curie}}}$

В статистической механике корреляционная функция является мерой порядка в системе, которая характеризуется математической корреляционной функцией . Корреляционные функции описывают, как связаны микроскопические переменные, такие как спин и плотность, в разных положениях. Более конкретно, корреляционные функции количественно измеряют степень, в которой микроскопические переменные флуктуируют вместе, в среднем, в пространстве и/или времени. Имейте в виду, что корреляция автоматически не означает причинно-следственную связь. Таким образом, даже если между двумя точками в пространстве или времени есть ненулевая корреляция, это не означает, что между ними есть прямая причинно-следственная связь. Иногда корреляция может существовать без какой-либо причинно-следственной связи. Это может быть чисто случайным совпадением или из-за других базовых факторов, известных как смешивающие переменные, которые заставляют обе точки ковариировать (статистически).

Классический пример пространственной корреляции можно увидеть в ферромагнитных и антиферромагнитных материалах. В этих материалах атомные спины имеют тенденцию выстраиваться в параллельных и антипараллельных конфигурациях со своими соседними аналогами соответственно. Рисунок справа наглядно представляет эту пространственную корреляцию между спинами в таких материалах.

Определения

Наиболее распространенное определение корреляционной функции — это каноническое ансамблевое (тепловое) среднее значение скалярного произведения двух случайных величин и в положениях и и временах и : ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R+r}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+\tau }$ $${\displaystyle C(r,\tau )=\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2}} (R+r,t+\tau )\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (R+r,t+\tau )\rangle \,.}$$

Здесь скобки, , указывают на вышеупомянутое тепловое среднее. Однако здесь важно отметить, что хотя скобки называются средним значением, они вычисляются как ожидаемое значение , а не среднее значение. Это вопрос соглашения, вычитать ли некоррелированное среднее произведение и , из коррелированного произведения , при этом соглашение различается в зависимости от поля. Наиболее распространенное использование корреляционных функций — это когда и описывают одну и ту же переменную, например, функцию корреляции спин-спин или функцию корреляции положение-положение частицы в элементарной жидкости или твердом теле (часто называемую функцией радиального распределения или функцией парной корреляции). Корреляционные функции между одной и той же случайной величиной являются функциями автокорреляции . Однако в статистической механике не все корреляционные функции являются функциями автокорреляции. Например, в многокомпонентных конденсированных фазах часто представляет интерес функция парной корреляции между различными элементами. Такие смешанные функции парной корреляции элементов являются примером функций кросс-корреляции , поскольку случайные величины и представляют средние изменения плотности как функции положения для двух различных элементов. ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (R+r,t+\tau )\rangle }$ ${\displaystyle \langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2}} (R+r,t+\tau )\rangle }$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$

Равновесные равновременные (пространственные) корреляционные функции

Часто интерес представляет только пространственное влияние заданной случайной величины, например, направления спина, на ее локальное окружение, не принимая во внимание более поздние времена, . В этом случае мы пренебрегаем временной эволюцией системы, поэтому приведенное выше определение переписывается с помощью . Это определяет функцию корреляции с равным временем , . Она записывается как: ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau =0}$ ${\displaystyle C(r,0)}$ $${\displaystyle C(r,0)=\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2}} (R+r,t)\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (R+r,t)\rangle \,.}$$

Часто опускают опорное время, , и опорный радиус, , предполагая равновесие (и, таким образом, временную инвариантность ансамбля) и усредняя по всем позициям образца, что дает: где, опять же, выбор того, следует ли вычитать некоррелированные переменные, отличается для разных полей. Функция радиального распределения является примером функции корреляции с равным временем, где некоррелированный опорный сигнал, как правило, не вычитается. Другие функции корреляции спин-спин с равным временем для различных материалов и условий показаны на этой странице. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle C(r)=\langle \mathbf {s_{1}} (0)\cdot \mathbf {s_{2}} (r)\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (0)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (r)\rangle }$$

Равновесные равнопозиционные (временные) корреляционные функции

Также может быть интересна временная эволюция микроскопических переменных. Другими словами, как значение микроскопической переменной в заданном положении и времени, и , влияет на значение той же микроскопической переменной в более позднее время, (и обычно в том же положении). Такие временные корреляции количественно определяются с помощью функций корреляции равного положения , . Они определяются аналогично функциям корреляции равного времени, указанным выше, но теперь мы пренебрегаем пространственными зависимостями, устанавливая , получая: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+\tau }$ ${\displaystyle C(0,\tau )}$ ${\displaystyle r=0}$ $${\displaystyle C(0,\tau )=\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2}} (R,t+\tau )\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (R,t+\tau )\rangle \,.}$$

Предположение о равновесии (и, следовательно, об инвариантности ансамбля во времени) и усреднение по всем участкам в выборке дает более простое выражение для функции корреляции при равных положениях, чем для функции корреляции при равных временах: $${\displaystyle C(\tau )=\langle \mathbf {s_{1}} (0)\cdot \mathbf {s_{2}} (\tau )\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (0)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (\tau )\rangle \,.}$$

Вышеуказанное предположение может показаться неинтуитивным на первый взгляд: как ансамбль, который является инвариантным во времени, может иметь неоднородную временную корреляционную функцию? Временные корреляции остаются актуальными для обсуждения в равновесных системах, потому что инвариантный во времени макроскопический ансамбль все еще может иметь нетривиальную временную динамику микроскопически . Одним из примеров является диффузия. Однофазная система в равновесии имеет однородный состав макроскопически. Однако, если наблюдать за микроскопическим движением каждого атома, флуктуации состава постоянно происходят из-за квазислучайных блужданий, совершаемых отдельными атомами. Статистическая механика позволяет делать проницательные утверждения о временном поведении таких флуктуаций равновесных систем. Это обсуждается ниже в разделе о временной эволюции корреляционных функций и гипотезе регрессии Онзагера.

Обобщение за пределами равновесных корреляционных функций

Все вышеперечисленные корреляционные функции были определены в контексте равновесной статистической механики. Однако можно определить корреляционные функции для систем вдали от равновесия. Рассматривая общее определение , становится ясно, что можно определить случайные величины, используемые в этих корреляционных функциях, такие как атомные положения и спины, вдали от равновесия. Таким образом, их скалярное произведение хорошо определено вдали от равновесия. Операция, которая больше не хорошо определена вдали от равновесия, — это среднее по равновесному ансамблю. Этот процесс усреднения для неравновесной системы обычно заменяется усреднением скалярного произведения по всему образцу. Это типично для экспериментов по рассеянию и компьютерного моделирования и часто используется для измерения радиальных функций распределения стекол. ${\displaystyle C(r,\tau )}$

Можно также определить средние значения по состояниям для систем, слегка возмущенных от равновесия. См., например, http://xbeams.chem.yale.edu/~batista/vaa/node56.html Архивировано 25.12.2018 на Wayback Machine

Измерение корреляционных функций

Корреляционные функции обычно измеряются с помощью экспериментов по рассеянию. Например, эксперименты по рассеянию рентгеновских лучей напрямую измеряют корреляции электрон-электрон в равное время. ^[1] Зная факторы элементарной структуры, можно также измерить элементарные парные корреляционные функции. См. Радиальная функция распределения для получения дополнительной информации. Функции корреляции спин-спин в равное время измеряются с помощью нейтронного рассеяния , в отличие от рентгеновского рассеяния. Рассеяние нейтронов также может дать информацию о парных корреляциях. Для систем, состоящих из частиц размером более одного микрометра, оптическая микроскопия может использоваться для измерения как функций корреляции в равное время, так и функций корреляции в равном положении. Таким образом, оптическая микроскопия распространена для коллоидных суспензий, особенно в двух измерениях.

Временная эволюция корреляционных функций

В 1931 году Ларс Онзагер предположил, что регрессия микроскопических тепловых флуктуаций в равновесии следует макроскопическому закону релаксации малых неравновесных возмущений. ^[2] Это известно как гипотеза регрессии Онзагера . Поскольку значения микроскопических переменных, разделенных большими временными масштабами, должны быть некоррелированными за пределами того, что мы ожидаем от термодинамического равновесия, эволюцию во времени корреляционной функции можно рассматривать с физической точки зрения как систему, постепенно «забывающую» начальные условия, наложенные на нее посредством спецификации некоторой микроскопической переменной. На самом деле существует интуитивная связь между временной эволюцией корреляционных функций и временной эволюцией макроскопических систем: в среднем корреляционная функция эволюционирует во времени таким же образом, как если бы система была подготовлена ​​в условиях, заданных начальным значением корреляционной функции, и ей позволили эволюционировать. ^[1] ${\displaystyle \tau }$

Равновесные флуктуации системы можно связать с ее реакцией на внешние возмущения с помощью теоремы о флуктуации-диссипации .

Связь между фазовыми переходами и корреляционными функциями

Функции корреляции равного времени, , как функция радиуса для ферромагнитной спиновой системы выше, при и ниже при ее критической температуре, . Выше демонстрирует комбинированную экспоненциальную и степенную зависимость от расстояния: . Степенная зависимость доминирует на расстояниях, малых по сравнению с длиной корреляции, , в то время как экспоненциальная зависимость доминирует на расстояниях, больших по сравнению с . При длина корреляции расходится, , что приводит к исключительно степенному поведению: . отличается крайней нелокальностью пространственных корреляций между микроскопическими значениями соответствующего параметра порядка без дальнего порядка. Ниже спины демонстрируют спонтанное упорядочение, т. е. дальний порядок, и бесконечную длину корреляции. Непрерывные переходы порядок-беспорядок можно понимать как процесс перехода длины корреляции, , от бесконечной в низкотемпературном упорядоченном состоянии к бесконечной в критической точке, а затем к конечной в высокотемпературном неупорядоченном состоянии. ${\displaystyle C(r,\tau =0)}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle C(r,\tau =0)}$ ${\displaystyle C(r,\tau =0)\propto r^{-\vartheta }e^{-r/\xi (T)}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle \xi (T_{C})=\infty }$ ${\displaystyle C(r,\tau =0)\propto r^{-(d-2+\eta )}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle \xi }$

Непрерывные фазовые переходы, такие как переходы порядок-беспорядок в металлических сплавах и переходы ферромагнитный-парамагнитный, включают переход из упорядоченного в неупорядоченное состояние. С точки зрения корреляционных функций, функция корреляции с равным временем не равна нулю для всех точек решетки ниже критической температуры и не является пренебрежимо малой только для довольно малого радиуса выше критической температуры. Поскольку фазовый переход непрерывен, длина, на которой коррелируют микроскопические переменные, , должна непрерывно переходить от бесконечности к конечности, когда материал нагревается до критической температуры. Это приводит к степенной зависимости функции корреляции как функции расстояния в критической точке. Это показано на рисунке слева для случая ферромагнитного материала, с количественными подробностями, перечисленными в разделе о магнетизме. ${\displaystyle \xi }$

Приложения

Магнетизм

В спиновой системе функция корреляции с равным временем особенно хорошо изучена. Она описывает каноническое ансамблевое (тепловое) среднее скалярного произведения спинов в двух точках решетки по всем возможным упорядочениям: Здесь скобки означают вышеупомянутое тепловое среднее. Схематические графики этой функции показаны для ферромагнитного материала ниже, при и выше его температуры Кюри слева. ${\displaystyle C(r)=\langle \mathbf {s} (R)\cdot \mathbf {s} (R+r)\rangle \ -\langle \mathbf {s} (R)\rangle \langle \mathbf {s} (R+r)\rangle \,.}$

Даже в магнитно-неупорядоченной фазе спины в разных положениях коррелированы, т. е. если расстояние r очень мало (по сравнению с некоторой шкалой длины ), взаимодействие между спинами приведет к их корреляции. Выравнивание, которое естественным образом возникло бы в результате взаимодействия между спинами, разрушается тепловыми эффектами. При высоких температурах наблюдаются экспоненциально затухающие корреляции с увеличением расстояния, причем корреляционная функция асимптотически задается выражением ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle C(r)\approx {\frac {1}{r^{\vartheta }}}\exp {\left(-{\frac {r}{d}}\right)}\,,}$

где r — расстояние между спинами, а d — размерность системы, а — показатель степени, значение которого зависит от того, находится ли система в неупорядоченной фазе (т.е. выше критической точки) или в упорядоченной фазе (т.е. ниже критической точки). При высоких температурах корреляция экспоненциально спадает до нуля с расстоянием между спинами. Тот же экспоненциальный спад как функция радиального расстояния наблюдается и ниже , но пределом на больших расстояниях является средняя намагниченность . Точно в критической точке наблюдается алгебраическое поведение ${\displaystyle \vartheta }$ ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle \langle M^{2}\rangle }$

${\displaystyle C(r)\approx {\frac {1}{r^{(d-2+\eta )}}}\,,}$

где — критический показатель , который не имеет простой связи с некритическим показателем, введенным выше. Например, точное решение двумерной модели Изинга (с короткодействующими ферромагнитными взаимодействиями) дает точно при критичности , но выше критичности и ниже критичности . ^{[3] [4]} ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \vartheta }$ ${\displaystyle \eta ={\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle \vartheta ={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \vartheta =2}$

При понижении температуры термическое разупорядочение уменьшается, и при непрерывном фазовом переходе длина корреляции расходится, поскольку длина корреляции должна непрерывно переходить от конечного значения выше фазового перехода к бесконечности ниже фазового перехода:

${\displaystyle \xi \propto |T-T_{c}|^{-\nu }\,,}$

с другим критическим показателем . ${\displaystyle \nu }$

Эта степенная корреляция отвечает за масштабирование , наблюдаемое в этих переходах. Все упомянутые показатели не зависят от температуры. Они фактически универсальны , т.е. оказываются одинаковыми в самых разных системах.

Радиальные функции распределения

Одной из распространенных корреляционных функций является функция радиального распределения , которая часто встречается в статистической механике и механике жидкости . Корреляционная функция может быть рассчитана в точно решаемых моделях (одномерный газ Бозе, спиновые цепочки, модель Хаббарда) с помощью квантового метода обратного рассеяния и анзаца Бете . В изотропной модели XY временные и температурные корреляции были оценены Итсом, Корепиным, Изергиным и Славновым. ^[5]

Корреляционные функции более высокого порядка

Корреляционные функции более высокого порядка включают несколько опорных точек и определяются посредством обобщения вышеуказанной корреляционной функции путем взятия ожидаемого значения произведения более чем двух случайных величин:

${\displaystyle C_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}(s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n})=\langle X_{i_{1}}(s_{1})X_{i_{2}}(s_{2})\cdots X_{i_{n}}(s_{n})\rangle .}$

Однако такие функции корреляции более высокого порядка относительно трудно интерпретировать и измерять. Например, для измерения аналогов парных функций распределения более высокого порядка необходимы когерентные источники рентгеновского излучения. Как теория такого анализа ^{[6] [7]} , так и экспериментальное измерение необходимых функций рентгеновской кросс-корреляции ^[8] являются областями активных исследований.

Смотрите также

• Уравнение Орнштейна–Цернике

Ссылки

1. Sethna, James P. (2006). "Глава 10: Корреляции, реакция и рассеивание". Статистическая механика: энтропия, параметры порядка и сложность . Oxford University Press. ISBN 978-0198566779.
2. Онзагер, Ларс (1931). «Взаимные отношения в необратимых процессах. I». Physical Review . 38 (405): 2265–2279. Bibcode :1931PhRv...37..405O. doi : 10.1103/PhysRev.37.405 .
3. BM McCoy и TT Wu (1973) Двумерная модель Изинга , Издательство Гарвардского университета
4. М. Хенкель (1999) Конформная инвариантность и критические явления , Springer (Гейдельберг)
5. А. Р. Итс, В. Э. Корепин, А. Г. Изергин и Н. А. Славнов (2009) Температурная корреляция квантовых спинов с arxiv.org .
6. Альтарелли, М.; Курта, РП; Вартанянц, ИА (2010). "Анализ кросс-корреляции рентгеновских лучей и локальные симметрии неупорядоченных систем: Общая теория". Physical Review B . 82 (10): 104207. arXiv : 1006.5382 . Bibcode :2010PhRvB..82j4207A. doi :10.1103/PhysRevB.82.104207. S2CID  119243898.
7. Lehmkühler, F.; Grübel, G.; Gutt, C. (2014). «Обнаружение ориентационного порядка в модельных системах методами рентгеновской кросс-корреляции». Журнал прикладной кристаллографии . 47 (4): 1315. arXiv : 1402.1432 . doi : 10.1107/S1600576714012424. S2CID  97097937.
8. Wochner, P.; Gutt, C.; Autenrieth, T.; Demmer, T.; Bugaev, V.; Ortiz, AD; Duri, A.; Zontone, F.; Grubel, G.; Dosch, H. (2009). "Анализ рентгеновской кросс-корреляции раскрывает скрытые локальные симметрии в неупорядоченной материи". Труды Национальной академии наук . 106 (28): 11511–4. Bibcode : 2009PNAS..10611511W. doi : 10.1073/pnas.0905337106 . PMC 2703671. PMID  20716512 . 

Дальнейшее чтение

• Sethna, James P. (2006). "Глава 10: Корреляции, реакция и рассеивание". Статистическая механика: энтропия, параметры порядка и сложность . Oxford University Press. ISBN 978-0198566779.
• Радиальная функция распределения
• Yeomans, JM (1992). Статистическая механика фазовых переходов . Oxford Science Publications. ISBN 978-0-19-851730-6.
• Фишер, М. Э. (1974). «Группа перенормировки в теории критического поведения». Reviews of Modern Physics . 46 (4): 597–616. Bibcode : 1974RvMP...46..597F. doi : 10.1103/RevModPhys.46.597.
• Редакторы C. Domb , MS Green , JL Lebowitz , Phase Transitions and Critical Phenomena , т. 1-20 (1972–2001), Academic Press.