Синусные и косинусные преобразования

Вариант преобразования Фурье

Синусоидальное и косинусоидальное преобразования преобразуют функцию в представление частотной области как сумму синусоидальных и косинусоидальных волн . Обратное преобразование преобразует обратно во временную или пространственную область.

В математике синусное и косинусное преобразования Фурье являются интегральными уравнениями , которые разлагают произвольные функции на сумму синусоидальных волн, представляющих нечетную составляющую функции, и косинусоидальных волн, представляющих четную составляющую функции. Современное преобразование Фурье кратко содержит как синусоидальное, так и косинусоидальное преобразования. Поскольку синусоидальное и косинусоидальное преобразования используют синусоидальные и косинусоидальные волны вместо комплексных экспонент и не требуют комплексных чисел или отрицательной частоты , они более точно соответствуют исходным уравнениям преобразования Джозефа Фурье и по-прежнему предпочтительны в некоторых приложениях обработки сигналов и статистики и могут лучше подходить в качестве введения в анализ Фурье .

Определение

Преобразования Фурье связывают функцию временной области (красную) с функцией частотной области (синюю). Синусоидальные или косинусоидальные волны, составляющие исходную функцию, будут появляться как пики в функциях частотной области, полученных с помощью синусоидального или косинусоидального преобразования соответственно.

Синус-преобразование Фурье имеет вид : ^{[примечание 1]} ${\displaystyle f(t)}$

Синусоидальное преобразование Фурье

${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt.}$

Если означает время , то — частота в циклах за единицу времени, ^{[примечание 2],} но в абстракции это может быть любая двойственная пара переменных (например, положение и пространственная частота ). ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \xi }$

Синусоидальное преобразование обязательно является нечетной функцией частоты, т.е. для всех : ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(-\xi )=-{\hat {f}}^{s}(\xi ).}$$

Косинусное преобразование простой прямоугольной функции (высоты и ширины ) представляет собой нормализованный sinc, изображенный выше. ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a\xi )}$

Косинусное преобразование Фурье имеет вид : ^{[примечание 3]} ${\displaystyle f(t)}$

Косинусное преобразование Фурье

${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt.}$

Косинусное преобразование обязательно является четной функцией частоты, т.е. для всех : ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )={\hat {f}}^{c}(-\xi ).}$$

Четное и нечетное упрощение

Как и все четные функции, левая половина гауссовой функции является зеркальным отражением ее правой половины, а ее синусное преобразование равно нулю. Гауссианы имеют вид и их косинусное преобразование: также является гауссовой функцией. Построенная гауссиана использует α = π и является своим собственным косинусным преобразованием. ${\displaystyle e^{-\alpha t^{2}}}$
$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )={\sqrt {\tfrac {\pi }{\alpha }}}\,e^{-{\frac {(\pi \xi )^{2}}{\alpha }}}}$$

Правила умножения для четных и нечетных функций, показанные в верхних скобках в следующих уравнениях, значительно упрощают подынтегральные выражения при преобразовании четных и нечетных функций . Некоторые авторы ^[1] определяют косинусное преобразование только для четных функций . Поскольку косинус является четной функцией и поскольку интеграл четной функции от до в два раза больше ее интеграла от до , косинусное преобразование любой четной функции можно упростить, чтобы избежать отрицательного : ${\displaystyle f_{\text{even}}(t)}$ ${\displaystyle {-}\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{even}}(t)\cdot \cos(2\pi \xi t)} ^{\text{even·even=even}}\,dt=2\int _{0}^{\infty }f_{\text{even}}(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt.}$$

А поскольку интеграл от до любой нечетной функции из равен нулю , косинусное преобразование любой нечетной функции просто равно нулю: ${\displaystyle {-}\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{odd}}(t)\cdot \cos(2\pi \xi t)} ^{\text{odd·even=odd}}\,dt=0.}$$

Нечетные функции не меняются, если повернуть их на 180 градусов вокруг начала координат . Их косинусное преобразование полностью равно нулю. Вышеуказанная нечетная функция содержит две сдвинутые во времени дельта-функции Дирака половинного размера . Ее синусное преобразование просто Аналогично, синусное преобразование — это приведенный выше график. Таким образом, синусоидальная функция и сдвинутая во времени дельта-функция Дирака образуют пару преобразований . ${\displaystyle \sin(a\xi ).}$ ${\displaystyle \sin(a\xi )}$

Аналогично, поскольку sin нечетен, синусное преобразование любой нечетной функции также упрощается, чтобы избежать отрицательности : ${\displaystyle f_{\text{odd}}(t)}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{odd}}(t)\cdot \sin(2\pi \xi t)} ^{\text{odd·odd=even}}\,dt=2\int _{0}^{\infty }f_{\text{odd}}(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt}$$

а синусное преобразование любой четной функции просто равно нулю:

$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{even}}(t)\cdot \sin(2\pi \xi t)} ^{\text{even·odd=odd}}\,dt=0.}$$

Синусное преобразование представляет нечетную часть функции , а косинусное преобразование представляет четную часть функции.

Другие конвенции

Подобно тому, как преобразование Фурье принимает форму различных уравнений с различными постоянными коэффициентами (см. преобразование Фурье § Унитарность и определение для квадратично интегрируемых функций для обсуждения), другие авторы также определяют косинусное преобразование как ^[2] и синусное преобразование как Другое соглашение определяет косинусное преобразование как ^[3] и синусное преобразование как используя в качестве переменной преобразования. И в то время как обычно используется для представления временной области, часто вместо этого используется для представления пространственной области при преобразовании в пространственные частоты. $${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt}$$ $${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt.}$$ $${\displaystyle F_{c}(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)\cos(\alpha x)\,dx}$$ $${\displaystyle F_{s}(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)\sin(\alpha x)\,dx}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$

инверсия Фурье

Исходную функцию можно восстановить из ее синусных и косинусных преобразований при обычных гипотезах ^{[примечание 4],} используя формулу обращения: ^[4] ${\displaystyle f}$

Обращение Фурье (из синусного и косинусного преобразований)

${\displaystyle f(t)=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\xi )\sin(2\pi \xi t)\,d\xi } _{{\text{odd component of }}f(t)}\,+\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\xi )\cos(2\pi \xi t)\,d\xi } _{{\text{even component of }}f(t)}\,.}$

Упрощения

Обратите внимание, что поскольку оба подынтегральных выражения являются четными функциями , концепцию отрицательной частоты можно обойти, удвоив результат интегрирования по неотрицательным частотам: ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle f(t)=2\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\xi )\sin(2\pi \xi t)\,d\xi \,+2\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\xi )\cos(2\pi \xi t)\,d\xi \,.}$$

Кроме того, если — нечетная функция , то косинусное преобразование равно нулю, поэтому его инверсия упрощается до: ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\xi )\sin(2\pi \xi t)\,d\xi ,{\text{ only if }}f(t){\text{ is odd.}}}$$

Аналогично, если исходная функция является четной функцией , то синусное преобразование равно нулю, поэтому его инверсия также упрощается до: ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\xi )\cos(2\pi \xi t)\,d\xi ,{\text{ only if }}f(t){\text{ is even.}}}$$

Примечательно, что эти последние две упрощенные формулы инверсии выглядят идентично исходным синусоидальным и косинусоидальным преобразованиям, соответственно, хотя и с переставленными местами с (и с переставленными местами с или ). Следствием этой симметрии является то, что их процессы инверсии и преобразования продолжают работать, когда две функции меняются местами. Две такие функции называются парами преобразований . ^{[примечание 5]} ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}^{s}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}^{c}}$

Обзор доказательства инверсии

Используя формулу сложения для косинуса , полную формулу обращения можно также переписать как интегральную формулу Фурье : ^{[5] [6]} Эта теорема часто формулируется при различных гипотезах, что она интегрируема и имеет ограниченную вариацию на открытом интервале, содержащем точку , в этом случае $${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos(2\pi \xi (x-t))\,dx\,d\xi .}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left(f(t+h)+f(t-h)\right)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos(2\pi \xi (x-t))\,dx\,d\xi .}$$

Эта последняя форма является полезным промежуточным шагом в доказательстве обратных формул для преобразований since и cosine. Один из методов его вывода, согласно Коши, заключается в подстановке a в интеграл, где фиксировано. Тогда Теперь, когда , подынтегральное выражение стремится к нулю, за исключением , так что формально вышесказанное имеет вид ${\displaystyle e^{-\delta \xi }}$ ${\displaystyle \delta >0}$ $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\delta \xi }\cos(2\pi \xi (x-t))\,d\xi \,f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\frac {2\delta }{\delta ^{2}+4\pi ^{2}(x-t)^{2}}}\,dx.}$$ ${\displaystyle \delta \to 0}$ ${\displaystyle x=t}$ $${\displaystyle f(t)\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\delta }{\delta ^{2}+4\pi ^{2}(x-t)^{2}}}\,dx=f(t).}$$

Связь с комплексными экспонентами

Комплексная экспоненциальная форма преобразования Фурье, используемая сегодня чаще всего, имеет вид ^[7] где — квадратный корень из отрицательной единицы . Применяя формулу Эйлера , можно показать (для вещественных функций), что вещественная составляющая преобразования Фурье — это косинусное преобразование (представляющее четную составляющую исходной функции), а мнимая составляющая преобразования Фурье — это отрицательная часть синусного преобразования (представляющая нечетную составляющую исходной функции): ^[8] Из-за этой связи косинусное преобразование функций, преобразование Фурье которых известно (например, в преобразовании Фурье § Таблицы важных преобразований Фурье ), можно просто найти, взяв действительную часть преобразования Фурье: в то время как синусное преобразование — это просто отрицательная часть мнимой части преобразования Фурье: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\xi t}\,dt\\\end{aligned}}\,}$$ ${\displaystyle i}$ ${\textstyle (e^{ix}=\cos x+i\sin x),}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\left(\cos(2\pi \xi t)-i\,\sin(2\pi \xi t)\right)dt&&{\text{Euler's Formula}}\\&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt\right)-i\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt\right)\\&={\hat {f}}^{c}(\xi )-i\,{\hat {f}}^{s}(\xi )\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\mathrm {Re} {[\;{\hat {f}}(\xi )\;]}}$$ $${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=-\mathrm {Im} {[\;{\hat {f}}(\xi )\;]}\,.}$$

Плюсы и минусы

Сложение синусоидальной волны (красной) и косинусоидальной волны (синей) той же частоты приводит к сдвинутой по фазе синусоидальной волне (зеленой) той же частоты, но амплитуда и фаза которой зависят от амплитуд исходной синусоидальной и косинусоидальной волн . Следовательно, на определенной частоте синусоидальное преобразование и косинусоидальное преобразование вместе по сути представляют собой только одну синусоидальную волну, которая может иметь любой сдвиг фазы.

Преимущество современного преобразования Фурье заключается в том, что в то время как синусное и косинусное преобразования вместе требуются для извлечения фазовой информации частоты, современное преобразование Фурье вместо этого компактно упаковывает как фазовую , так и амплитудную информацию внутри своего комплекснозначного результата. Но недостатком является его требование понимания комплексных чисел, комплексных экспонент и отрицательной частоты.

Синусоидальные и косинусоидальные преобразования, тем временем, имеют то преимущество, что все величины являются действительными. Поскольку положительные частоты могут полностью их выразить, нетривиальное понятие отрицательной частоты, необходимое в обычном преобразовании Фурье, можно избежать. Они также могут быть удобны, когда исходная функция уже четная или нечетная или может быть сделана четной или нечетной, в этом случае требуется только косинусное или синусоидальное преобразование соответственно. Например, даже если вход может не быть четным или нечетным, дискретное косинусное преобразование может начинаться с предположения четного расширения своего входа, в то время как дискретное синусоидальное преобразование может начинаться с предположения нечетного расширения своего входа, чтобы избежать необходимости вычислять все дискретное преобразование Фурье .

Численная оценка

Использование стандартных методов численной оценки для интегралов Фурье, таких как квадратуры Гаусса или tanh-sinh, скорее всего, приведет к совершенно неверным результатам, поскольку квадратурная сумма (для большинства интересующих интегрантов) крайне плохо обусловлена. Требуются специальные численные методы, которые используют структуру колебания, примером которых является метод Оуры для интегралов Фурье ^[9]. Этот метод пытается оценить подынтегральное выражение в местах, которые асимптотически приближаются к нулям колебания (либо к синусу, либо к косинусу), быстро уменьшая величину положительных и отрицательных членов, которые суммируются.

Смотрите также

• Дискретное косинусное преобразование
• Дискретное синусоидальное преобразование
• Список преобразований Фурье

Примечания

1. Синусоидальное преобразование иногда обозначается символом вместо . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}(f)}$ ${\displaystyle {\hat {f}}^{s}}$
2. Хотя в этой статье используется обычная частота в циклах за единицу времени, которая обычно использует герц и секунду в качестве единиц, эти преобразования иногда выражаются с использованием угловой частоты в угловых единицах (например, радианах ) за единицу времени, где радиан в секунду равен . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega }$  ${\displaystyle 2\pi \xi }$
3. Косинусное преобразование иногда обозначается символом вместо . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}(f)}$ ${\displaystyle {\hat {f}}^{c}}$
4. Обычные гипотезы таковы, что и оба его преобразования должны быть абсолютно интегрируемыми. Для получения более подробной информации о различных гипотезах см. теорему об обращении Фурье . ${\displaystyle f}$
5. Более общее современное преобразование Фурье имеет эту симметрию даже когда исходные функции не являются четными или нечетными. Обозначение для обозначения пар преобразований Фурье: ${\displaystyle f(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ).}$

Ссылки

• Уиттекер, Эдмунд и Джеймс Уотсон, Курс современного анализа , четвертое издание, Cambridge Univ. Press, 1927, стр. 189, 211

1. Мэри Л. Боас , Математические методы в физических науках , 2-е изд., John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN  0-471-04409-1
2. Nyack, Cuthbert (1996). "Преобразование Фурье, косинусные и синусные преобразования". cnyack.homestead.com . Архивировано из оригинала 2023-06-07 . Получено 2018-10-08 .
3. Коулман, Мэтью П. (2013). Введение в уравнения с частными производными с помощью MATLAB (Второе изд.). Бока-Ратон. стр. 221. ISBN 978-1-4398-9846-8. OCLC  822959644.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Пуанкаре, Анри (1895). Аналитическая теория распространения таланта. Париж: Г. Карре. стр. 108 и далее.
5. Эдвин Титчмарш (1948), Введение в теорию интеграла Фурье , Оксфорд, Clarendon Press, стр. 1
6. Уиттекер, Эдмунд Тейлор ; Уотсон, Джордж Невилл (1927-01-02). Курс современного анализа: Введение в общую теорию бесконечных процессов и аналитических функций; с учетом главных трансцендентных функций (4-е изд.). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. стр. 189. ISBN 0-521-06794-4. ISBN 978-0-521-06794-2 . 
7. Valentinuzzi, Max E. (2016-01-25). "Highlights in the History of the Fourier Transform". IEEE Pulse . Архивировано из оригинала 2024-05-15 . Получено 2024-09-09 .
8. Уильямс, Лэнс Р. (2011-09-06). "Четные и нечетные функции" (PDF) . www.cs.unm.edu/~williams/ . Архивировано (PDF) из оригинала 2024-05-02 . Получено 2024-09-11 .
9. Такуя Оура, Масатаке Мори, Надежная двойная экспоненциальная формула для интегралов типа Фурье , Журнал вычислительной и прикладной математики 112.1-2 (1999): 229-241.