Симплициальный набор

Математическая конструкция, используемая в теории гомотопии

В математике симплициальное множество — это объект, составленный из симплексов определенным образом. Симплициальное множество — это многомерное обобщение ориентированных графов , частично упорядоченных множеств и категорий . Формально симплициальное множество можно определить как контравариантный функтор из категории симплексов в категорию множеств . Симплициальное множество было введено в 1950 году Сэмюэлем Эйленбергом и Джозефом А. Зильбером. ^[1]

Каждое симплициальное множество порождает «хорошее» топологическое пространство , известное как его геометрическая реализация. Эта реализация состоит из геометрических симплексов , склеенных вместе в соответствии с правилами симплициального множества. Действительно, можно рассматривать симплициальное множество как чисто комбинаторную конструкцию, предназначенную для того, чтобы уловить суть « хорошо себя ведущего » топологического пространства для целей теории гомотопии . В частности, категория симплициальных множеств несет естественную модельную структуру , и соответствующая гомотопическая категория эквивалентна знакомой гомотопической категории топологических пространств.

Симплициальные множества используются для определения квазикатегорий , базового понятия теории высших категорий . Построение, аналогичное построению симплициальных множеств, может быть выполнено в любой категории, а не только в категории множеств, что даёт понятие симплициальных объектов .

Мотивация

Симплициальное множество — это категориальная (то есть чисто алгебраическая) модель, охватывающая те топологические пространства, которые могут быть построены (или точно представлены с точностью до гомотопии) из симплексов и их отношений инцидентности. Это похоже на подход CW-комплексов к моделированию топологических пространств, с тем принципиальным отличием, что симплициальные множества являются чисто алгебраическими и не несут никакой фактической топологии.

Чтобы вернуться к реальным топологическим пространствам, существует геометрический функтор реализации , который превращает симплициальные множества в компактно порожденные хаусдорфовы пространства . Большинство классических результатов о комплексах CW в теории гомотопии обобщаются аналогичными результатами для симплициальных множеств. В то время как алгебраические топологи в основном продолжают отдавать предпочтение комплексам CW, растет число исследователей, заинтересованных в использовании симплициальных множеств для приложений в алгебраической геометрии , где комплексы CW естественным образом не существуют.

Интуиция

Симплициальные множества можно рассматривать как обобщение ориентированных мультиграфов более высокой размерности . Симплициальное множество содержит вершины (известные как «0-симплексы» в этом контексте) и стрелки («1-симплексы») между некоторыми из этих вершин. Две вершины могут быть соединены несколькими стрелками, а также допускаются направленные петли, соединяющие вершину с собой. В отличие от ориентированных мультиграфов, симплициальные множества могут также содержать более высокие симплексы. Например, 2-симплекс можно рассматривать как двумерную «треугольную» фигуру, ограниченную списком из трех вершин A , B , C и трех стрелок B  →  C , A  →  C и A  →  B . В общем случае n -симплекс представляет собой объект, состоящий из списка из n  + 1 вершин (которые являются 0-симплексами) и n  + 1 граней (которые являются ( n  − 1)-симплексами). Вершины i -й грани являются вершинами n -симплекса за вычетом i -й вершины. Вершины симплекса не обязательно должны быть различными, и симплекс не определяется его вершинами и гранями: два разных симплекса могут иметь один и тот же список граней (и, следовательно, один и тот же список вершин), точно так же, как две разные стрелки в мультиграфе могут соединять одни и те же две вершины.

Симплициальные множества не следует путать с абстрактными симплициальными комплексами , которые обобщают простые неориентированные графы, а не ориентированные мультиграфы.

Формально симплициальное множество X представляет собой набор множеств X _n , n  = 0, 1, 2, ..., вместе с определенными отображениями между этими множествами: отображениями граней d _{n , i}  :  X _n  →  X _{n −1} ( n  = 1, 2, 3, ... и 0 ≤  i  ≤  n ) и отображениями вырождения s _{n , i}  :  X _n → X _{n +1} ( n  = 0, 1, 2, ... и 0 ≤  i  ≤  n ). Мы думаем об элементах X _n как о n -симплексах X . Отображение d _{n , i} сопоставляет каждому такому n -симплексу его i -ю грань, грань, «противоположную» (т.е. не содержащую) i -ю вершину. Отображение s _{n , i} назначает каждому n -симплексу вырожденный ( n +1)-симплекс, который возникает из данного путем дублирования i -й вершины. Это описание неявно требует определенных отношений согласованности между отображениями d _{n , i} и s _{n , i} . Вместо того, чтобы явно требовать эти симплициальные тождества как часть определения, короткое и элегантное современное определение использует язык теории категорий .

Формальное определение

Пусть Δ обозначает симплексную категорию . Объектами Δ являются непустые линейно упорядоченные множества вида

[ н ] = {0, 1, ..., н }

при n ≥ 0. Морфизмы в Δ являются (нестрого) функциями сохранения порядка между этими множествами.

Симплициальное множество X является контравариантным функтором.

X  : Δ → Установить

где Set — категория множеств . (В качестве альтернативы и эквивалентности можно определить симплициальные множества как ковариантные функторы из противоположной категории Δ ^op в Set .) Для симплициального множества X мы часто пишем X _n вместо X ([ n ]).

Симплициальные множества образуют категорию, обычно обозначаемую sSet , чьи объекты являются симплициальными множествами, а морфизмы — естественными преобразованиями между ними. Это не что иное, как категория предпучков на Δ. Как таковая, она является топосом .

Карты лиц и вырожденности и симплициальные тождества

Категория симплексов Δ порождается двумя особенно важными семействами морфизмов (отображений), образы которых при заданном функторе симплициального множества называются отображениями граней и отображениями вырожденности этого симплициального множества.

Карты граней симплициального множества X — это образы в этом симплициальном множестве морфизмов , где — единственная (сохраняющая порядок) инъекция, которая «пропускает» . Обозначим эти карты граней соответственно, так что — это карта . Если первый индекс понятен, мы пишем вместо . ${\displaystyle \delta ^{n,0},\dotsc ,\delta ^{n,n}\colon [n-1]\to [n]}$ ${\displaystyle \delta ^{n,i}}$ ${\displaystyle [n-1]\to [n]}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d_{n,0},\dotsc ,d_{n,n}}$ ${\displaystyle d_{n,i}}$ ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle d_{n,i}}$

Карты вырождения симплициального множества X являются образами в этом симплициальном множестве морфизмов , где — единственная (сохраняющая порядок) сюръекция, которая «попадает» дважды. Обозначим эти карты вырождения через соответственно, так что — это карта . Если первый индекс ясен, мы пишем вместо . ${\displaystyle \sigma ^{n,0},\dotsc ,\sigma ^{n,n}\colon [n+1]\to [n]}$ ${\displaystyle \sigma ^{n,i}}$ ${\displaystyle [n+1]\to [n]}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle s_{n,0},\dotsc ,s_{n,n}}$ ${\displaystyle s_{n,i}}$ ${\displaystyle X_{n}\to X_{n+1}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{n,i}}$

Определенные отображения удовлетворяют следующим симплициальным тождествам :

1. ${\displaystyle d_{i}d_{j}=d_{j-1}d_{i}}$ если i < j . (Это сокращение от if 0 ≤ i < j ≤ n .) ${\displaystyle d_{n-1,i}d_{n,j}=d_{n-1,j-1}d_{n,i}}$
2. ${\displaystyle d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}}$ если я < j .
3. ${\displaystyle d_{i}s_{j}={\text{id}}}$если i = j или i = j  + 1.
4. ${\displaystyle d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}}$ если я > j  + 1.
5. ${\displaystyle s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}}$ если i ≤ j .

Наоборот, если задана последовательность множеств X _n вместе с картами и которые удовлетворяют симплициальным тождествам, то существует единственное симплициальное множество X , которое имеет эти карты граней и вырожденности. Таким образом, тождества предоставляют альтернативный способ определения симплициальных множеств. ${\displaystyle d_{n,i}:X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle s_{n,i}:X_{n}\to X_{n+1}}$

Примеры

Для данного частично упорядоченного множества ( S ,≤) мы можем определить симплициальное множество NS , нерв S , следующим образом: для каждого объекта [ n ] из Δ мы устанавливаем NS ([ n ]) = hom _po-set ([ n ], S ), сохраняющие порядок отображения из [ n ] в S. Каждый морфизм φ:[ n ]→[ m ] в Δ является сохраняющим порядок отображением и посредством композиции индуцирует отображение NS (φ) : NS ([ m ]) → NS ([ n ]). Легко проверить, что NS является контравариантным функтором из Δ в Set : симплициальное множество.

Конкретно, n -симплексы нерва NS , т.е. элементы NS _n = NS ([ n ]), можно рассматривать как упорядоченные последовательности длины ( n +1) элементов из S : ( a ₀  ≤  a ₁  ≤ ... ≤  a _n ). Отображение граней d _i удаляет i -й элемент из такого списка, а отображения вырожденности s _i дублируют i -й элемент.

Аналогичное построение можно выполнить для каждой категории C , чтобы получить нерв NC категории C. Здесь NC ([ n ]) — это множество всех функторов из [ n ] в C , где мы рассматриваем [ n ] как категорию с объектами 0,1,..., n и единственным морфизмом из i в j всякий раз, когда i  ≤  j .

Конкретно, n -симплексы нерва NC можно рассматривать как последовательности n составных морфизмов в C : a ₀  →  a ₁  → ... →  a _n . (В частности, 0-симплексы являются объектами C , а 1-симплексы являются морфизмами C .) Отображение граней d ₀ удаляет первый морфизм из такого списка, отображение граней d _n удаляет последний, а отображение граней d _i для 0 <  i  <  n удаляет a _i и составляет i -й и ( i  + 1)-й морфизмы. Отображения вырожденности si _{удлиняют} последовательность, вставляя тождественный морфизм в позицию  i .

Мы можем восстановить посеты S из нерва NS и категорию C из нерва NC ; в этом смысле симплициальные множества обобщают посеты и категории.

Другой важный класс примеров симплициальных множеств задается сингулярным множеством SY топологического пространства Y . Здесь SY _n состоит из всех непрерывных отображений из стандартного топологического n -симплекса в Y . Сингулярное множество более подробно поясняется ниже.

Стандартн-симплекс и категория симплексов

Стандартный n -симплекс , обозначаемый Δ ⁿ , представляет собой симплициальное множество, определяемое как функтор hom _Δ (-, [ n ]), где [ n ] обозначает упорядоченный набор {0, 1, ... , n } первых ( n + 1) неотрицательных целых чисел. (Во многих текстах вместо этого записывается hom([ n ],-), где подразумевается, что homset находится в противоположной категории Δ ^op . ^[2] )

По лемме Йонеды n -симплексы симплициального множества X находятся в однозначном соответствии с естественными преобразованиями из Δ ⁿ в X, т.е. . ${\displaystyle X_{n}=X([n])\cong \operatorname {Nat} (\operatorname {hom} _{\Delta }(-,[n]),X)=\operatorname {hom} _{\textbf {sSet}}(\Delta ^{n},X)}$

Кроме того, X порождает категорию симплексов , обозначаемую как , чьими объектами являются отображения ( т.е. естественные преобразования) Δ ⁿ → X и чьими морфизмами являются естественные преобразования Δ ⁿ → Δ ^m над X , возникающие из отображений [ n ] → [ m ] в Δ. То есть, является категорией среза Δ над X. Следующий изоморфизм показывает, что симплициальное множество X является копределом своих симплексов: ^[3] ${\displaystyle \Delta \downarrow {X}}$ ${\displaystyle \Delta \downarrow {X}}$

${\displaystyle X\cong \varinjlim _{\Delta ^{n}\to X}\Delta ^{n}}$

где копредел берется по категории симплексов X.

Геометрическая реализация

Существует функтор |•|: sSet → CGHaus , называемый геометрической реализацией, переводящей симплициальное множество X в его соответствующую реализацию в категории компактно-порожденных хаусдорфовых топологических пространств . Интуитивно, реализация X — это топологическое пространство (фактически CW-комплекс ), полученное, если каждый n- симплекс X заменить топологическим n- симплексом (определенным n- мерным подмножеством ( n  + 1)-мерного евклидова пространства, определенного ниже), и эти топологические симплексы склеить вместе таким же образом, как симплексы X висят вместе. В этом процессе ориентация симплексов X теряется.

Чтобы определить функтор реализации, сначала определим его на стандартных n-симплексах Δ ⁿ следующим образом: геометрическая реализация |Δ ⁿ | — это стандартный топологический n - симплекс в общем положении, заданный формулой

${\displaystyle |\Delta ^{n}|=\{(x_{0},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}:0\leq x_{i}\leq 1,\sum x_{i}=1\}.}$

Определение тогда естественным образом распространяется на любое симплициальное множество X, устанавливая

| X| = lim _{Δn → X} | ^{_Δn |}

где копредел берется по n-симплексной категории X. Геометрическая реализация функториальна на sSet .

Важно, что мы используем категорию CGHaus компактно порожденных хаусдорфовых пространств, а не категорию Top топологических пространств, в качестве целевой категории геометрической реализации: подобно sSet и в отличие от Top , категория CGHaus является декартово замкнутой ; категориальное произведение определяется по-разному в категориях Top и CGHaus , а то, что в CGHaus, соответствует тому, что в sSet через геометрическую реализацию.

Единичный набор для пространства

Сингулярное множество топологического пространства Y — это симплициальное множество SY, определяемое соотношением

( SY )([ n ]) = hom _{T op} (|Δ ⁿ |, Y ) для каждого объекта [ n ] ∈ Δ.

Каждое сохраняющее порядок отображение φ:[ n ]→[ m ] естественным образом индуцирует непрерывное отображение |Δ ⁿ |→|Δ ^m |, которое по композиции дает SY ( φ ) : SY ([ m ]) → SY ([ n ]). Это определение аналогично стандартной идее в сингулярных гомологиях «зондирования» целевого топологического пространства стандартными топологическими n -симплексами. Более того, сингулярный функтор S является правым сопряженным к функтору геометрической реализации, описанному выше, т.е.:

hom _Top (| X |, Y ) ≅ hom _sSet ( X , SY )

для любого симплициального множества X и любого топологического пространства Y. Интуитивно это присоединение можно понять следующим образом: непрерывное отображение из геометрической реализации X в пространство Y однозначно определено, если мы сопоставляем каждому симплексу X непрерывное отображение из соответствующего стандартного топологического симплекса в Y таким образом, что эти отображения совместимы с тем, как симплексы в X связаны друг с другом.

Гомотопическая теория симплициальных множеств

Чтобы определить модельную структуру в категории симплициальных множеств, необходимо определить расслоения, корасслоения и слабые эквивалентности. Можно определить расслоения как расслоения Кана . Карта симплициальных множеств определяется как слабая эквивалентность, если ее геометрическая реализация является слабой гомотопической эквивалентностью пространств . Карта симплициальных множеств определяется как корасслоение , если она является мономорфизмом симплициальных множеств. Сложная теорема Дэниела Квиллена заключается в том, что категория симплициальных множеств с этими классами морфизмов становится модельной категорией и действительно удовлетворяет аксиомам для собственной замкнутой симплициальной модельной категории .

Ключевым поворотным моментом теории является то, что геометрическая реализация расслоения Кана является расслоением Серра пространств. При наличии модельной структуры гомотопическая теория симплициальных множеств может быть разработана с использованием стандартных методов гомотопической алгебры . Более того, геометрическая реализация и сингулярные функторы дают эквивалентность Квиллена закрытых модельных категорий, индуцируя эквивалентность

|•|: Хо ( sSet ) ↔ Хо ( Вверх )

между гомотопической категорией для симплициальных множеств и обычной гомотопической категорией CW-комплексов с гомотопическими классами непрерывных отображений между ними. Частью общего определения присоединения Квиллена является то, что правый сопряженный функтор (в данном случае функтор сингулярного множества) переводит расслоения (соответственно тривиальные расслоения) в расслоения (соответственно тривиальные расслоения).

Симплициальные объекты

Симплициальный объект X в категории C является контравариантным функтором

Х  : Δ → С

или, что эквивалентно, ковариантный функтор

X : Δ ^оп → С,

где Δ по-прежнему обозначает симплексную категорию , а ^{op —} противоположную категорию . Когда C — категория множеств , мы говорим только о симплициальных множествах, которые были определены выше. Позволяя C быть категорией групп или категорией абелевых групп , мы получаем категории sGrp симплициальных групп и sAb симплициальных абелевых групп соответственно.

Симплициальные группы и симплициальные абелевы группы также несут в себе замкнутые модельные структуры, индуцированные структурами базовых симплициальных множеств.

Гомотопические группы симплициальных абелевых групп можно вычислить, используя соответствие Дольда–Кана , которое дает эквивалентность категорий между симплициальными абелевыми группами и ограниченными цепными комплексами и задается функторами

N: сАт → Х ₊

и

Γ: Ch ₊ →   sAb .

История и применение симплициальных множеств

Симплициальные множества изначально использовались для точного и удобного описания классифицирующих пространств групп . Эта идея была значительно расширена идеей Гротендика о рассмотрении классифицирующих пространств категорий, и в частности работой Квиллена по алгебраической K-теории . В этой работе, которая принесла ему медаль Филдса , Квиллен разработал удивительно эффективные методы манипулирования бесконечными симплициальными множествами. Эти методы использовались в других областях на границе алгебраической геометрии и топологии. Например, гомологии Андре–Квиллена кольца являются «неабелевыми гомологиями», определенными и изученными таким образом.

Как алгебраическая K-теория, так и гомологии Андре–Квиллена определяются с использованием алгебраических данных для записи симплициального множества, а затем взятия гомотопических групп этого симплициального множества.

Симплициальные методы часто полезны, когда требуется доказать, что пространство является пространством циклов . Основная идея заключается в том, что если является группой с классифицирующим пространством , то является гомотопически эквивалентным пространству циклов . Если само является группой, мы можем повторить процедуру, и является гомотопически эквивалентным двойному пространству циклов . В случае, если является абелевой группой, мы можем фактически повторить это бесконечное количество раз и получить, что является бесконечным пространством циклов. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega BG}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega ^{2}B(BG)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Даже если не является абелевой группой, может случиться так, что она имеет композицию, которая достаточно коммутативна, так что можно использовать вышеприведенную идею для доказательства того, что является бесконечным пространством петель. Таким образом, можно доказать, что алгебраическая -теория кольца, рассматриваемого как топологическое пространство, является бесконечным пространством петель. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$

В последние годы симплициальные множества использовались в теории высших категорий и производной алгебраической геометрии . Квазикатегории можно рассматривать как категории, в которых композиция морфизмов определена только с точностью до гомотопии, а информация о композиции высших гомотопий также сохраняется. Квазикатегории определяются как симплициальные множества, удовлетворяющие одному дополнительному условию — слабому условию Кана.

Смотрите также

• Дельта-набор
• Дендроидальное множество , обобщение симплициального множества
• Симплициальный предпучок
• Квазикатегория
• комплекс Кан
• Переписка Долда–Кана
• Симплициальная гомотопия
• Симплициальная сфера
• Абстрактный симплициальный комплекс

Примечания

1. Эйленберг, Сэмюэл; Зильбер, JA (1950). «Полусимплициальные комплексы и сингулярные гомологии». Annals of Mathematics . 51 (3): 499–513. doi :10.2307/1969364. JSTOR  1969364.
2. Гельфанд и Манин 2013
3. Goerss & Jardine 1999, стр. 7

Ссылки

• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999). Симплициальная гомотопическая теория . Прогресс в математике. Т. 174. Birkhäuser. doi :10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN 978-3-7643-6064-1. МР  1711612.
• Гельфанд, Сергей И.; Манин, Юрий И. (2013). Методы гомологической алгебры. Springer. ISBN 978-3-662-12492-5.
• Аллегретти, Дилан Г.Л. «Симплициальные множества и теорема Ван Кампена» (PDF) . CiteSeerX  10.1.1.539.7411 . (Элементарное введение в симплициальные множества) .
• Quillen, Daniel (1973). "Высшая алгебраическая K-теория: I". В Bass, Hyman (ред.). Высшие K-теории. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 341. Springer-Verlag. pp. 85–147. ISBN 3-540-06434-6.
• Сигал, Грэм Б. (1974). «Категории и теории когомологий». Топология . 13 (3): 293–312. doi :10.1016/0040-9383(74)90022-6.

Дальнейшее чтение

• Риль, Эмили . «Неторопливое введение в симплициальные множества» (PDF) .
• Мэй, Дж. Питер . Симплициальные объекты в алгебраической топологии, Издательство Чикагского университета, 1967
• симплициальный набор в n Lab