Кулоновское столкновение

Двойное упругое столкновение двух заряженных частиц

Кулоновское столкновение — это бинарное упругое столкновение двух заряженных частиц, взаимодействующих через их собственное электрическое поле . Как и в случае с любым законом обратных квадратов , результирующие траектории сталкивающихся частиц представляют собой гиперболическую кеплеровскую орбиту . Этот тип столкновения распространен в плазме , где типичная кинетическая энергия частиц слишком велика, чтобы вызвать значительное отклонение от начальных траекторий сталкивающихся частиц, и вместо этого рассматривается кумулятивный эффект многих столкновений. Важность кулоновских столкновений была впервые указана Львом Ландау в 1936 году ^[1] , который также вывел соответствующее кинетическое уравнение, известное как кинетическое уравнение Ландау .

Упрощенная математическая обработка плазмы

В плазме кулоновское столкновение редко приводит к большому отклонению. Однако кумулятивный эффект множества столкновений под малым углом часто больше, чем эффект нескольких столкновений под большим углом, которые происходят, поэтому поучительно рассмотреть динамику столкновений в пределе малых отклонений.

Мы можем рассмотреть электрон с зарядом и массой, пролетающий мимо неподвижного иона с зарядом и гораздо большей массой на расстоянии со скоростью . Перпендикулярная сила действует при самом близком сближении, а продолжительность столкновения составляет около . Произведение этих выражений, деленное на массу, представляет собой изменение перпендикулярной скорости: ${\displaystyle -e}$ ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle +Ze}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Ze^{2}/(4\pi \epsilon _{0}b^{2})}$ ${\displaystyle b/v}$

${\displaystyle \Delta m_{\text{e}}v_{\perp }\approx {\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {1}{vb}}}$

Обратите внимание, что угол отклонения пропорционален . Быстрые частицы «скользкие» и, таким образом, доминируют во многих транспортных процессах. Эффективность согласованных по скорости взаимодействий также является причиной того, что продукты синтеза имеют тенденцию нагревать электроны, а не (как хотелось бы) ионы. Если присутствует электрическое поле, более быстрые электроны испытывают меньшее сопротивление и становятся еще быстрее в процессе «убегания». ${\displaystyle 1/v^{2}}$

При прохождении через поле ионов с плотностью электрон будет иметь много таких встреч одновременно, с различными параметрами удара (расстоянием до иона) и направлениями. Кумулятивный эффект можно описать как диффузию перпендикулярного импульса. Соответствующая константа диффузии находится путем интегрирования квадратов индивидуальных изменений импульса. Скорость столкновений с параметром удара между и равна , поэтому константа диффузии определяется как ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (b+\mathrm {d} b)}$ ${\displaystyle nv(2\pi b\mathrm {d} b)}$

${\displaystyle D_{v\perp }=\int \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)^{2}\,{\frac {1}{v^{2}b^{2}}}\,nv(2\pi b\,{\mathrm {d} }b)=\left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)^{2}\,{\frac {2\pi n}{v}}\,\int {\frac {{\mathrm {d} }b}{b}}}$

Очевидно, что интеграл расходится как в сторону малых, так и больших параметров удара. Расхождение при малых параметрах удара явно нефизично, поскольку при принятых здесь допущениях конечный перпендикулярный импульс не может принять значение, превышающее начальный импульс. Приравнивая указанную выше оценку к , мы находим, что нижняя граница параметра удара составляет около ${\displaystyle \Delta m_{\text{e}}v_{\perp }}$ ${\displaystyle mv}$

${\displaystyle b_{0}={\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {1}{m_{\text{e}}v^{2}}}}$

Мы также можем использовать в качестве оценки сечения для столкновений под большим углом. При некоторых условиях существует более строгий нижний предел из-за квантовой механики, а именно длина волны де Бройля электрона, где - постоянная Планка . ${\displaystyle \pi b_{0}^{2}}$ ${\displaystyle h/m_{\text{e}}v}$ ${\displaystyle h}$

При больших параметрах удара заряд иона экранируется тенденцией электронов группироваться в окрестностях иона, а другие ионы избегают его. Верхний предел параметра удара должен быть, таким образом, приблизительно равен длине Дебая :

${\displaystyle \lambda _{\text{D}}={\sqrt {\frac {\epsilon _{0}kT_{\text{e}}}{n_{\text{e}}e^{2}}}}}$

Кулоновский логарифм

Интеграл от , таким образом, дает логарифм отношения верхнего и нижнего пределов. Это число известно как кулоновский логарифм и обозначается либо или . Это фактор, на который столкновения под малым углом более эффективны, чем столкновения под большим углом. Кулоновский логарифм был введен независимо Львом Ландау в 1936 году ^[1] и Субраманьяном Чандрасекаром в 1943 году. ^[2] Для многих интересующих нас плазм он принимает значения между и . (Удобные формулы см. на страницах 34 и 35 формуляра NRL Plasma .) Пределы интеграла параметра удара не являются точными, но неопределенны с множителями порядка единицы, что приводит к теоретическим неопределенностям порядка . По этой причине часто оправдано просто выбрать удобный выбор . Анализ здесь дает масштабирование и порядки величины. ^[3] ${\displaystyle 1/b}$ ${\displaystyle \ln \Lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle 1/\lambda }$ ${\displaystyle \lambda =10}$

Математическая обработка плазмы с учетом всех параметров удара

Обработка N-тел, учитывающая все параметры удара, может быть выполнена с учетом нескольких простых фактов. Главными из них являются: (i) Вышеуказанное изменение перпендикулярной скорости является приближением низшего порядка в 1/ b полного прогиба Резерфорда. Следовательно, вышеприведенная теория возмущений может быть также выполнена с использованием этого полного прогиба. Это делает расчет правильным вплоть до самых малых параметров удара, где необходимо использовать этот полный прогиб. (ii) Эффект экранирования Дебая для больших параметров удара может быть учтен с использованием экранированного Дебаем кулоновского потенциала ( Эффект экранирования Дебая ). Это отменяет указанное выше расхождение при больших параметрах удара. Вышеуказанный кулоновский логарифм оказывается модифицированным константой порядка единицы. ^[4]

История

В 1950-х годах перенос, вызванный столкновениями в незамагниченной плазме, одновременно изучался двумя группами в Калифорнийском университете в Беркли в Радиационной лаборатории. Они цитировали результаты друг друга в своих работах. ^{[5] [6]} Первая ссылка рассматривает часть взаимодействия в среднем поле с использованием теории возмущений по амплитуде электрического поля. В тех же приближениях был предоставлен более элегантный вывод коэффициентов столкновительного переноса с использованием уравнения Балеску–Ленарда (см. раздел 8.4 ^[7] и разделы 7.3 и 7.4 ^[8] ). Вторая ссылка использует картину Резерфорда для столкновений двух тел. Расчет первой ссылки верен для параметров удара, намного больших, чем расстояние между частицами, в то время как расчеты второй ссылки работают в противоположном случае. Оба расчета расширены на весь диапазон параметров удара путем введения для каждого отдельного специального порогового значения, а не двух, как в приведенной выше упрощенной математической обработке, но коэффициенты переноса зависят от них только логарифмически; оба результата согласуются и дают приведенное выше выражение для константы диффузии.

Смотрите также

• Рассеяние Резерфорда

Ссылки

1. Ландау, Л. Д. (1936). «Кинетическое уравнение для случая кулоновского взаимодействия». Phys. Z. Sowjetunion . 10 : 154–164.
2. Чандрасекар, С. (1943). Динамическое трение. I. Общие положения: коэффициент динамического трения. Astrophysical Journal, 97, 255–262.
3. Huba, JD (2016). Формуляр плазмы NRL (PDF) . Управление военно-морских исследований. стр. 31 и далее. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-12-23 . Получено 2017-10-19 .
4. Escande DF, Elskens Y, Doveil F (2015) Равномерное выведение кулоновского столкновительного транспорта благодаря экранированию Дебая. Журнал физики плазмы 81, 305810101
5. Gasiorowicz, S., Neuman, M. и Riddell, RJ Jr. 1956 Динамика ионизированных сред. Phys. Rev. 101, 922–934
6. Розенблют, М. Н., Макдональд, В. М. и Джадд, Д. Л. (1957) Уравнение Фоккера-Планка для силы, обратно пропорциональной квадрату. Phys. Rev. 107, 1–6.
7. Балеску, Р. 1997 Статистическая динамика: материя вне равновесия. Лондон: Imperial College Press.
8. Хазелтайн, РД и Ваелбрук, ФЛ 2004 Основы физики плазмы. Боулдер: Westview Press

Внешние ссылки

• Эффекты ионизации [статья ApJ] Гордона Эмсли
• Формуляр плазмы NRL 2013 г., изд. Архивировано 23 декабря 2016 г. на Wayback Machine