Счетная мера

В математике , особенно в теории меры , считающая мера — это интуитивный способ измерить любое множество : «размером» подмножества считается количество элементов в подмножестве, если подмножество имеет конечное число элементов и бесконечность ${\displaystyle \infty }$ . если подмножество бесконечно . ^[1]

Счетная мера может быть определена на любом измеримом пространстве (то есть на любом множестве вместе с сигма-алгеброй), но чаще всего используется на счетных множествах. ^[1] ${\displaystyle X}$

В формальных обозначениях мы можем превратить любое множество в измеримое пространство, взяв степенное множество в качестве сигма-алгебры , то есть все подмножества являются измеримыми множествами. Тогда считающая мера на этом измеримом пространстве — это положительная мера, определенная формулой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma ;}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma \to [0,+\infty ]}$

$${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{if }}A{\text{ is finite}}\\+\infty &{\text{if }}A{\text{ is infinite}}\end{cases}}}$$

мощность^[2] ${\displaystyle A\in \Sigma ,}$ ${\displaystyle \vert A\vert }$ ${\displaystyle A.}$

Считающая мера на σ -конечна тогда и только тогда , когда пространство счетно . ^[3] ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle X}$

Интеграция со счетной мерой Н {\displaystyle \mathbb {N} }

Возьмем пространство меры , где – множество всех подмножеств натуральных чисел и считающая мера. Возьмите любое измеримое . Как это определено на , может быть представлено поточечно как ${\displaystyle (\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },\mu )}$ ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)1_{\{n\}}(x)=\lim _{M\to \infty }\underbrace {\ \sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\ } _{\phi _{M}(x)}=\lim _{M\to \infty }\phi _{M}(x)}$$

Каждый измерим. Более того . И далее, поскольку каждый из них представляет собой простую функцию ${\displaystyle \phi _{M}}$ ${\displaystyle \phi _{M+1}(x)=\phi _{M}(x)+f(M+1)\cdot 1_{\{M+1\}}(x)\geq \phi _{M}(x)}$ ${\displaystyle \phi _{M}}$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\int _{\mathbb {N} }\left(\sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\right)d\mu =\sum _{n=1}^{M}f(n)\mu (\{n\})=\sum _{n=1}^{M}f(n)\cdot 1=\sum _{n=1}^{M}f(n)}$$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {N} }fd\mu =\lim _{M\to \infty }\int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\lim _{M\to \infty }\sum _{n=1}^{M}f(n)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$$

Обсуждение

Счетная мера является частным случаем более общей конструкции. В обозначениях, приведенных выше, любая функция определяет меру через ${\displaystyle f:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

$${\displaystyle \mu (A):=\sum _{a\in A}f(a)\quad {\text{ for all }}A\subseteq X,}$$

верхняя грань

$${\displaystyle \sum _{y\,\in \,Y\!\ \subseteq \,\mathbb {R} }y\ :=\ \sup _{F\subseteq Y,\,|F|<\infty }\left\{\sum _{y\in F}y\right\}.}$$

${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x\in X}$

Смотрите также

• Пип (подсчет)  – предметы, которые легко подсчитать.
• Функция набора  – функция преобразования наборов в числа.

Рекомендации

1. Счетная мера в PlanetMath .
2. Шиллинг, Рене Л. (2005). Меры, интегралы и мартингалы . Издательство Кембриджского университета. п. 27. ISBN 0-521-61525-9.
3. Хансен, Эрнст (2009). Теория меры (Четвертое изд.). Департамент математических наук Копенгагенского университета. п. 47. ИСБН 978-87-91927-44-7.