Крышка (топология)

Подмножества, объединение которых равно всему множеству

В математике и, более конкретно, в теории множеств , покрытие (или покрытие ) множества — это семейство подмножеств , объединение которых состоит из всех . Более формально, если — индексированное семейство подмножеств (индексированное набором ), то является покрытием if . Таким образом, коллекция является покрытием, если каждый элемент принадлежит хотя бы одному из подмножеств . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$ ${\displaystyle U_{\alpha }\subset X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }=X}$ ${\displaystyle \lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$

Подобложка обложки набора — это часть обложки, которая также покрывает набор. Покрытие называется открытым, если каждый его элемент является открытым множеством .

Покрытие в топологии

Покрытия обычно используются в контексте топологии . Если множество является топологическим пространством , то его покрытием называется совокупность подмножеств , объединение которых есть все пространство . В этом случае мы говорим, что покрывает , или что множества покрывают . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$

Кроме того, если является (топологическим) подпространством , то покрытие представляет собой совокупность подмножеств , объединение которых содержит , т. е. является покрытием if ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

То есть мы можем покрыть либо множествами сами по себе, либо множествами в родительском пространстве . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Пусть C — покрытие топологического пространства X. Подпокрытие C — это подмножество C , которое все еще покрывает X.

Мы говорим, что C являетсяоткрытое покрытие, если каждый из его членов являетсяоткрытым множеством(т.е. каждоеU _α содержится вT, гдеT— топология наX).

Покрытие X называется локально конечным , если каждая точка X имеет окрестность , пересекающую только конечное число множеств в покрытии. Формально C = { U _α } локально конечен, если для любого существует некоторая окрестность N ( x ) точки x такая, что множество ${\displaystyle x\in X,}$

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}}$

конечно. Покрытие X называется точечно конечным , если каждая точка X содержится лишь в конечном числе множеств покрытия. Покрытие является точечно конечным, если оно локально конечно, хотя обратное не обязательно верно.

Уточнение

Уточнение покрытия топологического пространства — это новое покрытие такого , что каждое множество в содержится в некотором множестве в . Формально, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}}$является уточнением, если для всех существует такое, что ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle \beta \in B}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.}$

Другими словами, существует уточняющее отображение, удовлетворяющее каждому . Это отображение используется, например, в когомологиях Чеха . ^[1] ${\displaystyle \phi :B\to A}$ ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}}$ ${\displaystyle \beta \in B.}$ ${\displaystyle X}$

Любое подкрытие — это тоже усовершенствование, но не всегда верно обратное. Подобложка составлена ​​из наборов, представленных на обложке, но без некоторых из них; тогда как уточнение производится из любых наборов, которые являются подмножествами наборов в обложке.

Отношение уточнения на множестве покрытий транзитивно , иррефлексивно и асимметрично . ${\displaystyle X}$

Вообще говоря, уточнение данной структуры — это другая, которая в некотором смысле ее содержит. Примеры можно найти при разбиении интервала (одно уточнение бытия ), рассматривая топологии ( стандартная топология в евклидовом пространстве является уточнением тривиальной топологии ). При подразделении симплициальных комплексов (первое барицентрическое подразделение симплициального комплекса является уточнением) ситуация несколько иная: каждый симплекс в более мелком комплексе является гранью некоторого симплекса в более грубом, и оба имеют равные лежащие в основе многогранники. ${\displaystyle a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<b_{1}<a_{n}}$

Еще одно понятие утонченности – это звездная утонченность .

Под прикрытием

Простой способ получить подпокрытие — исключить наборы, содержащиеся в другом наборе, в обложке. Рассмотрим конкретно открытые крышки. Пусть – топологический базис и – открытое покрытие Первого дубля . Тогда – уточнение . Далее для каждого выбираем содержащий (требуется аксиома выбора). Тогда является подпокрытием Следовательно, мощность подпокрытия открытого покрытия может быть столь же малой, как и мощность любого топологического базиса. Следовательно, в частности, из второй счетности следует, что пространство линделефово . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ there exists }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ such that }}A\subseteq U\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle U_{A}\in {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}.}$

Компактность

Язык покрытий часто используется для определения некоторых топологических свойств, связанных с компактностью . Топологическое пространство X называется

Компактный

если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие (или, что то же самое, каждое открытое покрытие имеет конечное уточнение);

Линделёф

если каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие (или, что то же самое, каждое открытое покрытие имеет счетное уточнение);

Метакомпакт

если каждое открытое покрытие имеет точечно-конечное открытое уточнение;

Паракомпакт

если каждое открытое покрытие допускает локально конечное открытое уточнение.

Дополнительные варианты см. в статьях выше.

Размер покрытия

Говорят, что топологическое пространство X имеет размерность покрытия n , если каждое открытое покрытие X имеет точечно-конечное открытое уточнение, такое что ни одна точка X не включена более чем в n + 1 наборов в уточнении, и если n является минимальным значением для что это правда. ^[2] Если такого минимального n не существует, говорят, что пространство имеет бесконечную накрывающую размерность.

Смотрите также

• Атлас (топология)  - набор карт, описывающих многообразие.
• Борнология  - математическое обобщение ограниченности.
• Пространство покрытия  - тип непрерывной карты в топологии.
• Топология Гротендика  - структура категории C, которая заставляет объекты C действовать как открытые множества топологического пространства.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Разделение набора  - Математические способы группировки элементов набора.
• Задача о покрытии множеств  - Классическая задача комбинаторики.
• Уточнение звезды  – математическое уточнениеPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Примечания

1. Ботт, Ту (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии . п. 111.
2. Манкрес, Джеймс (1999). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2.

Рекомендации

1. Введение в топологию , второе издание, Теодор В. Гамелен и Роберт Эверист Грин. Дуврские публикации 1999. ISBN 0-486-40680-6. 
2. Общая топология , Джон Л. Келли . Компания Д. Ван Ностранд, Инк. Принстон, Нью-Джерси. 1955.

Внешние ссылки

• «Покрытие (множества)», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]