Геодезическая кривизна

В римановой геометрии геодезическая кривизна кривой измеряет, насколько далека кривая от того, чтобы быть геодезической . Например, для одномерных кривых на двумерной поверхности, вложенной в трехмерное пространство , это кривизна кривой, спроецированной на касательную плоскость поверхности. В более общем смысле, в заданном многообразии геодезическая кривизна — это просто обычная кривизна (см. ниже). Однако, когда кривая ограничена тем , что лежит на подмногообразии (например, для кривых на поверхностях ), геодезическая кривизна относится к кривизне в и в общем случае отличается от кривизны в окружающем многообразии . (Окружающая) кривизна зависит от двух факторов: кривизны подмногообразия в направлении ( нормальная кривизна ), которая зависит только от направления кривой, и кривизны, видимой в (геодезическая кривизна ), которая является величиной второго порядка. Связь между ними такова : . В частности, геодезические на имеют нулевую геодезическую кривизну (они «прямые»), так что , что объясняет, почему они кажутся искривленными в окружающем пространстве всякий раз, когда подмногообразие является искривленным. ${\displaystyle k_{g}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\bar {M}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\bar {M}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\bar {M}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k_{g}}$ ${\displaystyle k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2}}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k=k_{n}}$

Определение

Рассмотрим кривую в многообразии , параметризованную длиной дуги , с единичным касательным вектором . Ее кривизна является нормой ковариантной производной : . Если лежит на , геодезическая кривизна является нормой проекции ковариантной производной на касательное пространство к подмногообразию. Обратно, нормальная кривизна является нормой проекции на нормальное расслоение к подмногообразию в рассматриваемой точке. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\bar {M}}}$ ${\displaystyle T=d\gamma /ds}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k=\|DT/ds\|}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle DT/ds}$ ${\displaystyle DT/ds}$

Если окружающее многообразие является евклидовым пространством , то ковариантная производная — это просто обычная производная . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle DT/ds}$ ${\displaystyle dT/ds}$

Если — единичная скорость, т.е. , и обозначает единичное нормальное поле вдоль , то геодезическая кривизна определяется выражением ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \|\gamma '(s)\|=1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle k_{g}=\gamma ''(s)\cdot {\Big (}N(\gamma (s))\times \gamma '(s){\Big )}=\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}\gamma (s)}{\mathrm {d} s^{2}}},N(\gamma (s)),{\frac {\mathrm {d} \gamma (s)}{\mathrm {d} s}}\right]\,,}$

где квадратные скобки обозначают скалярное тройное произведение .

Пример

Пусть будет единичной сферой в трехмерном евклидовом пространстве. Нормальная кривизна тождественно равна 1, независимо от рассматриваемого направления. Большие окружности имеют кривизну , поэтому они имеют нулевую геодезическую кривизну и, следовательно, являются геодезическими. Меньшие окружности радиуса будут иметь кривизну и геодезическую кривизну . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r}}}$

Некоторые результаты, связанные с геодезической кривизной

• Геодезическая кривизна есть не что иное, как обычная кривизна кривой, вычисленная внутренне в подмногообразии . Она не зависит от того, как подмногообразие сидит в . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\bar {M}}}$
• Геодезические имеют нулевую геодезическую кривизну, что эквивалентно утверждению, что ортогональна касательному пространству к . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle DT/ds}$ ${\displaystyle M}$
• С другой стороны, нормальная кривизна сильно зависит от того, как подмногообразие лежит в окружающем пространстве, но незначительно от кривой: зависит только от точки на подмногообразии и направления , но не от . ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle DT/ds}$
• В общей римановой геометрии производная вычисляется с использованием связности Леви-Чивиты окружающего многообразия: . Она распадается на касательную часть и нормальную часть к подмногообразию: . Касательная часть является обычной производной в (это частный случай уравнения Гаусса в уравнениях Гаусса-Кодацци ), тогда как нормальная часть равна , где обозначает вторую фундаментальную форму . ${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$ ${\displaystyle DT/ds={\bar {\nabla }}_{T}T}$ ${\displaystyle {\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla }}_{T}T)^{\perp }}$ ${\displaystyle \nabla _{T}T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {I\!I} (T,T)}$ ${\displaystyle \mathrm {I\!I} }$
• Теорема Гаусса –Бонне .

Смотрите также

• Кривизна
• Рамка Дарбу
• Уравнения Гаусса–Кодацци

Ссылки

• до Кармо, Манфредо П. (1976), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Prentice-Hall, ISBN 0-13-212589-7
• Гуггенхаймер, Генрих (1977), «Поверхности», Дифференциальная геометрия , Дувр, ISBN 0-486-63433-7.
• Слободян, Ю.С. (2001) [1994], "Геодезическая кривизна", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Геодезическая кривизна». MathWorld .