.jpg/1280px-Triangles_(spherical_geometry).jpg)
Сферическая геометрия или сферика (от др.-греч. σφαιρικά ) — геометрия двумерной поверхности сферы [ a] или n -мерной поверхности сфер более высоких размерностей .
Сферическая геометрия и метрические инструменты сферической тригонометрии , давно изучаемые с точки зрения практического применения в астрономии , навигации и геодезии , во многих отношениях аналогичны евклидовой планиметрии и тригонометрии , но имеют и некоторые важные отличия.
Сферу можно изучать либо внешне, как поверхность, встроенную в трехмерное евклидово пространство (часть изучения стереометрии ), либо внутренне, используя методы, которые задействуют только саму поверхность без ссылки на какое-либо окружающее пространство.
В плоской (евклидовой) геометрии основными понятиями являются точки и (прямые) линии . В сферической геометрии основными понятиями являются точка и большая окружность . Однако две большие окружности на плоскости пересекаются в двух антиподных точках, в отличие от копланарных прямых в эллиптической геометрии .
Во внешней 3-мерной картине большой круг — это пересечение сферы с любой плоскостью, проходящей через центр. Во внутреннем подходе большой круг — это геодезическая ; кратчайший путь между любыми двумя его точками при условии, что они достаточно близки. Или, в (также внутреннем) аксиоматическом подходе, аналогичном аксиомам Евклида в геометрии плоскости, «большой круг» — это просто неопределенный термин вместе с постулатами, устанавливающими основные отношения между большими кругами и также неопределенными «точками». Это то же самое, что и метод Евклида, когда точка и линия рассматриваются как неопределенные примитивные понятия и аксиоматизируются их отношения.
Большие окружности во многих отношениях играют ту же логическую роль в сферической геометрии, что и линии в евклидовой геометрии, например, как стороны (сферических) треугольников. Это больше, чем аналогия; сферическая и плоская геометрия и другие могут быть объединены под зонтиком геометрии, построенной на измерении расстояний , где «линии» определяются как означающие кратчайшие пути (геодезические). Многие утверждения о геометрии точек и таких «линиях» одинаково верны во всех этих геометриях при условии, что линии определяются таким образом, и теория может быть легко расширена до более высоких измерений. Тем не менее, поскольку ее приложения и педагогика связаны с геометрией тела, и поскольку обобщение теряет некоторые важные свойства линий на плоскости, сферическая геометрия обычно вообще не использует термин «линия» для обозначения чего-либо на самой сфере. Если она разрабатывается как часть геометрии тела, используются точки, прямые линии и плоскости (в евклидовом смысле) в окружающем пространстве.
В сферической геометрии углы определяются между большими окружностями, что приводит к сферической тригонометрии , которая во многих отношениях отличается от обычной тригонометрии ; например, сумма внутренних углов сферического треугольника превышает 180 градусов.
Поскольку сфера и плоскость геометрически различаются, (внутренняя) сферическая геометрия имеет некоторые черты неевклидовой геометрии и иногда описывается как таковая. Однако сферическая геометрия не считалась полноценной неевклидовой геометрией, достаточной для решения древней проблемы о том, является ли постулат параллельности логическим следствием остальных аксиом Евклида плоской геометрии, поскольку для этого требуется изменение другой аксиомы. Вместо этого решение было найдено в эллиптической геометрии , с которой сферическая геометрия тесно связана, и гиперболической геометрии ; каждая из этих новых геометрий вносит различные изменения в постулат параллельности.
Принципы любой из этих геометрий могут быть распространены на любое количество измерений.
Важной геометрией, связанной с геометрией сферы, является геометрия реальной проективной плоскости ; она получается путем идентификации антиподальных точек (пар противоположных точек) на сфере. Локально проективная плоскость обладает всеми свойствами сферической геометрии, но имеет другие глобальные свойства. В частности, она неориентируема или односторонняя, и в отличие от сферы ее нельзя нарисовать как поверхность в трехмерном пространстве без пересечения с собой.
Концепции сферической геометрии также могут быть применены к продолговатой сфере , хотя в некоторые формулы необходимо внести незначительные изменения.
Самым ранним математическим трудом античности, дошедшим до наших дней, является труд «О вращающейся сфере» (Περὶ κινουμένης σφαίρας, Peri kinoumenes sphairas ) Автолика из Питаны , жившего в конце четвертого века до нашей эры. [1]
Сферическая тригонометрия изучалась ранними греческими математиками, такими как Феодосий Вифинский , греческий астроном и математик, написавший «Сферику» , книгу о геометрии сферы, [2] и Менелай Александрийский , написавший книгу о сферической тригонометрии под названием «Сферика» и развивший теорему Менелая . [3] [4]
Книга неизвестных дуг сферы , написанная исламским математиком Аль-Джайяни, считается первым трактатом по сферической тригонометрии. Книга содержит формулы для прямоугольных треугольников, общий закон синусов и решение сферического треугольника с помощью полярного треугольника. [5]
Книга «О треугольниках» Региомонтана , написанная около 1463 года, является первой чистой тригонометрической работой в Европе. Однако Джероламо Кардано столетие спустя заметил, что большая часть ее материала по сферической тригонометрии была взята из работы андалузского ученого двенадцатого века Джабира ибн Афлаха . [6]
Леонард Эйлер опубликовал ряд важных мемуаров по сферической геометрии:
Сферическая геометрия имеет следующие свойства: [7]
Поскольку существуют две дуги, определяемые парой точек, которые не являются антиподами, на большой окружности, которую они определяют, три неколлинеарные точки не определяют уникальный треугольник. Однако, если мы рассматриваем только треугольники, стороны которых являются малыми дугами больших окружностей, мы имеем следующие свойства:
Если под «линией» понимать большую окружность, сферическая геометрия подчиняется только двум из пяти постулатов Евклида : второму постулату («чтобы непрерывно производить [продолжать] конечную прямую линию по прямой») и четвертому постулату («что все прямые углы равны друг другу»). Однако он нарушает остальные три. Вопреки первому постулату («что между любыми двумя точками существует единственный отрезок прямой, соединяющий их»), не существует единственного кратчайшего пути между любыми двумя точками ( антиподальные точки, такие как северный и южный полюса на сферическом глобусе, являются контрпримерами); вопреки третьему постулату, сфера не содержит окружностей произвольно большого радиуса; и вопреки пятому (параллельному) постулату , не существует точки, через которую можно провести линию, которая никогда не пересекает заданную линию. [8]
Утверждение, эквивалентное постулату о параллельности, заключается в том, что существует треугольник, сумма углов которого составляет 180°. Поскольку сферическая геометрия нарушает постулат о параллельности, на поверхности сферы не существует такого треугольника. Сумма углов треугольника на сфере равна 180° (1 + 4 f ) , где f — доля поверхности сферы, охватываемая треугольником. Для любого положительного значения f эта сумма превышает 180°.
