Циклотомическая идентичность

Выражает 1/(1-az) как бесконечное произведение, используя функцию подсчета ожерелий Моро

В математике циклотомическое тождество утверждает, что

${\displaystyle {1 \over 1-\alpha z}=\prod _{j=1}^{\infty }\left({1 \over 1-z^{j}}\right)^{M(\alpha ,j)}}$

где M — функция подсчета ожерелий Моро ,

${\displaystyle M(\alpha ,n)={1 \over n}\sum _{d\,|\,n}\mu \left({n \over d}\right)\alpha ^{d},}$

а μ — классическая функция Мёбиуса теории чисел .

Название происходит от знаменателя 1 −  z ^j , который является произведением циклотомических многочленов . 

Левая часть циклотомического тождества является производящей функцией для свободной ассоциативной алгебры на α-генераторах, а правая часть является производящей функцией для универсальной обертывающей алгебры свободной алгебры Ли на α-генераторах. Циклотомическое тождество свидетельствует о том, что эти две алгебры изоморфны.

Существует также симметричное обобщение циклотомического тождества, найденное Штрелем:

${\displaystyle \prod _{j=1}^{\infty }\left({1 \over 1-\alpha z^{j}}\right)^{M(\beta ,j)}=\prod _{j=1}^{\infty }\left({1 \over 1-\beta z^{j}}\right)^{M(\alpha ,j)}}$

Ссылки

• Metropolis, N.; Rota, Gian-Carlo (1984), "The cyclotomic identity", in Greene, Curtis (ed.), Combinatorics and algebra (Boulder, Colo., 1983). Труды совместной летней исследовательской конференции AMS-IMS-SIAM, состоявшейся в Университете Колорадо, Боулдер, Колорадо, 5–11 июня 1983 г., Contemp. Math., т. 34, Providence, RI: American Mathematical Society , стр. 19–27, ISBN 978-0-8218-5029-9, МР  0777692