Категория компактных кинжалов

Специальная категория кинжалов, которая компактна

В теории категорий , разделе математики , компактные категории кинжала (или компактные замкнутые категории кинжала ) впервые появились в 1989 году в работе Серджио Допликера и Джона Э. Робертса по реконструкции компактных топологических групп из их категории конечномерных непрерывных унитарных представлений (то есть, категорий Таннакиана ). ^[1] Они также появились в работе Джона Баэза и Джеймса Долана как пример полустрогих k -кратно моноидальных n -категорий , которые описывают общие топологические квантовые теории поля , ^[2] для n = 1 и k = 3. Они являются фундаментальной структурой в категорической квантовой механике Сэмсона Абрамски и Боба Кока . ^{[3] [4] [5]}

Обзор

Категории компактности Dagger могут быть использованы для выражения и проверки некоторых фундаментальных протоколов квантовой информации , а именно: телепортации , телепортации логических вентилей и обмена запутанностью , а также стандартных понятий, таких как унитарность, внутреннее произведение, след, дуальность Чоя–Ямилковского , полная положительность , состояния Белла и многие другие понятия, охватываются языком категорий компактности Dagger. ^[3] Все это следует из теоремы о полноте, приведенной ниже. Категориальная квантовая механика принимает категории компактности Dagger в качестве фоновой структуры, относительно которой могут быть абстрактно определены другие квантово-механические понятия, такие как квантовые наблюдаемые и их дополнительность. Это формирует основу для высокоуровневого подхода к обработке квантовой информации .

Формальное определение

Компактная категория кинжала — это симметричная моноидальная категория кинжала , которая также является компактно замкнутой , вместе с отношением, связывающим структуру кинжала с компактной структурой. В частности, кинжал используется для соединения единицы с коединицей, так что для всех в , следующая диаграмма коммутирует: ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Категория Dagger Compact

Подводя итог всем этим пунктам:

• Категория замкнута , если она имеет внутренний hom-функтор ; то есть, если hom-множество морфизмов между двумя объектами категории является объектом самой категории (а не Set ).
• Категория является моноидальной , если она снабжена ассоциативным бифунктором , который является ассоциативным, естественным и имеет левую и правую тождества, подчиняющиеся определенным условиям когерентности . ${\displaystyle \mathbf {C} \otimes \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$
• Моноидальная категория является симметричной моноидальной , если для каждой пары A , B объектов из C существует изоморфизм , который является естественным как в A, так и в B , и, опять же, подчиняется определенным условиям когерентности ( подробнее см. в симметричной моноидальной категории ). ${\displaystyle \sigma _{A,B}:A\otimes B\simeq B\otimes A}$
• Моноидальная категория компактно замкнута , если каждый объект имеет дуальный объект . Категории с дуальными объектами снабжены двумя морфизмами, единицей и коединицей , которые удовлетворяют определенным условиям когерентности или выдергивания. ${\displaystyle A\in \mathbf {C} }$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \eta _{A}:I\to A^{*}\otimes A}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A}:A\otimes A^{*}\to I}$
• Категория является кинжальной категорией, если она снабжена инволютивным функтором , который является тождественным для объектов, но отображает морфизмы в их сопряженные элементы. ${\displaystyle \dagger \colon \mathbf {C} ^{op}\rightarrow \mathbf {C} }$
• Моноидальная категория является кинжально-симметричной, если она является кинжальной категорией, симметрична и имеет условия когерентности, которые делают различные функторы естественными.

Компактная категория кинжала — это категория, которая является каждой из вышеперечисленных категорий, и, кроме того, имеет условие для связи структуры кинжала с компактной структурой. Это делается путем связи единицы с коединицей через кинжал:

${\displaystyle \sigma _{A,A^{*}}\circ \varepsilon _{A}^{\dagger }=\eta _{A}}$

показано на коммутационной диаграмме выше. В категории FdHilb конечномерных гильбертовых пространств это последнее условие можно понимать как определение кинжала (эрмитово сопряженное) как транспонированного комплексно сопряженного.

Примеры

Следующие категории относятся к кинжалам компактным.

• Категория FdHilb конечномерных гильбертовых пространств и линейных отображений . Морфизмы — линейные операторы между гильбертовыми пространствами. Произведение — обычное тензорное произведение , а крестик здесь — эрмитово сопряженное .
• Категория Rel множеств и отношений . Произведение, конечно, декартово произведение . Кинжал здесь — это как раз наоборот .
• Категория конечно порождённых проективных модулей над коммутативным кольцом . Крестик здесь — это просто транспонированная матрица .
• Категория nCob кобордизмов . Здесь n-мерные кобордизмы являются морфизмами, несвязное объединение — тензором, а обращение объектов (замкнутых многообразий) — кинжалом. Топологическая квантовая теория поля может быть определена как функтор из nCob в FdHilb . ^[6]
• Категория Span ( C ) пролетов для любой категории C с конечными пределами .

Бесконечномерные гильбертовы пространства не являются кинжально-компактными и описываются кинжально-симметричными моноидальными категориями .

Структурные теоремы

Селинджер показал, что категории компактных кинжалов допускают диаграммный язык в стиле Джоял-стрит ^[7] и доказал, что категории компактных кинжалов полны относительно конечномерных гильбертовых пространств ^{[8] [9]} т. е. эквациональное утверждение на языке категорий компактных кинжалов имеет место тогда и только тогда, когда его можно вывести в конкретной категории конечномерных гильбертовых пространств и линейных отображений. Аналогичной полноты для Rel или nCob не существует .

Этот результат полноты подразумевает, что различные теоремы из гильбертовых пространств распространяются на эту категорию. Например, теорема о неклонировании подразумевает, что не существует универсального клонирующего морфизма. ^[10] Полнота также подразумевает гораздо более обыденные особенности: компактным категориям кинжалов можно задать базис таким же образом, как гильбертово пространство может иметь базис. Операторы могут быть разложены по базису; операторы могут иметь собственные векторы и т. д . Это рассматривается в следующем разделе.

Основа

Теорема о полноте подразумевает, что основные понятия из гильбертовых пространств переносятся в любую компактную категорию кинжала. Однако типичный используемый язык меняется. Понятие базиса дается в терминах коалгебры . Если задан объект A из компактной категории кинжала, базис является объектом-комоноидом . Две операции — это копирование или коумножение δ: A → A ⊗ A морфизм, который является кокоммутативным и коассоциативным, и операция удаления или морфизм коединицы ε: A → I . Вместе они подчиняются пяти аксиомам: ^[11] ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$

Комультипликативность:

${\displaystyle (1_{A}\otimes \varepsilon )\circ \delta =1_{A}=(\varepsilon \otimes 1_{A})\circ \delta }$

Коассоциативность:

${\displaystyle (1_{A}\otimes \delta )\circ \delta =(\delta \otimes 1_{A})\circ \delta }$

Кокоммутативность:

${\displaystyle \sigma _{A,A}\circ \delta =\delta }$

Изометрия:

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ \delta =1_{A}}$

Закон Фробениуса :

${\displaystyle (\delta ^{\dagger }\otimes 1_{A})\circ (1_{A}\otimes \delta )=\delta \circ \delta ^{\dagger }}$

Чтобы увидеть, что эти соотношения определяют базис векторного пространства в традиционном смысле, запишем коумножение и коединицу, используя обозначение скобок , и понимая, что теперь это линейные операторы, действующие на векторы в гильбертовом пространстве H : ${\displaystyle |j\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta :H&\to H\otimes H\\|j\rangle &\mapsto |j\rangle \otimes |j\rangle =|jj\rangle \\\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon :H&\to \mathbb {C} \\|j\rangle &\mapsto 1\\\end{aligned}}}$

Единственные векторы , которые могут удовлетворять вышеуказанным пяти аксиомам, должны быть ортогональны друг другу; тогда коединица однозначно определяет базис. Наводящие на размышления названия копирование и удаление для операторов коумножения и коединицы исходят из идеи, что теорема о неклонировании и теорема о неудалении утверждают, что единственные векторы, которые можно копировать или удалять, являются ортогональными базисными векторами. ${\displaystyle |j\rangle }$

Общие результаты

Учитывая приведенное выше определение базиса, ряд результатов для гильбертовых пространств можно сформулировать для компактных кинжальных категорий. Ниже мы перечислим некоторые из них, взятые из ^[11] , если не указано иное.

• Базис также можно понимать как соответствующий наблюдаемому , в том смысле, что данный наблюдаемый факторизуется на (ортогональных) базисных векторах. То есть наблюдаемый представлен объектом A вместе с двумя морфизмами, которые определяют базис: . ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$
• Собственным состоянием наблюдаемого является любой объект , для которого ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \delta \circ \psi =\psi \otimes \psi }$

Собственные состояния ортогональны друг другу. ^{[ необходимо разъяснение ]}

• Объект является дополнительным к наблюдаемому, если ^{[ необходимо разъяснение ]} ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ ({\overline {\psi }}\otimes \psi )=\varepsilon ^{\dagger }}$

(В квантовой механике вектор состояния считается дополнительным к наблюдаемому, если любой результат измерения равновероятен. А именно, собственное состояние спина S _x равновероятно при измерении в базисе S _z , или собственные состояния импульса равновероятны при измерении в базисе положения.) ${\displaystyle \psi }$

• Два наблюдаемых и являются дополнительными, если ${\displaystyle (A,\delta _{X},\varepsilon _{X})}$ ${\displaystyle (A,\delta _{Z},\varepsilon _{Z})}$

${\displaystyle \delta _{Z}^{\dagger }\circ \delta _{X}=\varepsilon _{Z}\circ \varepsilon _{X}^{\dagger }}$

• Дополнительные объекты порождают унитарные преобразования . То есть,

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ (\psi \otimes 1_{A})}$

является унитарным тогда и только тогда, когда оно является дополнительным к наблюдаемому ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$

Ссылки

1. Доплихер, С.; Робертс, Дж. (1989). «Новая теория двойственности для компактных групп». Invent. Math . 98 : 157–218. Bibcode :1989InMat..98..157D. doi :10.1007/BF01388849. S2CID  120280418.
2. Baez, JC; Dolan, J. (1995). «Высокоразмерная алгебра и топологическая квантовая теория поля». J. Math. Phys . 36 (11): 6073–6105. arXiv : q-alg/9503002 . Bibcode :1995JMP....36.6073B. CiteSeerX 10.1.1.269.4681 . doi :10.1063/1.531236. S2CID  14908618. 
3. Абрамски, С. ; Коек, Б. (2004). "Категорическая семантика квантовых протоколов". Труды 19-й конференции IEEE по логике в компьютерных науках (LiCS'04) . IEEE. стр. 415–425. arXiv : quant-ph/0402130 . CiteSeerX 10.1.1.330.7289 . doi :10.1109/LICS.2004.1319636. ISBN  0-7695-2192-4. S2CID  1980118.
4. Абрамски, С.; Коек, Б. (2009). «Категорная квантовая механика». В Engesser, К.; Габбей, Д.М.; Леманн, Д. (ред.). Справочник по квантовой логике и квантовым структурам . Elsevier. стр. 261–323. arXiv : 0808.1023 . ISBN 978-0-08-093166-1.
5. Абрамский и Кёке использовали термин «сильно компактные замкнутые категории», поскольку кинжальная компактная категория — это компактная замкнутая категория, дополненная ковариантным инволютивным моноидальным эндофунктором.
6. Атья, М. (1989). "Топологические квантовые теории поля" (PDF) . Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math . 68 : 175–186. doi :10.1007/BF02698547. S2CID  121647908.
7. Селинджер, Питер (2007). «Компактные закрытые категории Dagger и полностью положительные отображения: (Расширенный реферат)». Электронные заметки по теоретической информатике . 170 (Труды 3-го международного семинара по квантовым языкам программирования (QPL 2005)): 139–163. CiteSeerX 10.1.1.84.8476 . doi :10.1016/j.entcs.2006.12.018. 
8. Selinger, P. (2011). «Конечномерные гильбертовы пространства полны для компактных замкнутых категорий кинжала». Electronic Notes in Theoretical Computer Science . 270 (Proceedings of the Joint 5th International Workshop on Quantum Physics and Logic and 4th Workshop on Developments in Computational Models (QPL/DCM 2008)): 113–9. arXiv : 1207.6972 . CiteSeerX 10.1.1.749.4436 . doi :10.1016/j.entcs.2011.01.010. 
9. Хасегава, М.; Хофманн, М.; Плоткин, Г. (2008). «Конечномерные векторные пространства полны для прослеживаемых симметричных моноидальных категорий». В Avron, А.; Дершовиц, Н.; Рабинович, А. (ред.). Столпы компьютерной науки . Конспект лекций по компьютерной науке. Том 4800. Springer. стр. 367–385. CiteSeerX 10.1.1.443.3495 . doi :10.1007/978-3-540-78127-1_20. ISBN  978-3-540-78127-1. S2CID  15045491.
10. Абрамски, С. (2010). «Без клонирования в категориальной квантовой механике». В Mackie, I.; Gay, S. (ред.). Семантические методы квантовых вычислений . Cambridge University Press. стр. 1–28. ISBN 978-0-521-51374-6.
11. Coecke, Bob (2009). «Квантовый изобразительный мир». Contemporary Physics . 51 : 59–83. arXiv : 0908.1787 . doi : 10.1080/00107510903257624. S2CID  752173.

• Категория Dagger-compact в n Lab