Жорж де Рам ( фр . Georges de Rham ; 10 сентября 1903 — 9 октября 1990) — швейцарский математик , известный своим вкладом в дифференциальную топологию .
Жорж де Рам родился 10 сентября 1903 года в Роше , небольшой деревне в кантоне Во в Швейцарии . Он был пятым из шести детей в семье инженера-строителя Леона де Рама. [1] Жорж де Рам вырос в Роше, но учился в школе в соседнем Эгле , главном городе округа, ежедневно путешествуя на поезде. По его собственным словам, он не был выдающимся учеником в школе, где он в основном любил рисовать и мечтал стать художником . [2] В 1919 году он переехал с семьей в Лозанну в съемную квартиру в замке Болье , где он прожил всю оставшуюся жизнь. Жорж де Рам начал обучение в гимназии в Лозанне, сосредоточившись на гуманитарных науках, следуя своей страсти к литературе и философии, но мало изучая математику. Однако, окончив гимназию в 1921 году, он решил не продолжать обучение на факультете литературы, чтобы избежать латыни. Вместо этого он выбрал факультет естественных наук Лозаннского университета . На факультете он начал изучать биологию, физику и химию, а математику изначально не изучал. Пока он пытался самостоятельно изучить математику как инструмент для физики, его интерес возрос, и к третьему году он отказался от биологии, чтобы решительно сосредоточиться на математике. [3]
В университете на него в основном оказали влияние два профессора, Гюстав Дюма и Дмитрий Мириманов , которые направляли его в изучении трудов Эмиля Бореля , Рене-Луи Бэра , Анри Лебега и Жозефа Серре . После окончания университета в 1925 году де Рам остался в Лозаннском университете в качестве ассистента Дюма. Начав работу над докторской диссертацией, он по совету Дюма прочитал труды Анри Пуанкаре по топологии . Хотя он нашел вдохновение для темы диссертации в трудах Пуанкаре, прогресс был медленным, поскольку топология была относительно новой темой, а доступ к соответствующей литературе в Лозанне был затруднен. [2] По рекомендации Дюма де Рам связался с Лебегом и отправился в Париж на несколько месяцев в 1926 году и снова на несколько месяцев в 1928 году. Обе поездки финансировались его собственными сбережениями, и он проводил время в Париже, посещая занятия и обучаясь в Парижском университете и Коллеж де Франс . Лебег оказал де Раму большую помощь в этот период, как с его учебой, так и с поддержкой его первых исследовательских публикаций. Когда он закончил свою диссертацию, Лебег посоветовал ему отправить ее Эли Картану , и в 1931 году Де Рам получил докторскую степень в Парижском университете перед комиссией во главе с Картаном, в которую входили Поль Монтель и Гастон Жюлиа в качестве экзаменаторов. [1]
В 1932 году де Рам вернулся в Лозаннский университет в качестве экстраординарного профессора. В 1936 году он также стал профессором Женевского университета и продолжал занимать обе должности параллельно до выхода на пенсию в 1971 году. [4]
де Рам был также одним из лучших альпинистов Швейцарии. Будучи членом Независимой горной группы Лозанны с 1944 года, он открыл несколько сложных маршрутов, некоторые из них в Альпах Вале (например, южный гребень Штокхорна от Балтшидера [ 5] ) и Альпах Во (например, L'Argentine [6] и Pacheu). В 1944 году он написал полный путеводитель по скалолазанию Miroir d'Argentine , где он поднимался по маршрутам до 1980 года. По словам Джона Милнора , в 1933 году де Рам встретился во время одного из своих походов с Джеймсом Александром и Хасслером Уитни , которые вместе совершали восхождение около Вайсхорна в Вале ; эта встреча стала началом более чем 40-летней дружбы между Уитни и де Рамом. [7]
Теория дифференциальных форм имеет классические корни, с соотношением между формами и дифференциальной топологией, инициированным в начале 20-го века Анри Пуанкаре и Эли Картаном , которые заметили лемму Пуанкаре , а также тот факт, что не каждая замкнутая дифференциальная форма является точной . Картан выдвинул гипотезу в 1928 году, что числа Бетти гладкого многообразия могут быть закодированы дифференциальными формами. В качестве частной формы этого он предположил, что замкнутая форма точна, если она интегрируется до нуля по любому подмногообразию без границы, и что подмногообразие без границы само является границей другого подмногообразия, если каждая замкнутая форма интегрируется до нуля по нему. Де Рам в своей диссертации 1931 года доказал гипотезу Картана, разложив произвольную дифференциальную форму на сумму замкнутой формы и некоторого числа элементарных форм , которые являются дифференциальными формами, связанными с гладкой триангуляцией пространства. [8]
После этой работы де Рам предпринял несколько попыток объединить формы и подмногообразия в единый вид математического объекта. Он определил окончательное понятие тока в 1950-х годах, обобщив (и вдохновившись) недавнюю работу Лорана Шварца о распределениях . [9] Работы де Рама по этим темам теперь обычно формулируются на языке теории когомологий , хотя сам он этого не делал. [8] В этой форме его диссертационная работа стала основополагающей для области дифференциальной топологии , в то время как его теория токов является базовой для геометрической теории меры и смежных областей. [10] [11] Его работа особенно важна для теории Ходжа и теории пучков .
В дополнительной части своей диссертации 1931 года де Рам ввел более многомерные версии трехмерных линзовых пространств и вычислил их гомологию , тем самым установив необходимое условие для того, чтобы два линзовых пространства были гомеоморфными. [8]
Структура риманова произведения автоматически подразумевает структуру произведения групп голономии . В 1952 году де Рам рассмотрел обратное, доказав, что если существует разложение касательного расслоения на векторные подрасслоения, которые инвариантны относительно группы голономии, то риманова структура должна разлагаться как произведение. Этот результат, теперь известный как теорема о разложении де Рама , стал фундаментальным результатом учебника по римановой геометрии . [12] [13]