Десятилетие (логарифмическая шкала)

Единица измерения отношений в логарифмическом масштабе

Четыре степени числа 10, охватывающие диапазон из трех десятков: 1, 10, 100, 1000 (10 ⁰ , 10 ¹ , 10 ² , 10 ³ )

Четыре сетки, охватывающие три десятилетия разрешения: тысяча 0,001 с, сто 0,01 с, десять 0,1 с, одна 1.

Декада (символ дек ^[1] ) — единица измерения отношений в логарифмическом масштабе , при этом одна декада соответствует отношению 10 между двумя числами. ^[2]

Пример: Научная запись

Когда действительное число, например .007, обозначается альтернативно как 7.0 × 10 ^—3 , то говорят, что число представлено в научной нотации . В более общем смысле, чтобы записать число в виде a × 10 ^b , где 1 <= a < 10 и b — целое число , нужно выразить его в научной нотации , и a называется мантиссой или мантиссой , а b — ее показателем . ^[3] Числа, выраженные таким образом с показателем, равным b, охватывают одну декаду, от ${\displaystyle 10^{b}\ \ {\text{to}}\ \ 10^{b+1}.}$

Измерение частоты

Декады особенно полезны при описании частотной характеристики электронных систем , таких как аудиоусилители и фильтры . ^{[4] [5]}

Расчеты

Коэффициент десяти в декаде может быть в любом направлении: так, одна декада вверх от 100  Гц составляет 1000 Гц, а одна декада вниз составляет 10 Гц. Важен коэффициент десяти, а не используемая единица, так что 3,14  рад / с — это одна декада вниз от 31,4 рад/с.

Чтобы определить количество декад между двумя частотами ( & ), используйте логарифм отношения двух значений: ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

• ${\displaystyle \log _{10}(f_{2}/f_{1})}$десятилетия ^{[4] [5]}

или, используя натуральные логарифмы :

• ${\displaystyle \ln f_{2}-\ln f_{1} \over \ln 10}$десятилетия ^[6]

Сколько декад от 15 рад/с до 150 000 рад/с?

${\displaystyle \log _{10}(150000/15)=4}$десятилетия

Сколько декад от 3,2 ГГц до 4,7 МГц?

${\displaystyle \log _{10}(4.7\times 10^{6}/3.2\times 10^{9})=-2.83}$десятилетия

Сколько декад составляет одна октава ?

Одна октава — это множитель 2, то есть декады на октаву (декада = просто большая терция + три октавы, 10/1 ( Play ^ⓘ ) = 5/4) ${\displaystyle \log _{10}(2)=0.301}$

Чтобы узнать, какая частота находится на определенное количество декад от исходной частоты, умножьте ее на соответствующие степени числа 10:

Что такое 3 декады ниже 220 Гц?

${\displaystyle 220\times 10^{-3}=0.22}$Гц

Что такое 1,5 декады от 10 Гц?

${\displaystyle 10\times 10^{1.5}=316.23}$Гц

Чтобы узнать размер шага для определенного числа частот в декаде, возведем 10 в степень, обратную числу шагов:

Каков размер шага для 30 шагов на декаду?

${\displaystyle 10^{1/30}=1.079775}$– или каждый шаг на 7,9775% больше предыдущего.

Графическое представление и анализ

Декады в логарифмическом масштабе, а не единичные шаги (шаги по 1) или другая линейная шкала, обычно используются на горизонтальной оси при представлении частотной характеристики электронных схем в графической форме, например, на диаграммах Боде , поскольку изображение больших диапазонов частот в линейной шкале часто непрактично. Например, аудиоусилитель обычно имеет полосу частот в диапазоне от 20 Гц до 20 кГц, и представление всей полосы с использованием логарифмической шкалы декады очень удобно. Обычно график для такого представления начинается с 1 Гц (10 ⁰ ) и доходит, возможно, до 100 кГц (10 ⁵ ), чтобы удобно включить всю звуковую полосу в миллиметровую бумагу стандартного размера , как показано ниже. В то время как на том же расстоянии в линейной шкале, с 10 в качестве основного размера шага, вы можете получить только от 0 до 50.

Диаграмма Боде, демонстрирующая концепцию десятилетия: каждое крупное деление на горизонтальной оси представляет собой одно десятилетие.

Частотные характеристики электроники часто описываются в терминах «на декаду». Пример графика Боде показывает наклон −20  дБ /декаду в полосе задерживания, что означает, что для каждого увеличения частоты в десять раз (от 10 рад/с до 100 рад/с на рисунке) усиление уменьшается на 20 дБ.

Смотрите также

• Логарифмическая линейка
• Одна треть октавы
• Уровень частоты
• Октава
• Савар
• Порядок величины

Ссылки

1. ISO 80000-3:2006 Величины и единицы – Пространство и время
2. «Десятилетие, фактор, кратное или отношение 10», Эндрю Баттерфилд и Джон Шимански (2018) Словарь по электронике и электротехнике , пятое издание, Oxford University Press , ISBN  9780191792717
3. "Различия в масштабе порядка величины могут быть измерены в "десятках" или "десятикратных" значениях". Значимые цифры и порядок величины на lumenlearning.com
4. Левин, Уильям С. (2010). Справочник по управлению: основы системы управления , стр. 9-29. ISBN 9781420073621 . 
5. Perdikaris, G. (1991). Системы с компьютерным управлением: теория и приложения , стр. 117. ISBN 9780792314226 . 
6. Дэвис, Дон и Патронис, Юджин (2012). Звуковая системная инженерия , стр. 13. ISBN 9780240808307 .