Десятый логарифм

Математическая функция

График десятичного логарифма чисел от 0,1 до 100

В математике десятичный логарифм — это логарифм с основанием 10. ^[1] Он также известен как десятичный логарифм и десятичный логарифм , названный в честь его основания, или Бриггсов логарифм , в честь Генри Бриггса , английского математика, который первым использовал его. , а также стандартный логарифм . Исторически он был известен как десятичный логарифм ^[2] или логарифм десятичный . ^[3] Обозначается log( x ) , ^[4] log ₁₀ ( x ) , ^[5] или иногда Log( x ) с заглавной буквы L ; ^{[примечание 1]} на калькуляторах оно печатается как «логарифм», но математики обычно имеют в виду натуральный логарифм (логарифм с основанием e ≈ 2,71828), а не десятичный логарифм, когда пишут «логарифм». Чтобы смягчить эту двусмысленность, спецификация ISO 80000 рекомендует, чтобы log ₁₀ ( x ) записывался как lg( x ) , а log _e ( x ) был ln( x ) .

Страница из таблицы десятичных логарифмов. На этой странице показаны логарифмы чисел от 1000 до 1509 с точностью до пяти знаков после запятой. Полная таблица охватывает значения до 9999.

До начала 1970-х годов портативные электронные калькуляторы не были доступны, а механические калькуляторы , способные выполнять умножение, были громоздкими, дорогими и не были широко доступны. Вместо этого таблицы логарифмов с основанием 10 использовались в науке, технике и навигации, когда расчеты требовали большей точности, чем можно было достичь с помощью логарифмической линейки . Превратив умножение и деление в сложение и вычитание, использование логарифмов позволило избежать трудоемких и подверженных ошибкам операций умножения и деления, выполняемых карандашом и бумагой. ^[1] Поскольку логарифмы были настолько полезны, таблицы логарифмов с основанием 10 были приведены в приложениях ко многим учебникам. В математических и навигационных справочниках содержались также таблицы логарифмов тригонометрических функций . ^[6] Историю таких таблиц см. в таблице журнала .

Мантисса и характеристика

Важным свойством логарифмов с основанием 10, которое делает их такими полезными в вычислениях, является то, что логарифмы чисел больше 1, отличающихся в 10-й степени, имеют одну и ту же дробную часть. Дробная часть известна как мантисса . ^{[примечание 2]} Таким образом, в таблицах журналов должна отображаться только дробная часть. В таблицах десятичных логарифмов обычно указывается мантисса с точностью до четырех или пяти десятичных знаков или более каждого числа в диапазоне, например от 1000 до 9999.

Целую часть, называемую характеристикой , можно вычислить, просто подсчитав, на сколько знаков необходимо переместить десятичную точку, чтобы она оказалась справа от первой значащей цифры. Например, логарифм 120 определяется следующим расчетом:

${\displaystyle \log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.}$

Последнее число (0,07918) — дробная часть или мантисса десятичного логарифма 120 — можно найти в показанной таблице. Расположение десятичной точки в числе 120 говорит нам о том, что целая часть десятичного логарифма числа 120, характеристика, равна 2.

Отрицательные логарифмы

Положительные числа меньше 1 имеют отрицательные логарифмы. Например,

${\displaystyle \log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\right)=-2+\log _{10}(1.2)\approx -2+0.07918=-1.92082.}$

Чтобы избежать необходимости создания отдельных таблиц для преобразования положительных и отрицательных логарифмов обратно в их исходные числа, можно выразить отрицательный логарифм как отрицательную целочисленную характеристику плюс положительную мантиссу. Для облегчения этого используется специальная нотация, называемая штриховой нотацией :

${\displaystyle \log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}+0.07918=-1.92082.}$

Черта над характеристикой указывает на то, что она отрицательна, а мантисса остается положительной. При чтении вслух числа в тактовой нотации символ читается как «бар n », то есть как «такт 2, точка 07918...». Альтернативное соглашение — выразить логарифм по модулю 10, и в этом случае ${\displaystyle {\bar {n}}}$ ${\displaystyle {\bar {2}}.07918}$

${\displaystyle \log _{10}(0.012)\approx 8.07918{\bmod {1}}0,}$

при этом фактическое значение результата расчета определяется знанием разумного диапазона результата. ^{[заметка 3]}

В следующем примере для расчета 0,012 × 0,85 = 0,0102 используется обозначение столбца:

${\displaystyle {\begin{array}{rll}{\text{As found above,}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{Since}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}}$

* На этом этапе мантисса принимает значение от 0 до 1, чтобы можно было найти ее антилогарифм (10 ^{мантиссу ).}

В следующей таблице показано, как одну и ту же мантиссу можно использовать для диапазона чисел, различающихся степенями десяти:

Обратите внимание, что мантисса общая для всех 5  ×  10 ⁱ . Это справедливо для любого положительного действительного числа  , поскольку ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.}$

Поскольку i является константой, мантисса получается из , которая является постоянной для данного . Это позволяет таблице логарифмов включать только одну запись для каждой мантиссы. В примере 5  ×  10 ⁱ 0,698 970 (004 336 018 ...) будут указаны после индексации 5 (или 0,5, или 500 и т. д.). ${\displaystyle \log _{10}(x)}$ ${\displaystyle x}$

Числа располагаются на шкалах логарифмических линеек на расстояниях, пропорциональных разностям их логарифмов. Механически прибавляя расстояние от 1 до 2 на нижней шкале к расстоянию от 1 до 3 на верхней шкале, можно быстро определить, что 2  ×  3 = 6 .

История

Десятые логарифмы иногда также называют «бриггсовскими логарифмами» в честь Генри Бриггса , британского математика 17 века. В 1616 и 1617 годах Бриггс посетил Джона Непера в Эдинбурге , изобретателя того, что сейчас называется натуральными логарифмами (по основанию e ), чтобы предложить изменение логарифмов Нейпира. В ходе этих конференций было согласовано изменение, предложенное Бриггсом; а по возвращении из второго визита он опубликовал первую хилиаду своих логарифмов.

Поскольку логарифмы с основанием 10 были наиболее полезны для вычислений, инженеры обычно просто писали « log( x ) », _когда имели в виду log10 ( x ) . Математики, с другой стороны, написали « log( x ) », когда имели в виду log _e ( x ) для натурального логарифма. Сегодня встречаются оба обозначения. Поскольку ручные электронные калькуляторы разрабатываются инженерами, а не математиками, стало общепринятым использовать инженерные обозначения. Таким образом, обозначение, согласно которому пишут « ln( x ) », когда подразумевается натуральный логарифм, могло быть еще более популяризировано благодаря тому самому изобретению, которое сделало использование «натуральных логарифмов» гораздо менее распространенным — в электронных калькуляторах.

Числовое значение

Клавиши логарифма ( log для десятичной системы и ln для базовой e ) на обычном научном калькуляторе. Появление ручных калькуляторов в значительной степени устранило использование десятичных логарифмов в качестве средства вычисления.

Числовое значение логарифма по основанию 10 можно вычислить с помощью следующих тождеств: ^[5]

${\displaystyle \log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad }$ или или ${\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad }$ ${\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{B}(x)}{\log _{B}(10)}}\quad }$

используя логарифмы любого доступного основания ${\displaystyle \,B~.}$

поскольку существуют процедуры для определения числового значения логарифма по основанию e (см. Натуральный логарифм § Эффективное вычисление ) и логарифма по основанию 2 (см. Алгоритмы вычисления двоичных логарифмов ).

Производная

Производная логарифма с основанием b такова, что

${\displaystyle {d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}}$, так . ^[7] ${\displaystyle {d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}}$

Смотрите также

• Двоичный логарифм
• Кологарифм
• Децибел
• Логарифмическая шкала
• Напиров логарифм
• Мантисса (также обычно называемая мантисса)

Примечания

1. Обозначение Log неоднозначно, так как оно также может означать комплексную натуральную логарифмическую многозначную функцию .
2. Такое использование слова мантисса происходит от более старого, нечислового значения: незначительное дополнение или дополнение, например, к тексту. В настоящее время слово мантисса обычно используется для описания дробной части числа с плавающей запятой на компьютерах, хотя рекомендуемый термин — значащее .
3. Например, Бессель, FW (1825 г.). «Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen». Астрономические Нахрихтен . 331 (8): 852–861. arXiv : 0908.1823 . Бибкод : 1825AN......4..241B. дои : 10.1002/asna.18260041601. S2CID  118630614.дает (начало раздела 8) , . Из контекста понятно, что , меньший радиус земного эллипсоида в туазах (большое число), тогда как , эксцентриситет земного эллипсоида (маленькое число). ${\displaystyle \log b=6.51335464}$ ${\displaystyle \log e=8.9054355}$ ${\displaystyle b=10^{6.51335464}}$ ${\displaystyle e=10^{8.9054355-10}}$

Рекомендации

1. Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (1909). «Глава IV. Логарифмы [23] Десятичные логарифмы». Тригонометрия. Том. Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк: Генри Холт и компания . п. 31.
2. Эйлер, Леонард ; Спайзер, Андреас ; дю Паскье, Луи Гюстав; Брандт, Генрих ; Трост, Эрнст (1945) [1748]. Спейзер, Андреас (ред.). Введение в Analysin Infinitorum (Часть 2) . 1 (на латыни). Том. 9. Б. Г. Тойбнер . {{cite book}}: |work=игнорируется ( помощь )
3. Шерффер, П. Кароло (1772). Institutionum Analyticarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (на латыни). Том. 2. Йоаннис Томе Ноб. Де Траттнерн. п. 198.
4. «Введение в логарифмы». www.mathsisfun.com . Проверено 29 августа 2020 г.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Двойной логарифм». mathworld.wolfram.com . Проверено 29 августа 2020 г.
6. Хедрик, Эрл Рэймонд (1913). Логарифмические и тригонометрические таблицы. Нью-Йорк, США: Макмиллан .
7. «Производные логарифмических функций». Математика24 . 14 апреля 2021 г. Архивировано из оригинала 01 октября 2020 г.

Библиография

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253.
• Мёзер, Майкл (2009). Инженерная акустика: введение в контроль шума. Спрингер. п. 448. ИСБН 978-3-540-92722-8.
• Полиянин Андрей Дмитриевич; Манжиров Александр Владимирович (2007) [27.11.2006]. Справочник по математике для инженеров и ученых. ЦРК Пресс . п. 9. ISBN 978-1-58488-502-3.