В математике поверхность дель Пеццо или поверхность Фано — это двумерное многообразие Фано , другими словами, неособая проективная алгебраическая поверхность с обильным классом антиканонических дивизоров . Они в некотором смысле противоположны поверхностям общего типа , канонический класс которых велик.
Они названы в честь Паскуале дель Пеццо , который изучал поверхности с более строгим условием, что они имеют очень обильный класс антиканонических дивизоров, или, на его языке, поверхности со степенью вложения n в n -мерное проективное пространство (дель Пеццо 1887), которые являются поверхностями дель Пеццо степени не ниже 3.
Поверхность дель Пеццо — это полная неособая поверхность с обильным антиканоническим расслоением. Существуют некоторые вариации этого определения, которые иногда используются. Иногда поверхностям дель Пеццо разрешено иметь особенности. Первоначально предполагалось, что они вложены в проективное пространство антиканоническим вложением, которое ограничивает степень как минимум 3.
Степень d поверхности дель Пеццо X по определению равна числу самопересечений ( K , K ) ее канонического класса K.
Любая кривая на поверхности дель Пеццо имеет индекс самопересечения не менее −1. Число кривых с индексом самопересечения −1 конечно и зависит только от степени (если только степень не равна 8).
(−1)-кривая — это рациональная кривая с индексом самопересечения −1. При d > 2 образом такой кривой в проективном пространстве при антиканоническом вложении является прямая.
Раздутие любой (−1)-кривой на поверхности дель Пеццо является поверхностью дель Пеццо степени на 1 больше. Раздутие любой точки на поверхности дель Пеццо является поверхностью дель Пеццо степени на 1 меньше, при условии, что точка не лежит на (−1)-кривой, а степень больше 2. Когда степень равна 2, мы должны добавить условие, что точка не фиксируется инволюцией Гейзера, связанной с антиканоническим морфизмом.
Дель Пеццо доказал, что поверхность дель Пеццо имеет степень d не более 9. Над алгебраически замкнутым полем каждая поверхность дель Пеццо является либо произведением двух проективных прямых (с d = 8), либо раздутием проективной плоскости в 9 − d точках, из которых нет трех коллинеарных, шести на конике и восьми на кубике, имеющей узел в одной из них. Обратно, любое раздутие плоскости в точках, удовлетворяющих этим условиям, является поверхностью дель Пеццо.
Группа Пикара поверхности дель Пеццо степени d является нечетной унимодулярной решеткой I 1,9− d , за исключением случая, когда поверхность является произведением двух линий, когда группа Пикара является четной унимодулярной решеткой II 1,1 . Когда это нечетная решетка, каноническим элементом является (3, 1, 1, 1, ....), а исключительные кривые представлены перестановками всех, кроме первой координаты, следующих векторов:
Степень 1: они имеют 240 (−1)-кривых, соответствующих корням корневой системы E 8 . Они образуют 8-мерное семейство. Антиканонический дивизор не очень обилен. Линейная система |−2 K | определяет отображение степени 2 из поверхности дель Пеццо в квадратичный конус в P 3 , разветвленное над неособой кривой рода 4, вырезанной кубической поверхностью.
Степень 2: они имеют 56 (−1)-кривых, соответствующих мизерным векторам двойственной решетки E 7. Они образуют 6-мерное семейство. Антиканонический дивизор не очень обилен, и его линейная система определяет отображение поверхности дель Пеццо на проективную плоскость, разветвленную над кривой плоскости квартики . Это отображение в общем случае 2 к 1, поэтому эту поверхность иногда называют двойной плоскостью дель Пеццо. 56 линий поверхности дель Пеццо отображаются попарно на 28 бикасательных квартики .
Степень 3: это по существу кубические поверхности в P 3 ; кубическая поверхность является образом антиканонического вложения. Они имеют 27 (−1)-кривых, соответствующих мизерным векторам одного смежного класса в двойственной решетке E 6 , которые отображаются в 27 линий кубической поверхности. Они образуют 4-мерное семейство.
Степень 4: это по сути поверхности Сегре в P 4 , заданные пересечением двух квадрик. Они имеют 16 (−1)-кривых. Они образуют 2-мерное семейство.
Степень 5: они имеют 10 (−1)-кривых, соответствующих мизерным векторам одного смежного класса в двойственной решетке A 4. С точностью до изоморфизма существует только одна такая поверхность, заданная раздутием проективной плоскости в 4 точках без 3 на прямой.
Степень 6: они имеют 6 (−1)-кривых. С точностью до изоморфизма существует только одна такая поверхность, заданная раздутием проективной плоскости в 3 точках, не лежащих на прямой. Корневая система — A 2 × A 1
Степень 7: они имеют 3 (−1)-кривые. С точностью до изоморфизма существует только одна такая поверхность, заданная раздутием проективной плоскости в 2 различных точках.
Степень 8: они имеют 2 типа изоморфизма. Один — поверхность Хирцебруха, заданная раздутием проективной плоскости в одной точке, которая имеет 1 (−1)-кривую. Другой — произведение двух проективных прямых, что является единственной поверхностью дель Пеццо, которую нельзя получить, начав с проективной плоскости и раздутия точек. Его группа Пикара — это четная 2-мерная унимодулярная неопределенная решетка II 1,1 , и она не содержит (−1)-кривых.
Степень 9: Единственная поверхность дель Пеццо степени 9 — это P 2. Ее антиканоническое вложение — это вложение Веронезе степени 3 в P 9 с использованием линейной системы кубик.
Слабая поверхность дель Пеццо — это полная неособая поверхность с антиканоническим расслоением, которое является численно эффективным и большим.
Сдувание любой (−1)-кривой на слабой поверхности дель Пеццо является слабой поверхностью дель Пеццо степени на 1 больше. Сдувание любой точки на слабой поверхности дель Пеццо является слабой поверхностью дель Пеццо степени на 1 меньше, при условии, что точка не лежит на −2-кривой, а степень больше 1.
Любая кривая на слабой поверхности дель Пеццо имеет индекс самопересечения не менее −2. Число кривых с индексом самопересечения −2 не превышает 9− d , а число кривых с индексом самопересечения −1 конечно.