Произведение глубины и уклона

Произведение глубины и уклона используется для расчета касательного напряжения на дне открытого канала, содержащего жидкость , которая находится в состоянии постоянного , равномерного потока. Оно широко используется в речной инженерии , восстановлении рек , седиментологии и речной геоморфологии . Это произведение глубины воды и среднего уклона дна , а также ускорения под действием силы тяжести и плотности жидкости.

Формулировка

Использование произведения глубина-уклон — при вычислении касательного напряжения дна — в частности, относится к двум предположениям, которые широко применимы к естественным речным руслам: что угол русла от горизонтали достаточно мал, чтобы его можно было аппроксимировать как уклон по формуле малого угла , и что русло намного шире, чем его глубина, и эффекты боковой стенки можно игнорировать. Хотя это упрощенный подход к нахождению касательного напряжения в том, что часто может быть локально неустойчивой речной системой, при усреднении по расстояниям в километры эти локальные изменения усредняются, и произведение глубина-уклон становится полезным инструментом для понимания касательного напряжения в открытых руслах, таких как реки.

Глубина и гидравлический радиус

Первое предположение заключается в том, что ширина канала намного больше его глубины, и уравнения можно решить так, как если бы канал был бесконечно широким. Это означает, что эффекты боковой стенки можно игнорировать, и что гидравлический радиус , , можно принять равным глубине канала, . ${\displaystyle R_{h}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle R_{h}={\frac {A}{P}}}$

где - площадь поперечного сечения потока, а - смоченный периметр . Для полукруглого канала гидравлический радиус будет просто истинным радиусом . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$

Для приблизительно прямоугольного канала (для простоты математического объяснения предположения)

${\displaystyle A=bh}$,

где - ширина (ширина) канала, а ${\displaystyle b}$

${\displaystyle P=b+2h}$.

Для б>>ч,

${\displaystyle P\rightarrow b}$,

и поэтому

${\displaystyle R_{h}\rightarrow {\frac {bh}{b}}=h}$.

Формально это предположение можно в целом считать верным, когда ширина больше высоты более чем в 20 раз; точное количество накопленной ошибки можно найти, сравнив высоту с гидравлическим радиусом. Для каналов с меньшим отношением ширины к глубине лучшее решение можно найти, используя гидравлический радиус вместо приведенного выше упрощения.

Давление

Полное напряжение на дне открытого канала бесконечной ширины определяется гидростатическим давлением , действующим на дно. Для жидкости с плотностью , ускорением силы тяжести и глубиной потока давление, оказываемое на дно, представляет собой просто вес элемента жидкости, , умноженный на глубину потока, . Отсюда получаем выражение для полного давления, , действующего на дно. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \rho g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle P_{b}}$

${\displaystyle P_{b}=\rho gh\,}$

Напряжение сдвига

Для того чтобы преобразовать давление в касательное напряжение, необходимо определить компонент давления, который обеспечивает сдвиг на ложе. Для канала, который находится под углом к ​​горизонтали, сдвиговая составляющая напряжения, действующего на ложе , которая является компонентом, действующим по касательной к ложу, равна общему давлению, умноженному на синус угла . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle /\left(\tau _{b}\right)}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \tau _{b}=\rho gh\sin {\left(\alpha \right)}\,}$

В естественных реках угол обычно очень мал. В результате формула малого угла гласит: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sin {\left(\alpha \right)}\approx \tan {\left(\alpha \right)}}$

Тангенс угла , по определению, равен уклону канала . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \tan {\left(\alpha \right)}\equiv S}$

Отсюда можно прийти к окончательному виду соотношения между касательным напряжением дна и произведением глубины на уклон:

${\displaystyle \tau _{b}=\rho ghS\,}$

Масштабирование

Предполагая единую, хорошо перемешанную, однородную жидкость и единое ускорение под действием силы тяжести (оба предположения хороши для естественных рек, а второе — для процессов на Земле или любом планетарном теле с доминирующим влиянием на локальное гравитационное поле), единственными двумя переменными, которые определяют граничное касательное напряжение, являются глубина и уклон. В этом смысл названия формулы.

${\displaystyle \tau _{b}\propto hS}$

Для естественных потоков в системе МКС или СИ (единицы измерения напряжения сдвига — паскали ) типичное полезное соотношение, которое следует запомнить, выглядит следующим образом:

${\displaystyle \tau _{b}=10000\left[{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{2}\ \mathrm {s} ^{2}}}\right]hS}$

для воды с плотностью 1000 кг/м ³ и приближением ускорения свободного падения к 10 м/с ² (погрешность этого предположения обычно намного меньше погрешности измерений).

Использует

Напряжение сдвига слоя можно использовать для нахождения:

• Вертикальный профиль скорости в потоке жидкости
• Способность жидкости переносить осадок
• Скорость сдвигового рассеивания загрязняющих веществ и трассеров.

Смотрите также

• Осадок
• Механика жидкости

Ссылки

• Леопольд, Вольман и Миллер (1964), Речные процессы в геоморфологии, Dover Publications, Минеола, Нью-Йорк, США, 535 стр.