В математике идея спуска расширяет интуитивную идею «склеивания» в топологии . Поскольку связующим звеном топологов является использование отношений эквивалентности в топологических пространствах , теория начинается с некоторых идей по идентификации.
Случай построения векторных расслоений из данных о дизъюнктном объединении топологических пространств — это несложный отправной пункт.
Предположим, X — топологическое пространство, покрытое открытыми множествами X i . Пусть Y — дизъюнктное объединение X i , так что существует естественное отображение
Мы думаем о Y как о «над» X , с проекцией Xi «вниз » на X. В этом языке спуск подразумевает векторное расслоение на Y (то есть расслоение, заданное на каждом X i ), и наша задача состоит в том, чтобы «склеить» эти расслоения Vi , чтобы создать одно расслоение V на X. Мы имеем в виду, что V должен, будучи ограничен X i , возвращать Vi с точностью до изоморфизма расслоения.
Необходимые данные тогда следующие: на каждом перекрытии
пересечение X i и X j , нам потребуются отображения
использовать для идентификации там V i и V j , поволокно за волокном. Далее, f ij должен удовлетворять условиям, основанным на рефлексивных, симметричных и транзитивных свойствах отношения эквивалентности (условиям склейки). Например, композиция
для транзитивности (и выбора подходящих обозначений). f ii должны быть тождественными отображениями, и, следовательно , симметрия становится (так что это послойный изоморфизм).
Это действительно стандартные условия в теории расслоений (см. карту переходов ). Следует отметить одно важное применение — смену волокон : если fij — это все, что вам нужно для создания пучка, то существует множество способов создания связанного пучка . То есть мы можем взять по существу одни и те же fij , действующие на разные слои.
Еще одним важным моментом является связь с цепным правилом : обсуждение способа построения тензорных полей можно резюмировать так: «Как только вы научитесь спускаться по касательному расслоению , для которого транзитивность является цепным правилом Якобиана , все остальное просто». естественность тензорных конструкций».
Чтобы приблизиться к абстрактной теории, нам необходимо интерпретировать непересекающееся объединение
сейчас как
произведение волокон ( здесь эквалайзер ) двух копий проекции p. Расслоения на X ij , которыми мы должны управлять, — это V ′ и V ", обратные образы к слою V через два разных отображения проекции на X .
Следовательно, перейдя на более абстрактный уровень, можно устранить комбинаторную сторону (то есть исключить индексы) и получить нечто, имеющее смысл для p , а не той специальной формы покрытия, с которой мы начали. Тогда это позволяет использовать подход теории категорий : остается только заново выразить условия склейки.
Идеи были развиты в период 1955–1965 годов (примерно в то время, когда требования алгебраической топологии были выполнены, а требования алгебраической геометрии — нет). С точки зрения абстрактной теории категорий работа комонадов Бека представляла собой суммирование этих идей; см. теорему о монадичности Бека .
Остры трудности алгебраической геометрии с переходом к фактору. Актуальность (говоря так) проблемы для геометров объясняет название семинара Гротендика 1959 года TDTE по теоремам спуска и методам существования (см. FGA ), связывающее вопрос спуска с вопросом о представимых функторах в алгебраической геометрии в вообще, и проблема модулей в частности.
Позволять . Каждый пучок F по X порождает данные спуска:
где удовлетворяет условию коцикла: [1]
Полностью верный нисхождение говорит: вполне верен. Теория спуска описывает условия, при которых происходит полностью точный спуск.
Другие возможные источники включают в себя:
