В теории систем управления метод описывающей функции ( DF), разработанный Николаем Митрофановичем Крыловым и Николаем Боголюбовым в 1930-х годах [1] [2] и расширенный Ральфом Кохенбургером [3], является приближенной процедурой для анализа некоторых нелинейных задач управления . Он основан на квазилинеаризации , которая является приближением нелинейной исследуемой системы линейной инвариантной во времени (LTI) передаточной функцией , которая зависит от амплитуды входного сигнала. По определению, передаточная функция истинной LTI-системы не может зависеть от амплитуды входной функции, поскольку LTI-система является линейной . Таким образом, эта зависимость от амплитуды порождает семейство линейных систем, которые объединяются в попытке уловить существенные особенности поведения нелинейной системы. Описывающая функция является одним из немногих широко применяемых методов проектирования нелинейных систем и очень широко используется в качестве стандартного математического инструмента для анализа предельных циклов в замкнутых регуляторах , таких как промышленные системы управления процессами, сервомеханизмы и электронные генераторы .
Рассмотрим обратную связь вокруг прерывистой (но кусочно-непрерывной) нелинейности (например, усилителя с насыщением или элемента с эффектами зоны нечувствительности ), каскадированной с медленной устойчивой линейной системой. Непрерывная область, в которой обратная связь представлена нелинейности, зависит от амплитуды выхода линейной системы. По мере того, как выходная амплитуда линейной системы затухает, нелинейность может перейти в другую непрерывную область. Это переключение из одной непрерывной области в другую может генерировать периодические колебания . Метод описывающей функции пытается предсказать характеристики этих колебаний (например, их основную частоту), предполагая, что медленная система действует как фильтр нижних частот или полосовой фильтр, который концентрирует всю энергию вокруг одной частоты. Даже если выходная форма волны имеет несколько режимов, метод все равно может дать интуицию о свойствах, таких как частота и, возможно, амплитуда; в этом случае метод описывающей функции можно рассматривать как описание скользящего режима системы обратной связи.
Используя это предположение о низкочастотном фильтре, реакция системы может быть описана одним из семейства синусоидальных сигналов ; в этом случае система будет характеризоваться функцией описания синусоидального входа (SIDF), дающей реакцию системы на вход, состоящий из синусоидальной волны амплитудой A и частотой . Эта SIDF является модификацией передаточной функции, используемой для характеристики линейных систем. В квазилинейной системе, когда вход представляет собой синусоидальную волну, выход будет синусоидальной волной той же частоты, но с масштабированной амплитудой и сдвинутой фазой, как указано в . Многие системы приблизительно квазилинейны в том смысле, что, хотя реакция на синусоидальную волну не является чистой синусоидальной волной, большая часть энергии на выходе действительно находится на той же частоте, что и вход. Это происходит потому, что такие системы могут обладать внутренними характеристиками нижних частот или полосы пропускания , такими, что гармоники естественным образом ослабляются, или потому, что для этой цели добавляются внешние фильтры . Важным применением метода SIDF является оценка амплитуды колебаний в синусоидальных электронных генераторах .
Другие типы функций описания, которые использовались, — это DF для входных сигналов уровня и для входных сигналов гауссовского шума. Хотя DF не являются полным описанием системы, их часто достаточно для ответа на конкретные вопросы об управлении и устойчивости. Методы DF лучше всего подходят для анализа систем с относительно слабыми нелинейностями. Кроме того, синусоидальные функции описания входа более высокого порядка (HOSIDF) описывают реакцию класса нелинейных систем на гармониках входной частоты синусоидального входа. HOSIDF являются расширением SIDF для систем, в которых нелинейности значительны в отклике.
Хотя метод описывающей функции может давать достаточно точные результаты для широкого класса систем, он может плохо работать для других. Например, метод может не работать, если система подчеркивает высшие гармоники нелинейности. Такие примеры были представлены Цыпкиным для систем bang-bang . [4] Довольно похожим примером является генератор с замкнутой петлей, состоящий из неинвертирующего триггера Шмитта , за которым следует инвертирующий интегратор , который возвращает свой выход на вход триггера Шмитта. Выход триггера Шмитта будет иметь форму прямоугольного сигнала , в то время как выход интегратора (следующего за ним) будет иметь форму треугольного сигнала с пиками, совпадающими с переходами в прямоугольной волне. Каждый из этих двух каскадов генератора отстает от сигнала ровно на 90 градусов (относительно своего входа). Если бы кто-то выполнил анализ DF на этой схеме, то треугольная волна на входе триггера Шмитта была бы заменена ее основной гармоникой (синусоидальной волной), которая, проходя через триггер, вызвала бы сдвиг фазы менее чем на 90 градусов (поскольку синусоида сработала бы раньше, чем треугольная волна), поэтому система, по-видимому, не колебалась бы тем же (простым) образом. [5]
Также, в случае, когда выполняются условия гипотез Айзермана или Калмана , периодических решений методом описывающей функции не существует, [6] [7] но известны контрпримеры со скрытыми периодическими аттракторами . Контрпримеры к методу описывающей функции могут быть построены для разрывных динамических систем, когда остаточный сегмент разрушает предсказанные предельные циклы. [8] Поэтому применение метода описывающей функции требует дополнительного обоснования. [9] [10]
