Строительство Гротендик

Конструкция Гротендика (названная в честь Александра Гротендика ) — это конструкция, используемая в математической области теории категорий . Это фундаментальная конструкция в теории спуска , теории стеков и волокнистой теории категорий . В категориальной логике конструкция используется для моделирования отношений между теорией типов и логикой над этой теорией типов и позволяет переводить концепции из индексированной теории категорий в волокнистую теорию категорий, например, концепцию гипердоктрины Ловера.

Конструкция Гротендика была впервые изучена для специального случая предпучков множеств Маклейном, где она была названа категорией элементов . ^[1]

Мотивация

Если — семейство множеств, индексированное другим множеством, то можно образовать непересекающееся объединение или копроизведение ${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i\in I}}$

${\displaystyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$,

который является множеством всех упорядоченных пар, таких что . Множество непересекающихся объединений естественным образом снабжено «проекционной» картой ${\displaystyle (i,a)}$ ${\displaystyle a\in A_{i}}$

${\displaystyle \pi :\coprod _{i\in I}A_{i}\to I}$

определяется

${\displaystyle \pi (i,a)=i}$.

Из проекции можно реконструировать исходное семейство множеств до канонической биекции, как и для каждого через биекцию . В этом контексте для , прообраз одноэлементного множества называется «волокном» над , а любое множество, снабженное выбором функции, называется «волокнистым» над . Таким образом, конструкция непересекающегося объединения обеспечивает способ рассмотрения любого семейства множеств, индексированного как множество «волокнистое» над , и наоборот, для любого множества, волокнистого над , мы можем рассматривать его как непересекающееся объединение волокон . Якобс назвал эти две перспективы «индексацией отображения» и «точечной индексацией». ^[2] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle i\in I,A_{i}\cong \pi ^{-1}(\{i\})}$ ${\displaystyle a\mapsto (i,a)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{i\})}$ ${\displaystyle \{i\}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:B\to I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f:B\to I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$

Конструкция Гротендика обобщает это на категории. Для каждой категории , семейства категорий, индексированных объектами функториальным образом, конструкция Гротендика возвращает новую категорию, расслоенную функтором, чьи слои являются категориями . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \{F(c)\}_{c\in {\mathcal {C}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{F(c)\}_{c\in {\mathcal {C}}}}$

Определение

Пусть будет функтором из любой малой категории в категорию малых категорий . Конструкция Гротендика для — это категория (также пишется , или ), с ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Cat} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Gamma (F)}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{\textstyle {\mathcal {C}}}F}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}\int F}$ ${\displaystyle F\rtimes {\mathcal {C}}}$

• объекты являются парами , где и ; и ${\displaystyle (c,x)}$ ${\displaystyle c\in \operatorname {obj} ({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {obj} (F(c))}$
• морфизмы в являются парами такими, что в , и в . ${\displaystyle \operatorname {hom} _{\Gamma (F)}((c_{1},x_{1}),(c_{2},x_{2}))}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle f:c_{1}\to c_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g:F(f)(x_{1})\to x_{2}}$ ${\displaystyle F(c_{2})}$

Композиция морфизмов определяется соотношением . ${\displaystyle (f,g)\circ (f',g')=(f\circ f',g\circ F(f)(g'))}$

Пример

Если является группой , то ее можно рассматривать как категорию с одним объектом и всеми обратимыми морфизмами . Пусть будет функтором, значение которого в единственном объекте является категорией категории , представляющей группу таким же образом. Требование, чтобы быть функтором, тогда эквивалентно указанию гомоморфизма группы , где обозначает группу автоморфизмов Наконец , конструкция Гротендика приводит к категории с одним объектом, которую снова можно рассматривать как группу, и в этом случае результирующая группа является ( изоморфной ) полупрямому произведению ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{G},}$ ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}_{G}\to \mathbf {Cat} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{G}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{H},}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (H),}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (H)}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle F\rtimes {\mathcal {C}}_{G},}$ ${\displaystyle H\rtimes _{\varphi }G.}$

Смотрите также

• Категория элементов

Ссылки

• Маклейн и Мурдейк, Пучки в геометрии и логике , стр. 44.
• RW Thomason (1979). Гомотопические копределы в категории малых категорий. Математические труды Кембриджского философского общества, 85, стр. 91–109. doi:10.1017/S0305004100055535.

Специфический

1. Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1994). Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топосов (2., корр. печатное изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 9780387977102.
2. Якобс, Барт (1999). Категорическая логика и теория типов . Амстердам Лозанна Нью-Йорк [и т.д.]: Elsevier. ISBN 0444501703.

Внешние ссылки

• Строительство Grothendieck в n Lab