Диагональный морфизм

В теории категорий , разделе математики , для каждого объекта в каждой категории , где существует произведение , существует диагональный морфизм ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]} ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle a\times a}$

${\displaystyle \delta _{a}:a\rightarrow a\times a}$

удовлетворяющий

${\displaystyle \pi _{k}\circ \delta _{a}=\operatorname {id} _{a}}$для ${\displaystyle k\in \{1,2\},}$

где — канонический морфизм проекции на -ю компоненту. Существование этого морфизма является следствием универсального свойства , характеризующего произведение ( с точностью до изоморфизма ). Ограничение бинарными произведениями здесь сделано для простоты обозначений; диагональные морфизмы существуют аналогично для произвольных произведений. Образ диагонального морфизма в категории множеств , как подмножество декартова произведения , представляет собой отношение на области определения , а именно равенство . ${\displaystyle \pi _{k}}$ ${\displaystyle k}$

Для конкретных категорий диагональный морфизм может быть просто описан его действием на элементы объекта . А именно, , упорядоченная пара, образованная из . Причина названия в том, что образ такого диагонального морфизма является диагональным (всякий раз, когда это имеет смысл), например, образ диагонального морфизма на действительной прямой задается прямой, которая является графиком уравнения . Диагональный морфизм в бесконечное произведение может обеспечить инъекцию в пространство последовательностей со значениями в ; каждый элемент отображается в постоянную последовательность в этом элементе. Однако большинство понятий пространств последовательностей имеют ограничения сходимости , которым образ диагонального отображения не сможет удовлетворить. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta _{a}(x)=\langle x,x\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle X^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$

Двойственное понятие диагонального морфизма — это кодиагональный морфизм . Для каждого объекта в категории , где существуют копроизведения , кодиагональный ^{[3] [2] [7] [5] [6]} является каноническим морфизмом ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle b\sqcup b}$

${\displaystyle \delta _{b}\colon b\sqcup b{\stackrel {[Id,Id]}{\to }}b}$

удовлетворяющий

${\displaystyle \delta _{b}\circ \tau _{l}=\operatorname {id} _{b}}$для ${\displaystyle l\in \{1,2\}.}$

где — морфизм инъекции в -й компонент. ${\displaystyle \tau _{l}}$ ${\displaystyle l}$

Пусть будет морфизмом в категории с выталкиванием, является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда кодиагональ является изоморфизмом. ^[8] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Смотрите также

• Диагональный функтор
• Диагональное вложение
• wikibooks:Теория категорий/(Ко-)конусы и (ко-)пределы

Ссылки

1. (Картер и др., 2008)
2. (Вера 1973)
3. (Попеску и Попеску 1979, упражнение 7.2.)
4. (Диагональ в nlab)
5. (Лоран 2013)
6. (Масакацу 1972, определение 4.)
7. (кодиагональ в nlab)
8. (Муро 2016)

Библиография

• Awodey, s. (1996). «Структура в математике и логике: категориальная перспектива». Philosophia Mathematica . 4 (3): 209–237. doi :10.1093/philmat/4.3.209.
• Baez, John C. (2004). «Квантовые затруднения: категория-теоретическая перспектива». Структурные основы квантовой гравитации . С. 240–265. arXiv : quant-ph/0404040 . Bibcode :2004quant.ph..4040B. doi :10.1093/acprof:oso/9780199269693.003.0008. ISBN 978-0-19-926969-3.
• Картер, Дж. Скотт; Кранс, Алисса; Эльхамдади, Мохамед; Сайто, Масахико (2008). «Когомологии категорической самораспределяемости» (PDF) . Журнал гомотопии и родственных структур . 3 (1): 13–63. arXiv : math/0607417 . Bibcode :2006math......7417C.
• Фейт, Карл (1973). «Продукт и копродукт». Алгебра. стр. 83–109. doi :10.1007/978-3-642-80634-6_4. ISBN 978-3-642-80636-0.
• Кашивара, Мсакиа; Шапира, Пьер (2006). «Пределы». Категории и пучки. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 332. стр. 35–69. дои : 10.1007/3-540-27950-4_3. ISBN 978-3-540-27949-5.
• Митчелл, Барри (1965). Теория категорий. Academic Press. ISBN 978-0-12-499250-4.
• Муро, Фернандо (2016). «Гомотопические единицы в алгебрах A-бесконечности». Trans. Amer. Math. Soc . 368 : 2145–2184. arXiv : 1111.2723 . doi :10.1090/tran/6545.
• Масакацу, Удзава (1972). «Некоторые категориальные свойства комплексных пространств. Часть II» (PDF) . Вестник педагогического факультета Университета Тиба . 21 : 83–93. ISSN  0577-6856.
• Попеску, Николае; Попеску, Лилиана (1979). «Категории и функторы». Теория категорий. стр. 1–148. дои : 10.1007/978-94-009-9550-5_1. ISBN 978-94-009-9552-9.
• Пупье, Р. (1964). «Маленький путеводитель по категориям». Публикации Департамента математики (Лион) (на французском языке). 1 (1): 1–18.

Внешние ссылки

• Обер, Клеман (2019). «Категории для меня и тебя?». arXiv : 1910.05172 .
• Херскович, Эстанислао (2020). «Лекции по основам гомологической алгебры» (PDF) .
• Лоран, Оливье (2013). «Категории для меня [примечание]» (PDF) . perso.ens-lyon.fr .
• "кодиагональ". ncatlab.org .
• "диагональный морфизм". ncatlab.org .