Двигатель разности

Автоматический механический калькулятор

Разностная машина Лондонского музея науки , первая, фактически построенная по проекту Бэббиджа. Проект имеет одинаковую точность во всех столбцах, но при вычислении полиномов точность в столбцах более высокого порядка может быть ниже.

Разностная машина — это автоматический механический калькулятор, предназначенный для табулирования полиномиальных функций. Он был разработан в 1820-х годах и впервые создан Чарльзом Бэббиджем . Название разностная машина происходит от метода разделенных разностей , способа интерполяции или табулирования функций с использованием небольшого набора полиномиальных коэффициентов. Некоторые из наиболее распространенных математических функций, используемых в технике, науке и навигации, построены на основе логарифмических и тригонометрических функций , которые можно аппроксимировать полиномами, поэтому разностная машина может вычислять множество полезных таблиц .

История

Крупный план разностной машины Лондонского музея науки, на котором показаны некоторые числовые колеса и секторные шестерни между колоннами. Секторные шестерни слева очень четко показывают двухвысокие зубья. Секторные шестерни справа посередине обращены к задней стороне машины, но одинарные зубья отчетливо видны. Обратите внимание, как зеркально отражены колеса, с подсчетом слева направо или с обратным счетом слева направо. Также обратите внимание на металлический язычок между «6» и «7». Этот язычок отключает рычаг переноса сзади, когда «9» переходит к «0» спереди во время шагов сложения (шаг 1 и шаг 3).

Идея механического калькулятора для математических функций восходит к Антикитерскому механизму II века до н. э., тогда как ранние современные примеры приписываются Паскалю и Лейбницу XVII века.

В 1784 году инженер Гессенской армии Й. Х. Мюллер разработал и построил арифмометр и описал основные принципы работы разностной машины в книге, опубликованной в 1786 году (первое письменное упоминание о разностной машине датируется 1784 годом), но он не смог получить финансирование для развития этой идеи. ^{[1] [2] [3]}

Разностные машины Чарльза Бэббиджа

Чарльз Бэббидж начал конструировать небольшую разностную машину примерно в  1819 году ^[4] и завершил ее к 1822 году (разностная машина 0). ^[5] Он объявил о своем изобретении 14 июня 1822 года в докладе Королевскому астрономическому обществу под названием «Заметка о применении машин к вычислению астрономических и математических таблиц». ^[6] Эта машина использовала десятичную систему счисления и приводилась в действие поворотом рукоятки. Британское правительство было заинтересовано, поскольку создание таблиц было трудоемким и дорогим, и они надеялись, что разностная машина сделает задачу более экономичной. ^[7]

В 1823 году британское правительство выделило Бэббиджу 1700 фунтов стерлингов для начала работы над проектом. Хотя проект Бэббиджа был осуществим, методы металлообработки той эпохи не позволяли экономически эффективно изготавливать детали с требуемой точностью и в требуемом количестве. Таким образом, реализация оказалась намного более дорогой и сомнительной в плане успеха, чем первоначальная оценка правительства. Согласно проекту 1830 года для Разностной машины № 1, она должна была иметь около 25 000 деталей, весить 4 тонны [ ^8] и работать с 20-значными числами с разностями шестого порядка. В 1832 году Бэббидж и Джозеф Клемент изготовили небольшую рабочую модель (одну седьмую часть плана), ^[5] которая работала с 6-значными числами с разностями второго порядка. ^{[9] [10]} Леди Байрон описала, как увидела работающий прототип в 1833 году: «Мы оба пошли посмотреть на думающую машину (или так кажется) в прошлый понедельник. Она возвела несколько чисел во вторую и третью степени и извлекла корень квадратного уравнения». ^[11] Работа над более крупной машиной была приостановлена ​​в 1833 году.

К тому времени, как правительство отказалось от проекта в 1842 году, ^{[10] [12]} Бэббидж получил и потратил более 17 000 фунтов стерлингов на разработку, которая все еще не достигала рабочей машины. Правительство ценило только выход машины (экономически производимые таблицы), а не разработку (по непредсказуемой стоимости) самой машины. Бэббидж отказывался признавать это затруднительное положение. ^[7] Тем временем внимание Бэббиджа переключилось на разработку аналитической машины , что еще больше подорвало уверенность правительства в конечном успехе разностной машины. Улучшив концепцию как аналитическую машину, Бэббидж сделал концепцию разностной машины устаревшей, а проект по ее внедрению — полным провалом с точки зрения правительства. ^[7]

Незавершённая разностная машина № 1 была представлена ​​публике на Международной выставке 1862 года в Южном Кенсингтоне , Лондон. ^{[13] [14]}

Бэббидж продолжил проектировать свою гораздо более общую аналитическую машину, но позже разработал улучшенную конструкцию «Разностной машины № 2» (31-значные числа и разности седьмого порядка) ^[9] между 1846 и 1849 годами. Бэббидж смог воспользоваться идеями, разработанными для аналитической машины, чтобы сделать новую разностную машину более быстрой, используя меньше деталей. ^{[15] [16]}

Машина расчета Шейца

Третья разностная машина Георга Шойца

Вдохновленный разностной машиной Бэббиджа в 1834 году, Пер Георг Шойц построил несколько экспериментальных моделей. В 1837 году его сын Эдвард предложил построить рабочую модель из металла, а в 1840 году закончил вычислительную часть, способную вычислять ряды с 5-значными числами и разностями первого порядка, которая позже была расширена до третьего порядка (1842). В 1843 году, после добавления печатной части, модель была завершена.

В 1851 году, финансируемое правительством, началось строительство более крупной и улучшенной (15-значные числа и разности четвертого порядка) машины, которое было завершено в 1853 году. Машина была продемонстрирована на Всемирной выставке в Париже в 1855 году, а затем продана в 1856 году в обсерваторию Дадли в Олбани, штат Нью-Йорк . Доставленная в 1857 году, она стала первым проданным печатным калькулятором. ^{[17] [18] [19]} В 1857 году британское правительство заказало следующую разностную машину Шейтца , которая была построена в 1859 году. ^{[20] [21]} Она имела ту же основную конструкцию, что и предыдущая, и весила около 10  центнеров (1100  фунтов ; 510  кг ). ^[19]

Другие

Мартин Виберг усовершенствовал конструкцию Шойца ( около  1859 г. , его машина имела ту же производительность, что и машина Шойца: 15 цифр и четвертый порядок), но использовал свое устройство только для создания и публикации печатных таблиц (процентных таблиц в 1860 г. и логарифмических таблиц в 1875 г.) ^[22] .

Альфред Дикон из Лондона в  1862 году создал небольшую разностную машину (20-значные числа и разности третьего порядка). ^{[17] [23]}

Американец Джордж Б. Грант начал работать над своей вычислительной машиной в 1869 году, не зная о работах Бэббиджа и Шейца (Schentz). Год спустя (1870) он узнал о разностных машинах и приступил к проектированию одной из них сам, описав свою конструкцию в 1871 году. В 1874 году Boston Thursday Club собрал средства на постройку крупномасштабной модели, которая была построена в 1876 году. Она могла быть расширена для повышения точности и весила около 2000 фунтов (910 кг). ^{[23] [24] [25]}

Кристель Хаманн построил одну машину (16-значные числа и разности второго порядка) в 1909 году для «Таблиц Баушингера и Петерса» («Логарифмико-тригонометрических таблиц с восемью десятичными знаками»), которые были впервые опубликованы в Лейпциге в 1910 году. Она весила около 40 килограммов (88 фунтов). ^{[23] [26] [27]}

Примерно в 1912 году корпорация Burroughs построила машину для Управления морского альманаха , которая использовалась в качестве разностной машины второго порядка. ^{[28] : 451  [29]} Позднее, в 1929 году, она была заменена на Burroughs Class 11 (13-значные числа и разности второго порядка или 11-значные числа и [по крайней мере] разности пятого порядка). ^[30]

Александр Джон Томпсон около 1927 года построил интегрирующую и разностную машину (13-значные числа и разности пятого порядка) для своей таблицы логарифмов "Logarithmetica britannica". Эта машина состояла из четырех модифицированных калькуляторов Triumphator. ^{[31] [32] [33]}

Лесли Комри в 1928 году описал, как использовать вычислительную машину Брунсвига -Дупла в качестве разностной машины второго порядка (15-значные числа). ^[28] Он также отметил в 1931 году, что National Accounting Machine Class 3000 может быть использована в качестве разностной машины шестого порядка. ^{[23] : 137–138}

Строительство двух рабочих разностных двигателей № 2

В 1980-х годах Аллан Г. Бромли , доцент Сиднейского университета , Австралия , изучал оригинальные чертежи Бэббиджа для разностной и аналитической машин в библиотеке Музея науки в Лондоне. ^[34] Эта работа привела к тому, что Музей науки построил рабочую вычислительную секцию разностной машины № 2 с 1985 по 1991 год под руководством Дорона Суэйда , тогдашнего куратора вычислений. Это было сделано в ознаменование 200-летия со дня рождения Бэббиджа в 1991 году. В 2002 году также был завершен принтер , который Бэббидж изначально спроектировал для разностной машины. ^[35] Преобразование оригинальных чертежей проекта в чертежи, пригодные для использования производителями техники, выявило некоторые незначительные ошибки в конструкции Бэббиджа (возможно, внесенные в качестве защиты на случай кражи планов), ^[36] которые необходимо было исправить. Машина разностного счета и принтер были построены с допусками, достижимыми с помощью технологий 19-го века, разрешив давний спор о том, могла ли конструкция Бэббиджа работать с использованием инженерных методов эпохи Георга. Машина содержит 8000 деталей и весит около 5 тонн. ^[37]

Основная цель принтера — производить стереотипные пластины для использования в печатных станках, что он делает, вдавливая шрифт в мягкий гипс для создания флонга . Бэббидж намеревался напрямую передать результаты работы машины массовой печати, осознав, что многие ошибки в предыдущих таблицах были результатом не человеческих ошибок в расчетах, а ошибок в процессе ручного набора . ^[7] Выходные данные принтера в основном являются средством проверки производительности машины.

Помимо финансирования создания выходного механизма для разностной машины Музея науки, Натан Мирволд заказал создание второй полной разностной машины № 2, которая экспонировалась в Музее истории компьютеров в Маунтин-Вью, Калифорния , с мая 2008 года по январь 2016 года. ^{[37] [38] [39] [40]} С тех пор она была передана в Intellectual Ventures в Сиэтле , где она экспонируется прямо за главным вестибюлем. ^{[41] [42] [43]}

Операция

Полностью работоспособная разностная машина в Музее компьютерной истории в Маунтин-Вью, Калифорния

Машина Mountain View в действии

Машина разности состоит из ряда столбцов, пронумерованных от 1 до N. Машина может хранить одно десятичное число в каждом столбце. Машина может только складывать значение столбца n  + 1 со столбцом n , чтобы получить новое значение n . Столбец N может хранить только константу, столбец 1 отображает (и, возможно, печатает ) значение вычисления на текущей итерации .

Движок программируется путем установки начальных значений в столбцах. Столбец 1 устанавливается на значение полинома в начале вычисления. Столбец 2 устанавливается на значение, полученное из первой и более высоких производных полинома при том же значении X. Каждый из столбцов от 3 до N устанавливается на значение, полученное из первой и более высоких производных полинома. ^[44] ${\displaystyle (n-1)}$

Сроки

В конструкции Бэббиджа одна итерация (т.е. один полный набор операций сложения и переноса ) происходит за каждый оборот главного вала. Нечетные и четные столбцы попеременно выполняют сложение за один цикл. Последовательность операций для столбца такова: ^[44] ${\displaystyle n}$

1. Подсчитайте, получив значение из столбца (шаг сложения) ${\displaystyle n+1}$
2. Выполнить перенос подсчитанного значения
3. Обратный отсчет до нуля, добавление к столбцу ${\displaystyle n-1}$
4. Сбросьте отсчет времени до исходного значения.

Шаги 1,2,3,4 выполняются для каждого нечетного столбца, а шаги 3,4,1,2 — для каждого четного столбца.

Хотя в оригинальной конструкции Бэббиджа рукоятка располагалась непосредственно на главном валу, позже стало понятно, что усилие, необходимое для проворачивания машины, было бы слишком большим для того, чтобы человек мог с комфортом с ней справиться. Поэтому две построенные модели включают редуктор 4:1 на рукоятке, и для выполнения одного полного цикла требуется четыре оборота рукоятки.

Шаги

Каждая итерация создает новый результат и выполняется в четыре шага, соответствующих четырем полным оборотам ручки, показанной справа на рисунке ниже. Четыре шага таковы:

1. Все четные столбцы (2,4,6,8) одновременно добавляются ко всем нечетным столбцам (1,3,5,7). Внутренний рычаг развертки поворачивает каждый четный столбец, заставляя любое число на каждом колесе отсчитываться вниз до нуля. Когда колесо поворачивается на ноль, оно передает свое значение на секторную шестерню, расположенную между нечетными/четными столбцами. Эти значения переносятся в нечетный столбец, заставляя их отсчитываться вверх. Любое нечетное значение столбца, которое переходит от «9» к «0», активирует рычаг переноса .
2. Это похоже на Шаг 1, за исключением того, что нечетные столбцы (3,5,7) добавляются к четным столбцам (2,4,6), а значения столбца один передаются секторной шестерней в печатающий механизм на левом конце двигателя. Любое четное значение столбца, которое переходит от "9" к "0", активирует рычаг переноса. Значение столбца 1, результат для полинома, отправляется в присоединенный механизм принтера.
3. Это похоже на шаг 2, но для выполнения переносов в четных столбцах и возврата нечетных столбцов к их исходным значениям.

Вычитание

Движок представляет отрицательные числа как дополнение до десяти . Вычитание равносильно добавлению отрицательного числа. Это работает таким же образом, как современные компьютеры выполняют вычитание, известное как дополнение до двух .

Метод различий

Принцип разностной машины — метод разделенных разностей Ньютона . Если начальное значение полинома (и его конечных разностей ) вычисляется некоторыми способами для некоторого значения X , разностная машина может вычислить любое количество близлежащих значений, используя метод, обычно известный как метод конечных разностей . Например, рассмотрим квадратичный полином

${\displaystyle p(x)=2x^{2}-3x+2\,}$

с целью табулирования значений p (0), p (1), p (2), p (3), p (4) и т. д. Таблица ниже построена следующим образом: второй столбец содержит значения полинома, третий столбец содержит разности двух левых соседей во втором столбце, а четвертый столбец содержит разности двух соседей в третьем столбце:

Числа в третьем столбце значений постоянны. Фактически, начиная с любого полинома степени n , номер столбца n  + 1 всегда будет постоянным. Это решающий факт, стоящий за успехом метода.

Эта таблица была построена слева направо, но ее можно продолжить строить справа налево вниз по диагонали, чтобы вычислить больше значений. Чтобы вычислить p (5), используйте значения из самой нижней диагонали. Начните с постоянного значения четвертого столбца 4 и скопируйте его вниз по столбцу. Затем продолжите третий столбец, прибавив 4 к 11, чтобы получить 15. Затем продолжите второй столбец, взяв его предыдущее значение 22 и добавив 15 из третьего столбца. Таким образом, p (5) равно 22 + 15 = 37. Чтобы вычислить p (6), мы повторяем тот же алгоритм для значений p (5): берем 4 из четвертого столбца, прибавляем его к значению третьего столбца 15, чтобы получить 19, затем прибавляем его к значению второго столбца 37, чтобы получить 56, что равно p (6). Этот процесс может быть продолжен до бесконечности . Значения многочлена производятся без необходимости умножения. Разностной машине нужно только уметь складывать. От одного цикла к другому необходимо хранить 2 числа — в этом примере (последние элементы в первом и втором столбцах). Для табулирования многочленов степени n требуется достаточно памяти для хранения n чисел.

Машина разности Бэббиджа № 2, наконец построенная в 1991 году, может хранить 8 чисел по 31 десятичной цифре каждое и, таким образом, может табулировать полиномы 7-й степени с такой точностью. Лучшие машины от Шойца могли хранить 4 числа по 15 цифр каждое. ^[45]

Начальные значения

Начальные значения столбцов можно рассчитать, сначала вручную вычислив N последовательных значений функции, а затем выполнив возврат (т.е. вычислив требуемые разности).

Col получает значение функции в начале вычисления . Col — это разница между и ... ^[46] ${\displaystyle 1_{0}}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle 2_{0}}$ ${\displaystyle f(1)}$ ${\displaystyle f(0)}$

Если вычисляемая функция является полиномиальной функцией , выраженной как

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,}$

начальные значения могут быть рассчитаны непосредственно из постоянных коэффициентов a ₀ , a ₁ , a ₂ , ..., a _n без вычисления каких-либо точек данных. Начальные значения, таким образом, следующие:

• Кол = а ₀ ${\displaystyle 1_{0}}$
• Кол = а1 + а2 + а3 + а4 ₊ ... ₊ аn_​​​ ${\displaystyle 2_{0}}$
• Кол = 2а2 + 6а3 + 14а4 + _{30а5 +} ..._​​​ ${\displaystyle 3_{0}}$
• Кол = 6а3 + 36а4 + _{150а5 +} ..._​​ ${\displaystyle 4_{0}}$
• Кол = 24а4 + 240а5 ₊ ..._​ ${\displaystyle 5_{0}}$
• Кол = 120 а ₅ + ... ${\displaystyle 6_{0}}$
• ${\displaystyle ...}$

Использование производных инструментов

Многие часто используемые функции являются аналитическими функциями , которые можно выразить в виде степенных рядов , например, в виде рядов Тейлора . Начальные значения можно вычислить с любой степенью точности; если все сделано правильно, движок выдаст точные результаты для первых N шагов. После этого движок выдаст только приближение функции.

Ряд Тейлора выражает функцию как сумму, полученную из ее производных в одной точке. Для многих функций высшие производные получить тривиально; например, функция синуса в точке 0 имеет значения 0 или для всех производных. Задавая 0 в качестве начала вычисления, мы получаем упрощенный ряд Маклорена ${\displaystyle \pm 1}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\ x^{n}}$

Тот же метод вычисления начальных значений из коэффициентов может быть использован для полиномиальных функций. Полиномиальные постоянные коэффициенты теперь будут иметь значение

${\displaystyle a_{n}\equiv {\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}$

Подгонка кривой

Проблема с методами, описанными выше, заключается в том, что ошибки будут накапливаться, и ряд будет иметь тенденцию расходиться с истинной функцией. Решение, которое гарантирует постоянную максимальную ошибку, заключается в использовании подгонки кривой . Минимальное количество значений N вычисляется равномерно распределенным по диапазону желаемых вычислений. Используя технику подгонки кривой, такую ​​как редукция Гаусса, находится интерполяция полинома N −1-й степени функции. ^[46] С оптимизированным полиномом начальные значения могут быть вычислены, как указано выше.

Смотрите также

• Математический портал

• Аллан Г. Бромли
• Иоганн Хельфрих фон Мюллер
• Мартин Виберг
• Калькулятор вертушки

Ссылки

1. Иоганн Хелфрих фон Мюллер, Beschreibung seiner neu erfundenen Rechenmachine, nach ihrer Gestalt, ihrem Gebrauch und Nutzen [Описание его недавно изобретенной вычислительной машины, в зависимости от ее формы, ее использования и преимуществ] (Франкфурт и Майнц, Германия: Varrentrapp Sohn & Wenner) , 1786); страницы 48–50. Следующий веб-сайт (на немецком языке) содержит подробные фотографии калькулятора Мюллера, а также транскрипцию буклета Мюллера Beschreibung… : https://www.fbi.h-da.de/fileadmin/vmi/darmstadt/objekte/rechenmaschinen/ mueller/index.htm. Архивировано 5 марта 2016 г. в Wayback Machine . Анимированная симуляция работы машины Мюллера доступна на этом веб-сайте (на немецком языке): https://www.fbi.h-da.de/fileadmin/vmi/darmstadt/objekte/rechenmaschinen/mueller/simulation/index.htm Архивировано 06.03.2016 на Wayback Machine .
2. Майкл Линдгрен (перевод Крейга Г. Маккея), Слава и неудача: разностные машины Иоганна Мюллера, Чарльза Бэббиджа и Георга и Эдварда Шойц (Кембридж, Массачусетс: MIT Press, 1990), стр. 64 и далее.
3. Swedin, EG; Ferro, DL (2005). Компьютеры: история жизни технологии . Greenwood Press, Westport, Connecticut. стр. 14. ISBN 978-0-313-33149-7.
4. Дасгупта, Субрата (2014). Все началось с «Бэббиджа: генезис информатики». Издательство Оксфордского университета. п. 22. ISBN 978-0-19-930943-6.
5. Copeland, B. Jack ; Bowen, Jonathan P. ; Wilson, Robin ; Sprevak, Mark (2017). The Turing Guide . Oxford University Press . стр. 251. ISBN 9780191065002.
6. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1998). "Чарльз Бэббидж". Архив истории математики Мактьютора . Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия. Архивировано из оригинала 2006-06-16 . Получено 2006-06-14 .
7. Кэмпбелл-Келли, Мартин (2004). Компьютер: История информационной машины 2-е изд . Боулдер, Колорадо: Westview Press. ISBN 978-0-8133-4264-1.
8. "The Engines | Babbage Engine". Музей истории компьютеров . Получено 10 июля 2022 г.
9. O'Regan, Gerard (2012). Краткая история вычислений. Springer Science & Business Media. стр. 204. ISBN 978-1-4471-2359-0.
10. Snyder, Laura J. (2011). Философский клуб завтраков: четыре замечательных друга, которые преобразили науку и изменили мир. Crown/Archetype. стр. 192, 210, 217. ISBN 978-0-307-71617-0.
11. Тул, Бетти Александра; Лавлейс, Ада (1998). Ада, чародейка чисел. Милл-Вэлли, Калифорния: Strawberry Press. стр. 38. ISBN 978-0912647180. OCLC  40943907.
12. Уэлд, Чарльз Ричард (1848). История Королевского общества: с мемуарами президентов. Дж. У. Паркер. С. 387–390.
13. Томлинсон, Чарльз (1868). Энциклопедия полезных искусств, механических и химических, промышленных, горнодобывающих и инженерных: в трех томах, иллюстрированная 63 гравюрами на стали и 3063 гравюрами на дереве. Virtue & Co., стр. 136.
14. Официальный каталог промышленного департамента. 1862. С. 49.
15. Снайдер, Лора Дж. (2011). Философский завтрак-клуб . Нью-Йорк: Бродвей Брукс. ISBN 978-0-7679-3048-2.
16. Моррис, Чарльз Р. (23 октября 2012 г.). Рассвет инноваций: Первая американская промышленная революция. PublicAffairs. стр. 63. ISBN 9781610393577.
17. Шейц, Джордж; Шейц, Эдвард (1857). Образцы таблиц, вычисленных, стереоформованных и напечатанных с помощью машин. Уитниг. С. VIII–XII, XIV–XV, 3.
18. "Scheutz Difference Engine". Смитсоновский национальный музей американской истории . Получено 14 июня 2019 г.
19. Мерцбах, Ута К .; Рипли, С. Диллон; Мерцбах, Ута К. Первый печатный калькулятор . стр. 8–9, 13, 25–26, 29–30. CiteSeerX 10.1.1.639.3286 . 
20. Суэйд, Дорон (29.10.2002). Машина различий: Чарльз Бэббидж и поиски первого компьютера . Penguin Books. стр. 4, 207. ISBN 9780142001448.
21. Уотсон, Ян (2012). Универсальная машина: от зари вычислений до цифрового сознания. Springer Science & Business Media. стр. 37–38. ISBN 978-3-642-28102-0.
22. Арчибальд, Рэймонд Клэр (1947). «Мартин Виберг, его таблица и разностная машина» (PDF) . Математические таблицы и другие вспомогательные средства для вычислений . 2 (20): 371–374.
23. Кэмпбелл-Келли, Мартин (2003). История математических таблиц: от Шумера до электронных таблиц . OUP Oxford. стр. 132–136. ISBN 978-0-19-850841-0.
24. "История компьютеров и вычислений, Бэббидж, дифференциальные двигатели Next, Хаманн". history-computer.com . Архивировано из оригинала 2012-02-25 . Получено 2017-09-14 .
25. Сандхерст, Филлип Т. (1876). Великая столетняя выставка, критически описанная и проиллюстрированная. PW Ziegler & Company. С. 423, 427.
26. Баушингер, Юлиус; Петерс, Жан (1958). Логарифмически-тригонометрические тафельные числа с десятичными числами, включают логарифмы всех чисел от 1 до 200000 и логарифмы тригонометрических функций для шестидесятеричных секунд квадрантов: Bd. Tafel der achtstelligen Логарифмы всех чисел от 1 бис 200000. HR Энгельманн, стр. Предисловие V – VI.
27. Баушингер, Юлиус; Петерс, Дж. (Жан) (1910). Логарифмически-тригонометрические вычисления, с участием десятичных чисел, включают логарифмы всех чисел от 1 до 200000 и логарифмы тригонометрических функций для шестидесятеричных секунд квадрантов. Neu berechnet und hrsg. фон Дж. Баушингер и Дж. Петерс. Стереотипы (на немецком языке). Герштейн – Университет Торонто. Лейпциг В. Энглеманн. стр. Einleitung VI.
28. Comrie, LJ (1928-03-01). «О применении вычислительной машины BrunsvigaDupla к двойному суммированию с конечными разностями». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 88 (5): 451, 453–454, 458–459. Bibcode : 1928MNRAS..88..447C. doi : 10.1093/mnras/88.5.447 . ISSN  0035-8711 – через Astrophysics Data System .
29. Хорсбург, Э. М. (1914). Современные приборы и методы расчета: справочник выставки, посвященной трехсотлетию Нейпира. Лондон: G. Bell. С. 127–131.
30. Комри, Л. Дж. (1932-04-01). «The Nautical Almanac Office Burroughs machine». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 92 (6): 523–524, 537–538. Bibcode : 1932MNRAS..92..523C. doi : 10.1093/mnras/92.6.523 . ISSN  0035-8711 – через Astrophysics Data System .
31. Томпсон, Александр Джон (1924). Logarithmetica Britannica: Стандартная таблица логарифмов до двадцати десятичных знаков. Архив CUP. С. V/VI, XXIX, LIV–LVI, LXV (архив: с. 7, 30, 55–59, 68). ISBN 9781001406893.Альтернативный URL-адрес
32. "История компьютеров и вычислений, Бэббидж, Следующие дифференциальные двигатели, Александр Джон Томпсон". history-computer.com . Получено 22.09.2017 .
33. Weiss, Stephan. "Publikationen". mechrech.info . Difference Machines in the 20th Century . Впервые опубликовано в Proceedings 16th International Meeting of Collectors of Historical Calculating Instruments, сентябрь 2010 г., Лейден. С. 160–163 . Получено 22 сентября 2017 г.
34. IEEE Annals of the History of Computing, 22(4), октябрь–декабрь 2000 г.
35. "Современное продолжение | Машина Бэббиджа". Музей истории компьютеров.
36. Принтер Бэббиджа наконец-то заработал, BBC news цитирует Реджа Крика. Доступ 17 мая 2012 г.
37. Пресс-релизы | История компьютеров
    • «Музей компьютерной истории впервые представляет разностную машину № 2 Чарльза Бэббиджа, впервые выставленную в Северной Америке» (пресс-релиз). Музей компьютерной истории. 2008-05-05 . Получено 2018-10-27 .
    • «Музей компьютерной истории расширяет свою выставку разностной машины Бэббиджа № 2» (пресс-релиз). Музей компьютерной истории. 31 марта 2009 г. Архивировано из оригинала 2016-01-03 . Получено 2009-11-06 .
38. "Разностная машина Бэббиджа № 2". Музей истории компьютеров . Получено 26 октября 2018 г.
39. Тердиман, Дэниел (10 апреля 2008 г.). «Шедевральная разностная машина Чарльза Бэббиджа прибывает в Кремниевую долину». Новости CNET .
40. Ноак, Марк (29 января 2016 г.). «Музей компьютеров прощается с двигателем Бэббиджа». Mv-voice.com . Получено 10 июля 2022 г.
41. Бойл, Алан (11.09.2016). «Внутри фабрики изобретений: загляните в лабораторию Intellectual Ventures» . Получено 21.04.2024 .
42. "Intellectual Ventures on LinkedIn: #ivlab #coolscience". www.linkedin.com . Получено 21.04.2024 .
43. Ventures, Intellectual (1 сентября 2016 г.). «Любимые изобретения IV: Машина Бэббиджа». Intellectual Ventures . Получено 24 марта 2024 г.
44. Lardner, D. (июль 1834 г.). «Вычислительная машина Бэббиджа». Edinburgh Review : 263–327 . Получено 11 октября 2022 г. В WikiSource, а также перепечатано в The works of Charles Babbage, Vol 2, p.119ff
45. О'Реган, Джерард (2012). Краткая история вычислений. Springer Science & Business Media. стр. 201. ISBN 978-1-4471-2359-0.
46. Телен, Эд (2008). «Разностная машина Бэббиджа № 2 – Как инициализировать машину –».

Дальнейшее чтение

• Снайдер, Лора Дж. (2011). Философский клуб завтраков: четыре замечательных друга, которые преобразили науку и изменили мир . Бродвей. ISBN 978-0-7679-3048-2.
• Swade, Doron (сентябрь 1996 г.). Разностная машина Чарльза Бэббиджа № 2 – Техническое описание. Science Museum Papers in the History of Technology № 5. Лондон: Национальный музей науки и промышленности . Получено 11 января 2009 г.
• Swade, Doron (2002). Машина различий: Чарльз Бэббидж и поиски первого компьютера. Penguin (переиздание). ISBN 978-0-14-200144-8.
• Суэйд, Дорон (2001). Зубчатый мозг . Счеты. ISBN 978-0-349-11239-8.
• Дорон Свейд, Натан Мирволд (10 июня 2008 г.). Мирволд и Свейд обсуждают разностную машину Бэббиджа (лекция: Лен Шустек , введение; Дорон Свейд @7:35, Натан Мирволд @36:25; обсуждение @46:45). Музей компьютерной истории. Архивировано из оригинала 2021-12-11 . Получено 2009-11-06 .
• Кэмпбелл-Келли, Мартин (2003). «Разностные машины: от Мюллера до Комри». История математических таблиц: от Шумера до электронных таблиц . Майкл Р. Уильямс. OUP Oxford. ISBN 9780198508410.

Внешние ссылки

• Выставка Музея компьютерной истории, посвященная Бэббиджу и разностной машине
• Разностная машина Meccano №1
• Конструктор Meccano Difference Engine №2
• Первая разностная машина Бэббиджа – как она должна была работать
• Анализ расходов на разностную машину Бэббиджа № 1
• Работа движка Difference с анимациями
• Образец разностной машины №1 в Музее электростанций в Сиднее
• Гигапиксельное изображение Difference Engine No2
• Видеоролик о разностной машине Шейца в действии. Куплена первым директором обсерватории Дадли Бенджамином Апторпом Гулдом в 1856 году. Гулд был знаком с Бэббиджем. Разностная машина много лет выполняла астрономические расчеты для обсерватории и теперь является частью национальной коллекции в Смитсоновском институте.
• Ссылки на видеоролики о Babbage DE 2 и его конструкции: «История компьютеров: узнать больше». www.computerhistories.org . Тема 5 — Компьютеры в эпоху Steam (не хакеры, а клакеры).