Единичный корень

Характеристика некоторых стохастических процессов

В теории вероятностей и статистике единичный корень — это свойство некоторых стохастических процессов (например, случайных блужданий ), которое может вызывать проблемы в статистическом выводе, связанном с моделями временных рядов . Линейный стохастический процесс имеет единичный корень, если 1 является корнем характеристического уравнения процесса . Такой процесс нестационарен , но не всегда имеет тенденцию.

Если другие корни характеристического уравнения лежат внутри единичной окружности, то есть имеют модуль ( абсолютное значение ) меньше единицы, то первая разность процесса будет стационарной; в противном случае процесс необходимо будет разнести несколько раз, чтобы он стал стационарным. ^[1] Если имеется d единичных корней, процесс необходимо будет разнести d раз, чтобы он стал стационарным. ^[2] Из-за этой характеристики процессы с единичными корнями также называются разностными стационарными. ^{[3] [4]}

Процессы единичного корня иногда можно спутать с процессами со стационарным трендом ; хотя они имеют много общих свойств, они во многих аспектах отличаются. Временной ряд может быть нестационарным, но не иметь единичного корня и быть стационарным трендом. Как в процессах с единичным корнем, так и в процессах со стационарным трендом среднее значение может расти или уменьшаться с течением времени; однако при наличии шока процессы со стационарным трендом являются возвращающимися к среднему (т. е. переходными, временной ряд снова сойдется к растущему среднему значению, на которое шок не повлиял), в то время как процессы с единичным корнем оказывают постоянное влияние на среднее значение (т. е. никакой сходимости с течением времени). ^[5]

Если корень характеристического уравнения процесса больше 1, то он называется взрывным процессом , хотя такие процессы иногда неточно называют процессами с единичными корнями.

Наличие единичного корня можно проверить с помощью теста на единичный корень .

Определение

Рассмотрим случайный процесс с дискретным временем и предположим, что его можно записать как авторегрессионный процесс порядка  p : ${\displaystyle (y_{t},t=1,2,3,\ldots )}$

${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{p}y_{t-p}+\varepsilon _{t}.}$

Здесь — последовательно некоррелированный стохастический процесс с нулевым средним и постоянной дисперсией . Для удобства предположим . Если — корень характеристического уравнения кратности 1: ${\displaystyle (\varepsilon _{t},t=0,1,2,\ldots ,)}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle y_{0}=0}$ ${\displaystyle m=1}$

${\displaystyle m^{p}-m^{p-1}a_{1}-m^{p-2}a_{2}-\cdots -a_{p}=0}$

то стохастический процесс имеет единичный корень или, в качестве альтернативы, интегрируется порядка один, обозначаемый . Если m = 1 является корнем кратности r , то стохастический процесс интегрируется порядка r , обозначаемый I ( r ). ${\displaystyle I(1)}$

Пример

Авторегрессионная модель первого порядка, , имеет единичный корень, когда . В этом примере характеристическое уравнение . Корень уравнения . ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle a_{1}=1}$ ${\displaystyle m-a_{1}=0}$ ${\displaystyle m=1}$

Если процесс имеет единичный корень, то это нестационарный временной ряд. То есть моменты стохастического процесса зависят от . Чтобы проиллюстрировать эффект единичного корня, можно рассмотреть случай первого порядка, начиная с y ₀  = 0: ${\displaystyle t}$

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+\varepsilon _{t}.}$

Повторной заменой можно записать . Тогда дисперсия определяется как: ${\displaystyle y_{t}=y_{0}+\sum _{j=1}^{t}\varepsilon _{j}}$ ${\displaystyle y_{t}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{t})=\sum _{j=1}^{t}\sigma ^{2}=t\sigma ^{2}.}$

Дисперсия зависит от t , так как , в то время как . Дисперсия ряда расходится до бесконечности с  t . ${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{1})=\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{2})=2\sigma ^{2}}$

Существуют различные тесты для проверки существования единичного корня, некоторые из них имеют вид:

1. Тест Дики–Фуллера (DF) или расширенные тесты Дики–Фуллера (ADF)
2. Проверка значимости более чем одного коэффициента (f-тест)
3. Тест Филлипса-Перрона (ПП)
4. Тест Дики Пантула

Похожие модели

В дополнение к моделям авторегрессии (AR) и авторегрессии со скользящим средним (ARMA), в регрессионном анализе возникают другие важные модели , где ошибки модели сами по себе могут иметь структуру временного ряда и, таким образом, могут нуждаться в моделировании с помощью процесса AR или ARMA, который может иметь единичный корень, как обсуждалось выше. Были проанализированы свойства конечной выборки регрессионных моделей с ошибками ARMA первого порядка, включая единичные корни. ^{[6] [7]}

Оценка того, когда может присутствовать единичный корень

Часто для оценки коэффициентов наклона модели авторегрессии используется обычный метод наименьших квадратов (МНК) . Использование МНК основано на стационарности стохастического процесса. Когда стохастический процесс нестационарен, использование МНК может привести к неверным оценкам. Грэнджер и Ньюболд назвали такие оценки результатами «ложной регрессии»: ^[8] высокие значения R 2 и высокие t-коэффициенты дают результаты, не имеющие реального (в их контексте, экономического) смысла.

Чтобы оценить коэффициенты наклона, сначала следует провести тест на единичный корень , нулевая гипотеза которого заключается в том, что единичный корень присутствует. Если эта гипотеза отвергается, можно использовать МНК. Однако, если наличие единичного корня не отвергается, то следует применить к ряду оператор разности . Если другой тест на единичный корень показывает, что разностный временной ряд является стационарным, то к этому ряду можно применить МНК для оценки коэффициентов наклона.

Например, в случае AR(1) является стационарным. ${\displaystyle \Delta y_{t}=y_{t}-y_{t-1}=\varepsilon _{t}}$

В случае AR(2) можно записать как , где L — оператор лага , который уменьшает временной индекс переменной на один период: . Если , то модель имеет единичный корень, и мы можем определить ; тогда ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle (1-\lambda _{1}L)(1-\lambda _{2}L)y_{t}=\varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle Ly_{t}=y_{t-1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=1}$ ${\displaystyle z_{t}=\Delta y_{t}}$

${\displaystyle z_{t}=\lambda _{1}z_{t-1}+\varepsilon _{t}}$

стационарна, если . МНК можно использовать для оценки коэффициента наклона, . ${\displaystyle |\lambda _{1}|<1}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$

Если процесс имеет несколько единичных корней, оператор разности можно применять несколько раз.

Свойства и характеристики процессов с единичным корнем

• Шоки в процессе единичного корня имеют постоянные эффекты, которые не затухают, как это было бы, если бы процесс был стационарным.
• Как отмечено выше, процесс единичного корня имеет дисперсию, которая зависит от t и расходится до бесконечности.
• Если известно, что ряд имеет единичный корень, ряд можно разложить, чтобы сделать его стационарным. Например, если ряд равен I(1), то ряд равен I(0) (стационарный). Поэтому он называется разностным стационарным рядом. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle \Delta Y_{t}=Y_{t}-Y_{t-1}}$

Гипотеза единичного корня

На диаграмме выше показан пример потенциального единичного корня. Красная линия представляет собой наблюдаемое падение выпуска. Зеленый цвет показывает путь восстановления, если ряд имеет единичный корень. Синий цвет показывает восстановление, если единичного корня нет, а ряд является тренд-стационарным. Синяя линия возвращается, чтобы встретиться и следовать за пунктирной линией тренда, в то время как зеленая линия остается постоянно ниже тренда. Гипотеза единичного корня также утверждает, что всплеск выпуска приведет к уровням выпуска выше, чем прошлый тренд.

Экономисты спорят, имеют ли различные экономические статистики, особенно выпуск , единичный корень или являются тренд-стационарными . ^[9] Процесс единичного корня с дрейфом задается в случае первого порядка как

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+c+e_{t}}$

где c — постоянный член, называемый «дрейфовым» членом, и представляет собой белый шум. Любое ненулевое значение шумового члена, возникающее только в течение одного периода, будет постоянно влиять на значение , как показано на графике, поэтому отклонения от линии нестационарны; возврата к какой-либо линии тренда не происходит. Напротив, процесс со стационарным трендом задается как ${\displaystyle e_{t}}$ ${\displaystyle y_{t}}$ ${\displaystyle y_{t}=a+ct}$

${\displaystyle y_{t}=k\cdot t+u_{t}}$

где k — наклон тренда, а — шум (в простейшем случае — белый шум; в более общем случае — шум, следующий своему собственному стационарному авторегрессионному процессу). Здесь любой кратковременный шум не изменит долгосрочную тенденцию к нахождению на линии тренда, что также показано на графике. Этот процесс называется тренд-стационарным, поскольку отклонения от линии тренда стационарны. ${\displaystyle u_{t}}$ ${\displaystyle y_{t}}$

Этот вопрос особенно популярен в литературе по деловым циклам. ^{[10] [11]} Исследования по этой теме начались с Нельсона и Плоссера, чья статья о ВНП и других агрегатах выпуска не смогла опровергнуть гипотезу единичного корня для этих рядов. ^[12] С тех пор разгорелся спор, переплетенный с техническими спорами о статистических методах. Некоторые экономисты ^[13] утверждают, что ВВП имеет единичный корень или структурный разрыв , подразумевая, что экономические спады приводят к постоянно более низким уровням ВВП в долгосрочной перспективе. Другие экономисты утверждают, что ВВП является тренд-стационарным: то есть, когда ВВП падает ниже тренда во время спада, он позже возвращается к уровню, подразумеваемому трендом, так что нет постоянного снижения выпуска. Хотя литература по гипотезе единичного корня может состоять из заумных дебатов о статистических методах, эта гипотеза имеет значительные практические последствия для экономических прогнозов и политики.

Смотрите также

• Тест Дики–Фуллера
• Расширенный тест Дики–Фуллера
• Тест ADF-GLS
• Тест на единичный корень
• Тест Филлипса-Перрона
• Коинтеграция , определение взаимосвязи между двумя переменными, имеющими единичные корни
• Тест на весовой симметричный единичный корень (WS)
• Тест Квятковского, Филлипса, Шмидта, Шина, известный как тесты KPSS

Примечания

1. "Trend-Stationary vs. Difference-Stationary Processes - MATLAB & Simulink". uk.mathworks.com . Архивировано из оригинала 2016-06-08 . Получено 2016-06-05 .
2. "EViews Help". Архивировано из оригинала 2020-05-27 . Получено 2020-05-28 .
3. "Тесты дифференцирования и единичного корня" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2016-10-18.
4. "Non-Stationary Series" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2014-06-11.
5. Хейно Бон Нильсен. "Нестационарные временные ряды и тесты на единичный корень" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2016-11-30.
6. Сарган, Дж. Д .; Бхаргава, Алок (1983). «Проверка остатков из регрессий наименьших квадратов на предмет их генерации случайным блужданием Гаусса». Econometrica . 51 (1): 153–174. doi :10.2307/1912252. JSTOR  1912252.
7. Сарган, Дж. Д.; Бхаргава, Алок (1983). «Оценка максимального правдоподобия регрессионных моделей с ошибками скользящего среднего первого порядка, когда корень лежит на единичной окружности». Econometrica . 51 (3): 799–820. doi :10.2307/1912159. JSTOR  1912159.
8. Granger, CWJ; Newbold, P. (1974). «Ложные регрессии в эконометрике». Журнал эконометрики . 2 (2): 111–120. CiteSeerX 10.1.1.353.2946 . doi :10.1016/0304-4076(74)90034-7. 
9. Кругман, Пол (3 марта 2009 г.). «Корни зла (wonkish)». The New York Times . Архивировано из оригинала 5 сентября 2015 г. Получено 7 февраля 2017 г.
10. Хегвуд, Натали; Папелл, Дэвид Х. (2007). «Являются ли реальные уровни ВВП тенденцией, разницей или стационарным трендом? Данные из панельных тестов, включающих структурные изменения» (PDF) . Southern Economic Journal . 74 (1): 104–113. doi :10.1002/j.2325-8012.2007.tb00829.x. JSTOR  20111955. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-06-14 . Получено 2021-08-14 .
11. Лаке, Бернд (2005). «Является ли тенденция ВВП Германии стационарной? Подход, основанный на измерении и теории» (PDF) . Jahrbücher für Nationalökonomie und Statistik . 225 (1): 60–76. doi : 10.1515/jbnst-2005-0105. S2CID  209856533. Архивировано (PDF) из оригинала 24 декабря 2013 г. Проверено 29 июля 2013 г.
12. Нельсон, Чарльз Р.; Плоссер, Чарльз И. (1982). «Тенденции и случайные блуждания в макроэкономических временных рядах: некоторые свидетельства и следствия». Журнал денежной экономики . 10 (2): 139–162. doi :10.1016/0304-3932(82)90012-5.
13. Оливье Бланшар. Архивировано 26 августа 2009 г. в Wayback Machine Международного валютного фонда. Он утверждает, что после банковского кризиса «в среднем объем производства не возвращается к старому тренду, а постоянно остается ниже него».