Фрактальная размерность

Коэффициент, дающий статистический индекс изменения сложности в зависимости от масштаба

Рисунок 1. По мере того, как длина измерительной линейки уменьшается, общая длина измеренной береговой линии увеличивается (см. Парадокс береговой линии ).

В математике фрактальное измерение — это термин, используемый в науке геометрии для предоставления рационального статистического индекса сложности деталей в шаблоне . Фрактальный шаблон изменяется в зависимости от масштаба , в котором он измеряется. Это также мера заполняющей пространство емкости шаблона, и она показывает, как фрактал масштабируется по-разному во фрактальном (нецелочисленном) измерении. ^{[1] [2] [3]}

Основная идея «раздробленных» измерений имеет долгую историю в математике, но сам термин был выдвинут на первый план Бенуа Мандельбротом на основе его статьи 1967 года о самоподобии , в которой он обсуждал дробные измерения . ^[4] В этой статье Мандельброт сослался на предыдущую работу Льюиса Фрая Ричардсона, описывающую контринтуитивное представление о том, что измеренная длина береговой линии изменяется в зависимости от длины используемой измерительной линейки (см. рис. 1). С точки зрения этого представления, фрактальная размерность береговой линии количественно определяет, как количество масштабированных измерительных линеек, необходимых для измерения береговой линии, изменяется в зависимости от масштаба, примененного к линейке. ^[5] Существует несколько формальных математических определений фрактальной размерности, которые подробно основываются на этой базовой концепции изменения с изменением масштаба: см. раздел Примеры.

В конечном итоге термин фрактальная размерность стал фразой, с которой сам Мандельброт чувствовал себя наиболее комфортно в отношении инкапсуляции значения слова фрактал , термина, который он создал. После нескольких итераций в течение многих лет Мандельброт остановился на таком использовании языка: «...использовать фрактал без педантичного определения, использовать фрактальную размерность как общий термин, применимый ко всем вариантам». ^[6]

Одним из нетривиальных примеров является фрактальная размерность снежинки Коха . Она имеет топологическую размерность 1, но она никоим образом не выпрямляется : длина кривой между любыми двумя точками на снежинке Коха бесконечна . Ни один ее маленький участок не похож на линию, а скорее состоит из бесконечного числа сегментов, соединенных под разными углами. Фрактальную размерность кривой можно объяснить интуитивно, представив фрактальную линию как объект, слишком подробный, чтобы быть одномерным, но слишком простой, чтобы быть двумерным. ^[7] Поэтому ее размерность лучше всего можно описать не ее обычной топологической размерностью 1, а ее фрактальной размерностью, которая часто является числом от одного до двух; в случае снежинки Коха она составляет приблизительно 1,2619.

Введение

Рисунок 2. 32-сегментный квадратичный фрактал, масштабированный и рассматриваемый через ящики разных размеров. Узор иллюстрирует самоподобие . Теоретическая фрактальная размерность этого фрактала составляет 5/3 ≈ 1,67; его эмпирическая фрактальная размерность из анализа подсчета ящиков составляет ±1% ^[8] с использованием программного обеспечения для фрактального анализа .

Фрактальная размерность — это индекс для характеристики фрактальных узоров или множеств путем количественной оценки их сложности как отношения изменения деталей к изменению масштаба. ^{[5] : 1} Несколько типов фрактальной размерности можно измерить теоретически и эмпирически (см. рис. 2). ^{[3] [9]} Фрактальные размерности используются для характеристики широкого спектра объектов, от абстрактных ^{[1] [3]} до практических явлений, включая турбулентность, ^{[5] : 97–104} речные сети, ^{: 246–247} рост городов, ^{[10] [11]} физиологию человека, ^{[12] [13]} медицину, ^[9] и рыночные тенденции. ^[14] Основная идея дробных или фрактальных измерений имеет долгую историю в математике, которую можно проследить до 1600-х годов, ^{[5] : 19  [15]} но термины фрактал и фрактальная размерность были введены математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году. ^{[1] [2] [5] [9] [14] [16]}

Фрактальные измерения были впервые применены как индекс, характеризующий сложные геометрические формы, для которых детали казались более важными, чем общая картина. ^{[16] Для множеств, описывающих обычные геометрические фигуры, теоретическая фрактальная размерность равна привычной} евклидовой или топологической размерности множества . Таким образом, она равна 0 для множеств, описывающих точки (0-мерные множества); 1 для множеств, описывающих линии (1-мерные множества, имеющие только длину); 2 для множеств, описывающих поверхности (2-мерные множества, имеющие длину и ширину); и 3 для множеств, описывающих объемы (3-мерные множества, имеющие длину, ширину и высоту). Но это меняется для фрактальных множеств. Если теоретическая фрактальная размерность множества превышает его топологическую размерность, то считается, что множество имеет фрактальную геометрию. ^[17]

В отличие от топологических измерений, индекс фрактала может принимать нецелые значения , ^[18] указывая на то, что множество заполняет свое пространство качественно и количественно иначе, чем обычное геометрическое множество. ^{[1] [2] [3]} Например, кривая с фрактальной размерностью, очень близкой к 1, скажем, 1,10, ведет себя совсем как обычная линия, но кривая с фрактальной размерностью 1,9 извивается в пространстве почти как поверхность. Аналогично, поверхность с фрактальной размерностью 2,1 заполняет пространство почти как обычная поверхность, но поверхность с фрактальной размерностью 2,9 складывается и течет, заполняя пространство почти как объем. ^{[17] : 48  [примечания 1]} Эту общую взаимосвязь можно увидеть на двух изображениях фрактальных кривых на рис. 2 и рис. 3 – 32-сегментный контур на рис. 2, свернутый и заполняющий пространство, имеет фрактальную размерность 1,67 по сравнению с заметно менее сложной кривой Коха на рис. 3, которая имеет фрактальную размерность приблизительно 1,2619.

Рисунок 3. Кривая Коха — это классическая итеративная фрактальная кривая. Это теоретическая конструкция, которая создается путем итерационного масштабирования начального сегмента. Как показано, каждый новый сегмент масштабируется на 1/3 в 4 новых части, уложенных конец к концу, с 2 средними частями, наклоненными друг к другу между двумя другими частями, так что если бы они были треугольником, его основанием была бы длина средней части, так что весь новый сегмент умещался бы на традиционно измеренной длине между конечными точками предыдущего сегмента. В то время как анимация показывает только несколько итераций, теоретическая кривая масштабируется таким образом бесконечно. За пределами примерно 6 итераций на таком маленьком изображении детали теряются.

Связь возрастающей фрактальной размерности с заполнением пространства можно было бы принять за то, что фрактальные размерности измеряют плотность, но это не так; эти два понятия не являются строго коррелированными. ^[8] Вместо этого фрактальная размерность измеряет сложность, концепцию, связанную с определенными ключевыми характеристиками фракталов: самоподобием и детализацией или нерегулярностью . ^{[примечания 2]} Эти характеристики очевидны в двух примерах фрактальных кривых. Обе являются кривыми с топологической размерностью 1, поэтому можно надеяться, что удастся измерить их длину и производную таким же образом, как и в случае с обычными кривыми. Но мы не можем сделать ни того, ни другого, потому что фрактальные кривые обладают сложностью в форме самоподобия и детализации, которых нет у обычных кривых. [ ^5] Самоподобие заключается в бесконечном масштабировании, а детализация — в определяющих элементах каждого набора. Длина между любыми двумя точками на этих кривых бесконечна, независимо от того, насколько близко друг к другу находятся две точки, что означает, что невозможно приблизительно определить длину такой кривой, разбив ее на множество мелких сегментов. [ ^19] Каждая меньшая часть состоит из бесконечного числа масштабированных сегментов, которые выглядят точно так же, как первая итерация. Это не спрямляемые кривые , то есть их нельзя измерить, разбив на множество сегментов, приближающих их соответствующие длины. Их нельзя осмысленно охарактеризовать, найдя их длины и производные. Однако их фрактальные размерности можно определить, что показывает, что обе заполняют пространство больше, чем обычные линии, но меньше, чем поверхности, и позволяет сравнивать их в этом отношении.

Две фрактальные кривые, описанные выше, демонстрируют тип самоподобия, который является точным с повторяющейся единицей детализации, которая легко визуализируется. Этот тип структуры может быть распространен на другие пространства (например, фрактал , который расширяет кривую Коха в трехмерное пространство, имеет теоретический D=2,5849). Однако такая аккуратно исчисляемая сложность является лишь одним примером самоподобия и детализации, которые присутствуют во фракталах. ^{[3] [14]} Например, пример береговой линии Британии демонстрирует самоподобие приблизительного рисунка с приблизительным масштабированием. ^{[5] : 26} В целом, фракталы демонстрируют несколько типов и степеней самоподобия и детализации, которые не могут быть легко визуализированы. К ним относятся, в качестве примеров, странные аттракторы , для которых детали были описаны как, по сути, гладкие части, нагромождающиеся, ^{[17] : 49} множество Жюлиа , которое можно рассматривать как сложные завихрения на завихрениях, и сердечные ритмы, которые представляют собой узоры грубых пиков, повторяющихся и масштабируемых во времени. ^[20] Фрактальная сложность не всегда может быть разрешена в легко воспринимаемых единицах деталей и масштаба без сложных аналитических методов, но она все еще поддается количественной оценке через фрактальные измерения. ^{[5] : 197, 262}

История

Термины фрактальная размерность и фрактал были введены Мандельбротом в 1975 году ^[16] примерно через десять лет после того, как он опубликовал свою статью о самоподобии в береговой линии Британии. Различные исторические авторитеты приписывают ему также синтез столетий сложной теоретической математики и инженерной работы и применение их по-новому для изучения сложных геометрий, которые не поддавались описанию в обычных линейных терминах. ^{[15] [21] [22]} Самые ранние корни того, что Мандельброт синтезировал как фрактальную размерность, четко прослеживаются в трудах о недифференцируемых, бесконечно самоподобных функциях, которые важны в математическом определении фракталов, примерно в то время, когда было открыто исчисление в середине 1600-х годов. ^{[5] : 405} После этого некоторое время наблюдалось затишье в публикациях работ по таким функциям, затем возобновление, начавшееся в конце 1800-х годов с публикацией математических функций и множеств, которые сегодня называются каноническими фракталами (например, одноименные работы фон Коха , ^[19] Серпинского и Жюлиа ), но во время их формулировки часто считались антитетическими математическими «монстрами». ^{[15] [22]} Эти работы сопровождались, возможно, самым поворотным моментом в развитии концепции фрактальной размерности благодаря работе Хаусдорфа в начале 1900-х годов, который определил «дробную» размерность , которая стала названа в его честь и часто используется при определении современных фракталов . ^{[4] [5] : 44  [17] [21]}

Более подробную информацию см. в разделе История фракталов.

Роль масштабирования

Рисунок 4. Традиционные понятия геометрии для определения масштабирования и размерности. , , , , , , ^[23]
${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1^{2}{=}1}$ ${\displaystyle 1^{3}{=}1}$
${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2^{2}{=}4}$ ${\displaystyle 2^{3}{=}8}$
${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 3^{2}{=}9}$ ${\displaystyle 3^{3}{=}27}$

Концепция фрактальной размерности основывается на нетрадиционных взглядах на масштабирование и размерность. ^[24] Как иллюстрирует рис. 4, традиционные представления геометрии диктуют, что формы масштабируются предсказуемо в соответствии с интуитивными и знакомыми представлениями о пространстве, в котором они содержатся, так что, например, измерение линии с помощью сначала одной измерительной палки, а затем другой, размером в 1/3 от ее размера, даст для второй палки общую длину в 3 раза больше палок, чем с первой. Это справедливо и для 2 измерений. Если измерить площадь квадрата, а затем снова измерить с помощью коробки со стороной длиной в 1/3 размера исходной, то получится в 9 раз больше квадратов, чем с первой мерой. Такие знакомые соотношения масштабирования можно определить математически с помощью общего правила масштабирования в уравнении 1, где переменная обозначает количество единиц измерения (палок, квадратов и т. д.), коэффициент масштабирования и фрактальную размерность: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle D}$

Это правило масштабирования типично для обычных правил геометрии и измерений — ссылаясь на приведенные выше примеры, оно количественно определяет, что для линий, потому что когда , и для квадратов, потому что когда ${\displaystyle D=1}$ ${\displaystyle N=3}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle D=2}$ ${\displaystyle N=9}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{3}}.}$

Рисунок 5. Первые четыре итерации снежинки Коха , размерность Хаусдорфа которой приблизительно равна 1,2619.

То же правило применимо к фрактальной геометрии, но менее интуитивно. Если говорить более подробно, то фрактальная линия, измеренная сначала как одна длина, при повторном измерении с использованием новой палки, масштабированной на 1/3 старой, может оказаться в 4 раза длиннее масштабированных палок, а не в 3, как ожидалось (см. рис. 5). В этом случае, когда и значение можно найти, переставив уравнение 1: ${\displaystyle N=4}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{3}},}$ ${\displaystyle D}$

То есть, для фрактала, описываемого с помощью , например, снежинки Коха , , нецелое значение, которое предполагает, что фрактал имеет размерность, не равную пространству, в котором он находится. ^[3] ${\displaystyle N=4}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle D=1.26185\ldots }$

Следует отметить, что изображения, показанные на этой странице, не являются настоящими фракталами, поскольку масштабирование, описанное не может продолжаться за пределами точки их наименьшего компонента, пикселя. Однако теоретические модели, которые представляют изображения, не имеют дискретных пиксельных частей, а скорее состоят из бесконечного числа бесконечно масштабируемых сегментов и действительно имеют заявленные фрактальные размеры. ^{[5] [24]} ${\displaystyle D}$

Дне является уникальным дескриптором

Рисунок 6. Два ветвящихся фрактала L-систем , которые созданы путем создания 4 новых частей для каждой 1/3 масштабирования, поэтому имеют ту же теоретическую форму, что и кривая Коха, и для которых эмпирический подсчет ящиков был продемонстрирован с точностью 2%. ^[8] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Как и в случае с размерами, определенными для линий, квадратов и кубов, фрактальные размерности являются общими дескрипторами, которые не определяют паттерны однозначно. ^{[24] [25]} Например, значение D для фрактала Коха, обсуждавшегося выше, количественно определяет присущий паттерну масштаб, но не описывает однозначно и не предоставляет достаточно информации для его реконструкции. Можно построить множество фрактальных структур или паттернов, которые имеют то же отношение масштабирования, но существенно отличаются от кривой Коха, как показано на рисунке 6.

Примеры построения фрактальных узоров см. в разделах Фрактал , Треугольник Серпинского , Множество Мандельброта , Агрегация, ограниченная диффузией , L-система .

Фрактальные поверхностные структуры

Концепция фрактальности все чаще применяется в области науки о поверхности , обеспечивая мост между характеристиками поверхности и функциональными свойствами. ^[26] Многочисленные дескрипторы поверхности используются для интерпретации структуры номинально плоских поверхностей, которые часто демонстрируют самоаффинные особенности в нескольких масштабах длины. Средняя шероховатость поверхности , обычно обозначаемая R _A , является наиболее часто применяемым дескриптором поверхности, однако регулярно применяются и многочисленные другие дескрипторы, включая средний наклон, среднеквадратичную шероховатость (R _RMS ) и другие. Однако обнаружено, что многие физические явления поверхности не могут быть легко интерпретированы со ссылкой на такие дескрипторы, поэтому фрактальная размерность все чаще применяется для установления корреляций между структурой поверхности с точки зрения поведения масштабирования и производительности. ^[27] Фрактальные размерности поверхностей использовались для объяснения и лучшего понимания явлений в областях контактной механики , ^[28] поведения трения , ^[29] электрического контактного сопротивления ^[30] и прозрачных проводящих оксидов . ^[31]

Рисунок 7: Иллюстрация возрастающей фрактальности поверхности. Самоаффинные поверхности (слева) и соответствующие им профили поверхности (справа), демонстрирующие возрастающую фрактальную размерность D _f

Примеры

Концепция фрактальной размерности, описанная в этой статье, является базовым представлением сложной конструкции. Обсуждаемые здесь примеры были выбраны для ясности, а единица масштабирования и соотношения были известны заранее. Однако на практике фрактальные размерности можно определить с помощью методов, которые аппроксимируют масштабирование и детализацию из пределов, оцененных по линиям регрессии на логарифмических графиках размера против масштаба. Ниже перечислены несколько формальных математических определений различных типов фрактальной размерности. Хотя для компактных множеств с точным аффинным самоподобием все эти размерности совпадают, в общем случае они не эквивалентны:

• Размерность подсчета ящиков : D оценивается как показатель степенного закона .

${\displaystyle D_{0}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.}$

• Информационное измерение : D учитывает, как средняя информация, необходимая для определения занятого ящика, масштабируется с размером ящика; это вероятность. ${\displaystyle p}$

${\displaystyle D_{1}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-\langle \log p_{\varepsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}}$

• Корреляционная размерность : D основана на количестве точек, используемых для создания представления фрактала, и g _ε — количестве пар точек, расположенных ближе друг к другу, чем ε. ${\displaystyle M}$

${\displaystyle D_{2}=\lim _{M\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log(g_{\varepsilon }/M^{2})}{\log \varepsilon }}}$ ^{[ необходима ссылка ]}

• Обобщенные или Реньи-измерения: измерения подсчета ячеек, информации и корреляции можно рассматривать как частные случаи непрерывного спектра обобщенных измерений порядка α, определяемых следующим образом:

${\displaystyle D_{\alpha }=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {{\frac {1}{\alpha -1}}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log \varepsilon }}}$

• Измерение Хигучи ^[32]

${\displaystyle D={\frac {d\ \log(L(k))}{d\ \log(k)}}}$

• размерность Ляпунова
• Мультифрактальные измерения: особый случай измерений Реньи, где поведение масштабирования различается в разных частях паттерна.
• Показатель неопределенности
• Размерность Хаусдорфа : Для любого подмножества метрического пространства и d -мерное содержимое Хаусдорфа S определяется как ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d\geq 0}$

${\displaystyle C_{H}^{d}(S):=\inf {\Bigl \{}\sum _{i}r_{i}^{d}:{\text{ there is a cover of }}S{\text{ by balls with radii }}r_{i}>0{\Bigr \}}.}$

Размерность Хаусдорфа S определяется как

${\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}$

• Размеры упаковки
• Измерение Ассуада
• Локальное связанное измерение ^[33]
• Измерение степени: описывает фрактальную природу распределения степени графов. ^[34]

• Параболическая размерность Хаусдорфа

Оценка на основе реальных данных

Многие явления реального мира демонстрируют ограниченные или статистические фрактальные свойства и фрактальные размерности, которые были оценены по выборочным данным с использованием компьютерных методов фрактального анализа . Практически, измерения фрактальной размерности подвержены влиянию различных методологических проблем и чувствительны к числовому или экспериментальному шуму и ограничениям в объеме данных. Тем не менее, эта область быстро развивается, поскольку оцененные фрактальные размерности для статистически самоподобных явлений могут иметь множество практических приложений в различных областях, включая астрономию, ^[35] акустику, ^{[36] [37]} геологию и науки о Земле, ^[38] диагностическую визуализацию, ^{[39] [40] [41]} экологию, ^[42] электрохимические процессы, ^[43] анализ изображений, ^{[44] [45] [46] [47]} биологию и медицину, ^{[48] [49] [50]} нейронауку, ^{[51] [13]} сетевой анализ , физиологию, ^[12] физику, ^{[52] [53]} и нули дзета Римана. ^[54] Также было показано, что оценки фрактальной размерности коррелируют со сложностью Лемпеля-Зива в реальных наборах данных из психоакустики и нейронауки. ^{[55] [36]}

Альтернативой прямому измерению является рассмотрение математической модели, которая напоминает формирование реального фрактального объекта. В этом случае проверка может также быть сделана путем сравнения других, нежели фрактальные свойства, подразумеваемые моделью, с измеренными данными. В коллоидной физике возникают системы, состоящие из частиц с различными фрактальными размерностями. Чтобы описать эти системы, удобно говорить о распределении фрактальных размерностей и, в конечном счете, об эволюции последних во времени: процессе, который управляется сложным взаимодействием между агрегацией и коалесценцией . ^[56]

Смотрите также

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа
• Лакунарность  – термин в геометрии и фрактальном анализе
• Фрактальная производная  – Обобщение производной на фракталы

Примечания

1. Смотрите графическое представление различных фрактальных размерностей.
2. См. Характеристики фракталов .

Ссылки

1. Фалконер, Кеннет (2003). Фрактальная геометрия . Wiley. стр. 308. ISBN 978-0-470-84862-3.
2. Саган, Ганс (1994). Кривые, заполняющие пространство . Springer-Verlag. стр. 156. ISBN 0-387-94265-3.
3. Вичек, Тамаш (1992). Явления фрактального роста . Всемирная научная. п. 10. ISBN 978-981-02-0668-0.
4. Mandelbrot, B. (1967). «Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность». Science . 156 (3775): 636–8. Bibcode :1967Sci...156..636M. doi :10.1126/science.156.3775.636. PMID  17837158. S2CID  15662830. Архивировано из оригинала 2021-10-19 . Получено 2020-11-12 .
5. Бенуа Б. Мандельброт (1983). Фрактальная геометрия природы. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5. Получено 1 февраля 2012 г.
6. Эдгар, Джеральд (2007). Мера, топология и фрактальная геометрия. Springer. стр. 7. ISBN 978-0-387-74749-1.
7. Харт, Дэвид (2001). Мультифракталы . Чапман и Холл. стр. 3–4. ISBN 978-1-58488-154-4.
8. Balay-Karperien, Audrey (2004). Определение морфологии микроглии: форма, функция и фрактальная размерность. Университет Чарльза Стерта. стр. 86. Получено 9 июля 2013 г.
9. Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F., ред. (2005). Фракталы в биологии и медицине. Springer. ISBN 978-3-7643-7172-2. Получено 1 февраля 2012 г.
10. Чэнь, Яньгуан (2011). «Моделирование фрактальной структуры распределений по размеру городов с использованием корреляционных функций». PLOS ONE . ​​6 (9): e24791. arXiv : 1104.4682 . Bibcode :2011PLoSO...624791C. doi : 10.1371/journal.pone.0024791 . PMC 3176775 . PMID  21949753. 
11. "Приложения". Архивировано из оригинала 2007-10-12 . Получено 2007-10-21 .
12. Popescu, DP; Flueraru, C.; Mao, Y.; Chang, S.; Sowa, MG (2010). «Ослабление сигнала и фрактальный анализ с подсчетом полей изображений оптической когерентной томографии артериальной ткани». Biomedical Optics Express . 1 (1): 268–277. doi :10.1364/boe.1.000268. PMC 3005165. PMID  21258464 . 
13. King, RD; George, AT; Jeon, T.; Hynan, LS; Youn, TS; Kennedy, DN; Dickerson, B.; Инициатива по нейровизуализации болезни Альцгеймера (2009). «Характеристика атрофических изменений в коре головного мозга с использованием фрактально-размерного анализа». Brain Imaging and Behavior . 3 (2): 154–166. doi :10.1007/s11682-008-9057-9. PMC 2927230. PMID  20740072 . 
14. Питерс, Эдгар (1996). Хаос и порядок на рынках капитала: новый взгляд на циклы, цены и волатильность рынка . Wiley. ISBN 0-471-13938-6.
15. Эдгар, Джеральд, ред. (2004). Классика о фракталах . Westview Press. ISBN 978-0-8133-4153-8.
16. Albers; Alexanderson (2008). "Бенуа Мандельброт: Своими словами". Математические люди: профили и интервью . AK Peters. стр. 214. ISBN 978-1-56881-340-0.
17. Мандельброт, Бенуа (2004). Фракталы и хаос . Springer. стр. 38. ISBN 978-0-387-20158-0. Фрактальное множество — это множество, для которого фрактальная (Хаусдорфа-Безиковича) размерность строго превышает топологическую размерность.
18. Шарифи-Вианд, А.; Махджани, МГ; Джафариан, М. (2012). «Исследование аномальной диффузии и мультифрактальных размерностей в полипиррольной пленке». Журнал электроаналитической химии . 671 : 51–57. doi :10.1016/j.jelechem.2012.02.014.
19. Хельге фон Кох, «О непрерывной кривой без касательных, строящейся из элементарной геометрии» В Edgar 2004, стр. 25–46
20. Тан, Кан Озан; Коэн, Майкл А.; Экберг, Дуэйн Л.; Тейлор, Дж. Эндрю (2009). «Фрактальные свойства изменчивости периода человеческого сердца: физиологические и методологические последствия». Журнал физиологии . 587 (15): 3929–41. doi :10.1113/jphysiol.2009.169219. PMC 2746620. PMID  19528254 . 
21. Gordon, Nigel (2000). Введение во фрактальную геометрию. Duxford: Icon. стр. 71. ISBN 978-1-84046-123-7.
22. Trochet, Holly (2009). "История фрактальной геометрии". MacTutor History of Mathematics . Архивировано из оригинала 12 марта 2012 года.
23. Аппиньянези, Ричард; ред. (2006). Введение во фрактальную геометрию , стр. 28. Значок. ISBN 978-1840467-13-0 . 
24. Iannaccone, Khokha (1996). Фрактальная геометрия в биологических системах . CRC Press. ISBN 978-0-8493-7636-8.
25. Вичек, Тамаш (2001). Колебания и масштабирование в биологии . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850790-9.
26. Пфайфер, Питер (1988), «Фракталы в науке о поверхности: рассеяние и термодинамика адсорбированных пленок», в Vanselow, Ralf; Howe, Russell (ред.), Chemistry and Physics of Solid Surfaces VII , Springer Series in Surface Sciences, т. 10, Springer Berlin Heidelberg, стр. 283–305, doi :10.1007/978-3-642-73902-6_10, ISBN 9783642739040
27. Миланезе, Энрико; Бринк, Тобиас; Агабабаи, Рамин; Молинари, Жан-Франсуа (декабрь 2019 г.). «Возникновение самоаффинных поверхностей во время адгезионного износа». Nature Communications . 10 (1): 1116. Bibcode :2019NatCo..10.1116M. doi :10.1038/s41467-019-09127-8. ISSN  2041-1723. PMC 6408517 . PMID  30850605. 
28. Контактная жесткость многомасштабных поверхностей, в Международном журнале механических наук (2017), 131
29. Статическое трение на фрактальных интерфейсах, Tribology International (2016), т. 93
30. Чонгпу, Чжай; Дориан, Ханаор; Гвенаэль, Пруст; Исян, Гань (2017). «Зависимое от напряжения электрическое контактное сопротивление на фрактальных шероховатых поверхностях». Журнал инженерной механики . 143 (3): B4015001. doi :10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0000967.
31. Калвани, Пайам Раджаби; Джахангири, Али Реза; Шапури, Саманех; Сари, Амирхоссейн; Джалили, Юсеф Сейед (август 2019 г.). «Многомодовый АСМ-анализ тонких пленок оксида цинка, легированного алюминием, распыленных при различных температурах подложки для оптоэлектронных приложений». Сверхрешетки и микроструктуры . 132 : 106173. doi :10.1016/j.spmi.2019.106173. S2CID  198468676.
32. Хигучи, Т. (1988). «Подход к нерегулярным временным рядам на основе фрактальной теории». Physica D. 31 ( 2): 277–283. Bibcode :1988PhyD...31..277H. doi :10.1016/0167-2789(88)90081-4.
33. Jelinek, A.; Jelinek, HF; Leandro, JJ; Soares, JV; Cesar Jr, RM; Luckie, A. (2008). «Автоматизированное обнаружение пролиферативной ретинопатии в клинической практике». Клиническая офтальмология . 2 (1): 109–122. doi : 10.2147/OPTH.S1579 . PMC 2698675. PMID  19668394 . 
34. Ли, НЗ; Бритц, Т. (2024). «О масштабной свободе случайных цветных сетей подстановки». Труды Американского математического общества . 152 (4): 1377–1389. arXiv : 2109.14463 . doi : 10.1090/proc/16604.
35. Кайседо-Ортис, HE; Сантьяго-Кортес, Э.; Лопес-Бонилья, Дж.; Кастаньеда4, ХО (2015). «Фрактальное измерение и турбулентность в гигантских регионах HII». Физический журнал: серия конференций . 582 (1): 1–5. arXiv : 1501.04911 . Бибкод : 2015JPhCS.582a2049C. дои : 10.1088/1742-6596/582/1/012049 .{{cite journal}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
36. Бернс, Т.; Раджан, Р. (2019). «Математический подход к корреляции объективных спектрально-временных характеристик неязыковых звуков с их субъективным восприятием у людей». Frontiers in Neuroscience . 13 : 794. doi : 10.3389/fnins.2019.00794 . PMC 6685481. PMID  31417350 . 
37. Марагос, П.; Потамианос, А. (1999). «Фрактальные размеры звуков речи: Вычисление и применение для автоматического распознавания речи». Журнал Акустического общества Америки . 105 (3): 1925–32. Bibcode : 1999ASAJ..105.1925M. doi : 10.1121/1.426738. PMID  10089613.
38. Авшар, Элиф (01.09.2020). «Вклад теории фрактальной размерности в прогнозирование прочности на одноосное сжатие вулканической сварной бимрок». Бюллетень инженерной геологии и окружающей среды . 79 (7): 3605–3619. doi :10.1007/s10064-020-01778-y. ISSN  1435-9537. S2CID  214648440.
39. Ландини, Г.; Мюррей, ПИ; Миссон, ГП (1995). «Локальные связанные фрактальные измерения и анализ лакунарности 60-градусных флуоресцентных ангиограмм». Investigative Ophthalmology & Visual Science . 36 (13): 2749–2755. PMID  7499097.
40. Чэн, Цюмин (1997). «Мультифрактальное моделирование и анализ лакунарности». Математическая геология . 29 (7): 919–932. doi :10.1023/A:1022355723781. S2CID  118918429.
41. Сантьяго-Кортес, Э.; Мартинес Ледезма, JL (2016). «Фрактальное измерение сетчатки человека» (PDF) . Журнал Ciencia e Ingeniería . 8 : 59–65. eISSN  2539-066X. ISSN  2145-2628.
42. Wildhaber, Mark L.; Lamberson, Peter J.; Galat, David L. (2003-05-01). «Сравнение мер формы русла реки для оценки распределения бентосных рыб». North American Journal of Fisheries Management . 23 (2): 543–557. doi :10.1577/1548-8675(2003)023<0543:acomor>2.0.co;2. ISSN  1548-8675.
43. Эфтехари, А. (2004). «Фрактальная размерность электрохимических реакций». Журнал Электрохимического общества . 151 (9): E291–6. Bibcode : 2004JElS..151E.291E. doi : 10.1149/1.1773583.
44. Al-Kadi OS, Watson D. (2008). "Анализ текстуры агрессивных и неагрессивных изображений CE CT опухолей легких" (PDF) . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 55 (7): 1822–30. doi :10.1109/tbme.2008.919735. PMID  18595800. S2CID  14784161. Архивировано из оригинала (PDF) 2014-04-13 . Получено 2014-04-10 .
45. Пьер Сойль и Жан-Ф. Ривест (1996). «О достоверности измерений фрактальной размерности в анализе изображений» (PDF) . Журнал визуальной коммуникации и представления изображений . 7 (3): 217–229. doi :10.1006/jvci.1996.0020. ISSN  1047-3203. Архивировано из оригинала (PDF) 2011-07-20.
46. Толле, CR; МакДжанкин, TR; Горсич, DJ (2003). «Метод измерения фрактальной размерности на основе покрытия субоптимального минимального объема кластера». Труды IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 25 : 32–41. CiteSeerX 10.1.1.79.6978 . doi :10.1109/TPAMI.2003.1159944. 
47. Gorsich, DJ; Tolle, CR; Karlsen, RE; Gerhart, GR (1996). "Вейвлет-анализ и фрактальный анализ изображений наземных транспортных средств". В Unser, Michael A.; Aldroubi, Akram; Laine, Andrew F. (ред.). Wavelet Applications in Signal and Image Processing IV. Труды SPIE. Том 2825. С. 109–119. Bibcode : 1996SPIE.2825..109G. doi : 10.1117/12.255224. S2CID  121560110.
48. Лю, Цзин Ц.; Чжан, Лу Д.; Юэ, Гуан Х. (2003). «Фрактальная размерность человеческог о мозжечка, измеренная с помощью магнитно-резонансной томографии». Biophysical Journal . 85 (6): 4041–6. Bibcode :2003BpJ....85.4041L. doi :10.1016/S0006-3495(03)74817-6. PMC 1303704 . PMID  14645092. 
49. Смит, TG; Ланге, GD; Маркс, WB (1996). «Фрактальные методы и результаты в клеточной морфологии — измерения, лакунарность и мультифракталы». Журнал методов нейронауки . 69 (2): 123–136. doi :10.1016/S0165-0270(96)00080-5. PMID  8946315. S2CID  20175299.
50. Li, J.; Du, Q.; Sun, C. (2009). «Улучшенный метод подсчета ячеек для оценки фрактальной размерности изображения». Pattern Recognition . 42 (11): 2460–9. Bibcode : 2009PatRe..42.2460L. doi : 10.1016/j.patcog.2009.03.001.
51. Бернс, Т.; Раджан, Р. (2015). "Бернс и Раджан (2015) Объединение мер сложности данных ЭЭГ: умножение мер раскрывает ранее скрытую информацию. F1000Research. 4:137". F1000Research . 4 : 137. doi : 10.12688/f1000research.6590.1 . PMC 4648221 . PMID  26594331. 
52. Dubuc, B.; Quiniou, J.; Roques-Carmes, C.; Tricot, C.; Zucker, S. (1989). «Оценка фрактальной размерности профилей». Physical Review A. 39 ( 3): 1500–12. Bibcode : 1989PhRvA..39.1500D. doi : 10.1103/PhysRevA.39.1500. PMID  9901387.
53. Робертс, А.; Кронин, А. (1996). «Непредвзятая оценка мультифрактальных размерностей конечных наборов данных». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 233 (3–4): 867–878. arXiv : chao-dyn/9601019 . Bibcode :1996PhyA..233..867R. doi :10.1016/S0378-4371(96)00165-3. S2CID  14388392.
54. Шанкер, О. (2006). «Случайные матрицы, обобщенные дзета-функции и самоподобие нулевых распределений». Журнал физики A: Mathematical and General . 39 (45): 13983–97. Bibcode : 2006JPhA...3913983S. doi : 10.1088/0305-4470/39/45/008.
55. Бернс, Т.; Раджан, Р. (2015). "Бернс и Раджан (2015) Объединение мер сложности данных ЭЭГ: умножение мер раскрывает ранее скрытую информацию. F1000Research. 4:137". F1000Research . 4 : 137. doi : 10.12688/f1000research.6590.1 . PMC 4648221 . PMID  26594331. 
56. Кривен, И.; Лаццари, С.; Сторти, Г. (2014). «Моделирование баланса популяции агрегации и коалесценции в коллоидных системах». Macromolecular Theory and Simulations . 23 (3): 170–181. doi :10.1002/mats.201300140.

Дальнейшее чтение

• Мандельброт, Бенуа Б.; Хадсон, Ричард Л. (2010). (Не)правильное поведение рынков: фрактальный взгляд на риск, крах и вознаграждение. Profile Books. ISBN 978-1-84765-155-6.

Внешние ссылки

• Программный продукт Benoit компании TruSoft для фрактального анализа вычисляет фрактальные размерности и показатели Херста.
• Java-апплет для вычисления фрактальных размерностей
• Введение во фрактальный анализ
• Боули, Роджер (2009). «Фрактальное измерение». Шестьдесят символов . Брэди Харан для Ноттингемского университета .
• «Фракталы обычно не самоподобны». 3Blue1Brown .