stringtranslate.com

ссылка Хопфа

Соотношение Скейна для зацепления Хопфа.

В математической теории узлов связь Хопфа является простейшей нетривиальной связью с более чем одним компонентом. [1] Она состоит из двух окружностей , соединенных вместе ровно один раз, [2] и названа в честь Хайнца Хопфа . [3]

Геометрическая реализация

Конкретная модель состоит из двух единичных окружностей в перпендикулярных плоскостях, каждая из которых проходит через центр другой. [2] Эта модель минимизирует длину каната связи, и до 2002 года связь Хопфа была единственной связью, длина каната которой была известна. [4] Выпуклая оболочка этих двух окружностей образует форму, называемую олоидом . [5]

Характеристики

В зависимости от относительной ориентации двух компонентов число связей Хопфа составляет ±1. [6]

Зацепление Хопфа представляет собой (2,2) -торическое зацепление [7] с косой-словом [8]

Дополнение узла зацепления Хопфа — это R  ×  S 1  ×  S 1 , цилиндр над тором . [9] Это пространство имеет локально евклидову геометрию , поэтому зацепление Хопфа не является гиперболическим зацеплением . Группа узлов зацепления Хопфа ( фундаментальная группа его дополнения) — это Z 2 ( свободная абелева группа на двух образующих), отличающая его от несвязанной пары петель, которая имеет свободную группу на двух образующих в качестве своей группы. [10]

Связь Хопфа не является трехцветной : невозможно раскрасить нити ее диаграммы тремя цветами, так чтобы использовались по крайней мере два цвета и чтобы в каждом пересечении присутствовал один или три цвета. Каждая связь имеет только одну нить, и если обе нити имеют одинаковый цвет, то используется только один цвет, в то время как если им даны разные цвета, то в пересечениях будут присутствовать два цвета.

пучок Хопфа

Расслоение Хопфа — это непрерывная функция из 3-сферы (трехмерной поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве) в более знакомую 2-сферу , со свойством, что прообраз каждой точки на 2-сфере — это окружность. Таким образом, эти образы разлагают 3-сферу на непрерывное семейство окружностей, и каждые две различные окружности образуют зацепление Хопфа. Это было мотивацией Хопфа для изучения зацепления Хопфа: поскольку каждые два волокна связаны, расслоение Хопфа является нетривиальным расслоением . Этот пример положил начало изучению гомотопических групп сфер . [11]

Биология

Связь Хопфа также присутствует в некоторых белках. [12] [13] Она состоит из двух ковалентных петель, образованных частями белкового остова , закрытыми дисульфидными связями . Топология связи Хопфа высококонсервативна в белках и повышает их стабильность. [12]

История

Герб Бузан-ха

Связь Хопфа названа в честь тополога Хайнца Хопфа , который рассматривал ее в 1931 году как часть своего исследования расслоения Хопфа . [14] Однако в математике она была известна Карлу Фридриху Гауссу еще до работ Хопфа. [3] Она также долгое время использовалась за пределами математики, например, как герб Бузан-ха , японской буддийской секты, основанной в 16 веке.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Адамс, Колин Конрад (2004), Книга узлов: Элементарное введение в математическую теорию узлов, Американское математическое общество, стр. 151, ISBN 9780821836781.
  2. ^ ab Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. (1998), "Об искажении и толщине узлов", Топология и геометрия в науке о полимерах (Миннеаполис, MN, 1996) , IMA Vol. Math. Appl., т. 103, Нью-Йорк: Springer, стр. 67–78, doi :10.1007/978-1-4612-1712-1_7, MR  1655037. См. в частности стр. 77.
  3. ^ ab Прасолов, В.В.; Сосинский, АБ (1997), Узлы, зацепления, косы и 3-многообразия: введение в новые инварианты в топологии малых размерностей, Переводы математических монографий, т. 154, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 6, ISBN 0-8218-0588-6, г-н  1414898.
  4. ^ Кантарелла, Джейсон; Каснер, Роберт Б.; Салливан, Джон М. (2002), «О минимальной длине веревки узлов и связей», Inventiones Mathematicae , 150 (2): 257–286, arXiv : math/0103224 , Bibcode : 2002InMat.150..257C, doi : 10.1007/s00222-002-0234-y, MR  1933586, S2CID  730891.
  5. ^ Дирнбёк, Ганс; Штахель, Хельмут (1997), «Развитие олоида» (PDF) , Журнал геометрии и графики , 1 (2): 105–118, MR  1622664.
  6. ^ Адамс (2004), стр. 21.
  7. ^ Кауфман, Луис Х. (1987), Об узлах, Annals of Mathematics Studies, т. 115, Princeton University Press, стр. 373, ISBN 9780691084350.
  8. ^ Адамс (2004), Упражнение 5.22, стр. 133.
  9. ^ Тураев, Владимир Г. (2010), Квантовые инварианты узлов и 3-многообразий, Исследования Де Грюйтера по математике, т. 18, Вальтер де Грюйтер, стр. 194, ISBN 9783110221831.
  10. ^ Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, стр. 24, ISBN 9787302105886.
  11. ^ Шастри, Анант Р. (2013), Базовая алгебраическая топология, CRC Press, стр. 368, ISBN 9781466562431.
  12. ^ ab Dabrowski-Tumanski, Pawel; Sulkowska, Joanna I. (2017-03-28), "Топологические узлы и связи в белках", Труды Национальной академии наук , 114 (13): 3415–3420, Bibcode : 2017PNAS..114.3415D, doi : 10.1073/pnas.1615862114 , ISSN  0027-8424, PMC 5380043 , PMID  28280100 
  13. ^ Домбровски-Тумански, Павел; Ярмолинска, Александра И.; Ниемиска, Ванда; Роудон, Эрик Дж.; Миллетт, Кеннет К.; Сулковска, Джоанна И. (2017-01-04), "LinkProt: база данных, собирающая информацию о биологических связях", Nucleic Acids Research , 45 (D1): D243–D249, doi :10.1093/nar/gkw976, ISSN  0305-1048, PMC 5210653 , PMID  27794552 
  14. ^ Хопф, Хайнц (1931), «Über die Abbildungen der drei Dimensionen Sphäre auf die Kugelfläche», Mathematische Annalen , 104 (1), Берлин: Springer : 637–665, doi : 10.1007/BF01457962, S2CID  123533891.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме Хопф .