В математической динамике дискретное время и непрерывное время — это две альтернативные структуры, в которых моделируются переменные , меняющиеся с течением времени.
Дискретное время рассматривает значения переменных как происходящие в отдельных, отдельных «моментах времени» или, что эквивалентно, как неизменные на протяжении каждой ненулевой области времени («периода времени») — то есть время рассматривается как дискретная переменная . Таким образом, не временная переменная переходит от одного значения к другому по мере того, как время переходит от одного периода времени к другому. Такое представление времени соответствует цифровым часам, которые некоторое время показывают фиксированное показание 10:37, а затем переходят к новому фиксированному показанию 10:38 и т. д. В этой структуре каждая интересующая переменная измеряется один раз в каждый период времени. Количество измерений между любыми двумя периодами времени конечно. Измерения обычно производятся при последовательных целочисленных значениях переменной «время».
Дискретный сигнал или дискретно -временной сигнал — это временной ряд, состоящий из последовательности величин.
В отличие от непрерывного сигнала, дискретный сигнал не является функцией непрерывного аргумента; однако он может быть получен путем выборки из непрерывного сигнала. Когда дискретный сигнал получается путем выборки последовательности в равномерно распределенные моменты времени, он имеет связанную с ним частоту выборки .
Дискретные сигналы могут иметь разное происхождение, но обычно их можно отнести к одной из двух групп: [1]
Напротив, непрерывное время рассматривает переменные как имеющие определенное значение только в течение бесконечно короткого промежутка времени. Между любыми двумя точками времени существует бесконечное количество других точек времени. Переменная «время» охватывает всю действительную числовую прямую или, в зависимости от контекста, некоторое ее подмножество, например неотрицательные действительные числа. Таким образом, время рассматривается как непрерывная переменная .
Непрерывный сигнал или сигнал с непрерывным временем — это переменная величина ( сигнал ), область определения которой, часто являющаяся временем, является континуумом ( например, связным интервалом действительных чисел ). То есть область определения функции — это несчетное множество . Сама функция не обязательно должна быть непрерывной . Напротив, дискретный сигнал имеет счетную область определения , как натуральные числа .
Сигнал непрерывной амплитуды и времени известен как непрерывный во времени сигнал или аналоговый сигнал . Он ( сигнал ) будет иметь некоторое значение в каждый момент времени. Электрические сигналы, полученные пропорционально физическим величинам, таким как температура, давление, звук и т. д., обычно являются непрерывными сигналами. Другими примерами непрерывных сигналов являются синусоида, косинусоида, треугольная волна и т. д.
Сигнал определяется в области, которая может быть или не быть конечной, и существует функциональное отображение из области в значение сигнала. Непрерывность переменной времени, в связи с законом плотности действительных чисел , означает, что значение сигнала может быть найдено в любой произвольный момент времени.
Типичным примером сигнала бесконечной длительности является:
Аналогом указанного выше сигнала с конечной длительностью может быть:
Значение сигнала конечной (или бесконечной) длительности может быть или не быть конечным. Например,
является сигналом конечной длительности, но принимает бесконечное значение для .
Во многих дисциплинах принято считать, что непрерывный сигнал всегда должен иметь конечное значение, что имеет больше смысла в случае физических сигналов.
Для некоторых целей бесконечные сингулярности приемлемы, если сигнал интегрируем на любом конечном интервале (например, сигнал не интегрируем на бесконечности, но интегрируем).
Любой аналоговый сигнал по своей природе непрерывен. Дискретные по времени сигналы , используемые в цифровой обработке сигналов , могут быть получены путем дискретизации и квантования непрерывных сигналов.
Непрерывный сигнал может быть также определен по независимой переменной, отличной от времени. Другой очень распространенной независимой переменной является пространство, и она особенно полезна при обработке изображений , где используются два пространственных измерения.
Дискретное время часто используется, когда речь идет об эмпирических измерениях , поскольку обычно можно измерять переменные только последовательно. Например, хотя экономическая активность фактически происходит непрерывно, и нет момента, когда экономика полностью находится в состоянии паузы, экономическую активность можно измерять только дискретно. По этой причине опубликованные данные, например, о валовом внутреннем продукте, будут показывать последовательность квартальных значений.
Когда кто-то пытается эмпирически объяснить такие переменные с точки зрения других переменных и/или их собственных предшествующих значений, он использует методы временных рядов или регрессии , в которых переменные индексируются с помощью нижнего индекса, указывающего на период времени, в котором произошло наблюдение. Например, y t может относиться к значению дохода, наблюдаемому в неопределенный период времени t , y 3 к значению дохода, наблюдаемому в третий период времени и т. д.
Более того, когда исследователь пытается разработать теорию для объяснения того, что наблюдается в дискретном времени, часто сама теория выражается в дискретном времени, чтобы облегчить разработку временного ряда или регрессионной модели.
С другой стороны, часто математически более податливо строить теоретические модели в непрерывном времени, и часто в таких областях, как физика, точное описание требует использования непрерывного времени. В контексте непрерывного времени значение переменной y в неопределенный момент времени обозначается как y ( t ) или, когда смысл ясен, просто как y .
Дискретное время использует дифференциальные уравнения , также известные как рекуррентные соотношения. Пример, известный как логистическая карта или логистическое уравнение, это
в котором r — параметр в диапазоне от 2 до 4 включительно, а x — переменная в диапазоне от 0 до 1 включительно, значение которой в периоде t нелинейно влияет на ее значение в следующем периоде, t +1. Например, если и , то при t =1 имеем , а при t =2 имеем .
Другой пример моделирует корректировку цены P в ответ на ненулевой избыточный спрос на продукт как
где — положительный параметр скорости адаптации, который меньше или равен 1, а — функция избыточного спроса .
Непрерывное время использует дифференциальные уравнения . Например, корректировка цены P в ответ на ненулевой избыточный спрос на продукт может быть смоделирована в непрерывном времени как
где левая часть — первая производная цены по времени (то есть скорость изменения цены), — параметр скорости корректировки, который может быть любым положительным конечным числом, и — снова функция избыточного спроса.
Переменная, измеренная в дискретном времени, может быть изображена как ступенчатая функция , в которой каждому периоду времени дается область на горизонтальной оси той же длины, что и любому другому периоду времени, а измеряемая переменная отображается как высота, которая остается постоянной на протяжении всей области периода времени. В этом графическом методе график выглядит как последовательность горизонтальных шагов. В качестве альтернативы каждый период времени можно рассматривать как отдельную точку во времени, обычно при целочисленном значении на горизонтальной оси, а измеряемая переменная отображается как высота над этой точкой оси времени. В этом методе график выглядит как набор точек.
Значения переменной, измеренные в непрерывном времени, изображаются в виде непрерывной функции , поскольку областью времени считается вся вещественная ось или, по крайней мере, некоторая ее связанная часть.
![{\displaystyle f(t)=\sin(t),\quad t\in [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f5a62642ad4f66510bdde0918bab7caf79c64e6)
![{\displaystyle f(t)={\frac {1}{t}},\quad t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aeff78fa14fae46a25060d2a74afc98bae569d9)
