Дискретное пространство

Тип топологического пространства

В топологии дискретное пространство является особенно простым примером топологического пространства или подобной структуры, в которой точки образуют прерывистую последовательность , то есть они изолированы друг от друга в определенном смысле. Дискретная топология является наилучшей топологией, которая может быть задана на множестве. Каждое подмножество открыто в дискретной топологии, так что, в частности, каждое одноэлементное подмножество является открытым множеством в дискретной топологии.

Определения

Дан набор : ${\displaystyle X}$

• the Дискретная топология наопределяется тем, что каждоеподмножествоявляетсяоткрытым(и, следовательно, такжезамкнутым), иявляется ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$дискретное топологическое пространство , если оно снабжено своей дискретной топологией;
• the Дискретная однородность наопределяется тем, что каждоенадмножестводиагоналивявляетсяокружением, иявляется ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X}$дискретное равномерное пространство, если оно снабжено своей дискретной равномерностью.
• the Дискретная метрика наопределяется по формуледля любогоВ этом случаеназывается ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \rho (x,y)={\begin{cases}1&{\text{if}}\ x\neq y,\\0&{\text{if}}\ x=y\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x,y\in X.}$ ${\displaystyle (X,\rho )}$дискретное метрическое пространство илипространство изолированных точек .
• адискретное подпространство некоторого заданного топологического пространстваотносится ктопологическому подпространству(подмножествувместе стопологией подпространства, котораяиндуцирует его), топология которого равна дискретной топологии. Например, еслиимеет свою обычнуюевклидову топологию, то(снабженное топологией подпространства) является дискретным подпространством,ноне является. ${\displaystyle (Y,\tau )}$ ${\displaystyle (Y,\tau )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (Y,\tau )}$ ${\displaystyle Y:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle S=\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\cup \{0\}}$
• множество является дискретным в метрическом пространстве для , если для каждого существует некоторое (зависящее от ) такое, что для всех ; такое множество состоит из изолированных точек . Множество является равномерно дискретным в метрическом пространстве для , если существует такое , что для любых двух различных ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d),}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle x\in S,}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle d(x,y)>\delta }$ ${\displaystyle y\in S\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d),}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle x,y\in S,d(x,y)>\varepsilon .}$

Метрическое пространство называется равномерно дискретным, если существует ${\displaystyle (E,d)}$радиус упаковки такой, что для любогоиз них имеет местолибо^[1] Топология, лежащая в основе метрического пространства, может быть дискретной, при этом метрика не будет равномерно дискретной: например, обычная метрика на множестве ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x,y\in E,}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle d(x,y)>r.}$ ${\displaystyle \left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.}$

Доказательство того, что дискретное пространство не обязательно равномерно дискретно

Рассмотрим это множество, используя обычную метрику на действительных числах. Тогда, является дискретным пространством, поскольку для каждой точки мы можем окружить ее открытым интервалом , где Пересечение , таким образом, тривиально является синглетоном Поскольку пересечение открытого множества действительных чисел и открыто для индуцированной топологии, следует, что является открытым, поэтому синглетоны открыты и является дискретным пространством. ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{n}=2^{-n}\in X,}$ ${\displaystyle (x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}\left(x_{n}-x_{n+1}\right)=2^{-(n+2)}.}$ ${\displaystyle \left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle X}$

Однако не может быть равномерно дискретным. Чтобы понять, почему, предположим, что существует такое , что всякий раз, когда Достаточно показать, что есть по крайней мере две точки и , которые находятся ближе друг к другу, чем Поскольку расстояние между соседними точками и равно , нам нужно найти , которое удовлетворяет этому неравенству: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle d(x,y)>r}$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n+1}}$ ${\displaystyle 2^{-(n+1)},}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}2^{-(n+1)}&<r\\1&<2^{n+1}r\\r^{-1}&<2^{n+1}\\\log _{2}\left(r^{-1}\right)&<n+1\\-\log _{2}(r)&<n+1\\-1-\log _{2}(r)&<n\end{aligned}}}$$

Поскольку всегда существует большее, чем любое заданное действительное число, то из этого следует, что всегда найдутся по крайней мере две точки, которые находятся ближе друг к другу, чем любое положительное число, поэтому не являются равномерно дискретными. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

Базовая однородность на дискретном метрическом пространстве — это дискретная однородность, а базовая топология на дискретном равномерном пространстве — это дискретная топология. Таким образом, различные понятия дискретного пространства совместимы друг с другом. С другой стороны, базовая топология недискретного равномерного или метрического пространства может быть дискретной; примером является метрическое пространство (с метрикой, унаследованной от действительной прямой и заданной как ). Это не дискретная метрика; также это пространство не является полным и, следовательно, не является дискретным как равномерное пространство. Тем не менее, оно является дискретным как топологическое пространство. Мы говорим, что является топологически дискретным , но не равномерно дискретным или метрически дискретным . ${\displaystyle X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle d(x,y)=\left|x-y\right|}$ ${\displaystyle X}$

Кроме того:

• Топологическая размерность дискретного пространства равна 0.
• Топологическое пространство дискретно тогда и только тогда, когда его синглтоны открыты, что имеет место тогда и только тогда, когда оно не содержит точек накопления .
• Синглтоны образуют основу дискретной топологии.
• Равномерное пространство дискретно тогда и только тогда, когда диагональ является окружением . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$
• Каждое дискретное топологическое пространство удовлетворяет каждой из аксиом разделимости ; в частности, каждое дискретное пространство является хаусдорфовым , то есть разделимым.
• Дискретное пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно .
• Каждое дискретное равномерное или метрическое пространство является полным .
• Объединяя два приведенных выше факта, каждое дискретное равномерное или метрическое пространство полностью ограничено тогда и только тогда, когда оно конечно.
• Каждое дискретное метрическое пространство ограничено .
• Каждое дискретное пространство является счетным по первой арифметике ; более того, оно является счетным по второй арифметике тогда и только тогда, когда оно счетно .
• Каждое дискретное пространство полностью разобщено .
• Каждое непустое дискретное пространство является второй категорией .
• Любые два дискретных пространства с одинаковой мощностью гомеоморфны .
• Каждое дискретное пространство метризуемо (дискретной метрикой).
• Конечное пространство метризуемо только в том случае, если оно дискретно.
• Если — топологическое пространство и — множество, несущее дискретную топологию, то равномерно покрыто (проекционное отображение — искомое покрытие) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times Y}$
• Топология подпространства целых чисел как подпространства действительной прямой — это дискретная топология.
• Дискретное пространство отделимо тогда и только тогда, когда оно счетно.
• Любое топологическое подпространство (с его обычной евклидовой топологией ), которое является дискретным, обязательно счетно . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Любая функция из дискретного топологического пространства в другое топологическое пространство является непрерывной , а любая функция из дискретного равномерного пространства в другое равномерное пространство является равномерно непрерывной . То есть дискретное пространство свободно на множестве в категории топологических пространств и непрерывных отображений или в категории равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений. Эти факты являются примерами гораздо более широкого явления, в котором дискретные структуры обычно свободны на множествах. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

С метрическими пространствами все сложнее, потому что существует несколько категорий метрических пространств, в зависимости от того, что выбрано для морфизмов . Конечно, дискретное метрическое пространство свободно, когда все морфизмы являются равномерно непрерывными отображениями или всеми непрерывными отображениями, но это ничего интересного не говорит о метрической структуре , только о равномерной или топологической структуре. Категории, более релевантные для метрической структуры, можно найти, ограничив морфизмы липшицевыми отображениями или короткими отображениями ; однако эти категории не имеют свободных объектов (более чем на одном элементе). Однако дискретное метрическое пространство свободно в категории ограниченных метрических пространств и липшицевых отображений, и оно свободно в категории метрических пространств, ограниченных 1, и коротких отображений. То есть любая функция из дискретного метрического пространства в другое ограниченное метрическое пространство является липшицевой, а любая функция из дискретного метрического пространства в другое метрическое пространство, ограниченное 1, является короткой.

В другом направлении функция из топологического пространства в дискретное пространство непрерывна тогда и только тогда, когда она локально постоянна в том смысле, что каждая точка в имеет окрестность , в которой постоянна. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Каждый ультрафильтр на непустом множестве может быть связан с топологией на со свойством, что каждое непустое собственное подмножество из является либо открытым подмножеством , либо замкнутым подмножеством , но никогда обоими сразу. Другими словами, каждое подмножество является открытым или замкнутым, но (в отличие от дискретной топологии) единственными подмножествами, которые являются как открытыми, так и замкнутыми (т.е. clopen ), являются и . Для сравнения, каждое подмножество из является открытым и замкнутым в дискретной топологии. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ={\mathcal {U}}\cup \left\{\varnothing \right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Примеры и использование

Дискретная структура часто используется как «структура по умолчанию» на множестве, которое не несет никакой другой естественной топологии, однородности или метрики; дискретные структуры часто могут использоваться как «экстремальные» примеры для проверки конкретных предположений. Например, любую группу можно рассматривать как топологическую группу, придав ей дискретную топологию, подразумевая, что теоремы о топологических группах применимы ко всем группам. Действительно, аналитики могут называть обычные, нетопологические группы, изучаемые алгебраистами, « дискретными группами ». В некоторых случаях это может быть полезно применено, например, в сочетании с двойственностью Понтрягина . 0-мерное многообразие (или дифференцируемое или аналитическое многообразие) есть не что иное, как дискретное и счетное топологическое пространство (несчетное дискретное пространство не является счетно-второстепенным). Поэтому мы можем рассматривать любую дискретную счетную группу как 0-мерную группу Ли .

Произведение счетно бесконечных копий дискретного пространства натуральных чисел гомеоморфно пространству иррациональных чисел , причем гомеоморфизм задается расширением непрерывной дроби . Произведение счетно бесконечных копий дискретного пространства гомеоморфно множеству Кантора ; и фактически равномерно гомеоморфно множеству Кантора, если мы используем равномерность произведения на произведении. Такой гомеоморфизм задается с помощью использования тернарной записи чисел. (См. Канторово пространство .) Каждое волокно локально инъективной функции обязательно является дискретным подпространством своей области определения . ${\displaystyle \{0,1\}}$

В основах математики изучение свойств компактности произведений занимает центральное место в топологическом подходе к лемме об ультрафильтре (эквивалентно теореме о простом булевом идеале ), которая является слабой формой аксиомы выбора . ${\displaystyle \{0,1\}}$

Недискретные пространства

В некотором смысле, противоположностью дискретной топологии является тривиальная топология (также называемая недискретной топологией ), которая имеет наименьшее количество возможных открытых множеств (только пустое множество и само пространство). Там, где дискретная топология является начальной или свободной, недискретная топология является конечной или сосвободной : каждая функция из топологического пространства в недискретное пространство является непрерывной и т. д.

Смотрите также

• Комплект цилиндров
• Список топологий
• Геометрия такси

Ссылки

1. Pleasants, Peter AB (2000). "Дизайнерские квазикристаллы: наборы Cut-and-project с заданными свойствами". В Baake, Michael (ред.). Направления в математических квазикристаллах . Серия монографий CRM. Том 13. Providence, RI: Американское математическое общество . стр. 95–141. ISBN 0-8218-2629-8. Збл  0982.52018.
2. Вилански 2008, стр. 35.

• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1978). Контрпримеры в топологии (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 3-540-90312-7. MR  0507446. Zbl  0386.54001.
• Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC  227923899.