Поле смещения (механика)

Назначение векторов смещения для всех точек региона

В механике поле смещения — это назначение векторов смещения для всех точек в области или теле, которые смещаются из одного состояния в другое. ^{[1] [2]} Вектор смещения определяет положение точки или частицы относительно начала координат или предыдущего положения. Например, поле смещения может использоваться для описания эффектов деформации на твердом теле.

Формулировка

Прежде чем рассматривать перемещение, необходимо определить состояние до деформации. Это состояние, в котором координаты всех точек известны и описываются функцией: где $${\displaystyle {\vec {R}}_{0}:\Omega \to P}$$

• ${\displaystyle {\vec {R}}_{0}}$это вектор размещения
• ${\displaystyle \Omega }$все точки тела
• ${\displaystyle P}$все точки пространства, в которых находится тело

Чаще всего это состояние организма, при котором не действуют никакие силы.

Тогда при любом другом состоянии этого тела, в котором координаты всех его точек описываются как поле перемещений, есть разность двух состояний тела: где — поле перемещений, которое для каждой точки тела задает вектор перемещений . ${\displaystyle {\vec {R}}_{1}}$ $${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {R}}_{1}-{\vec {R}}_{0}}$$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$

Разложение

Рисунок 1. Движение сплошного тела.

Смещение тела имеет две составляющие: смещение твердого тела и деформацию.

• Перемещение твердого тела заключается в одновременном перемещении и вращении тела без изменения его формы или размера.
• Деформация подразумевает изменение формы и/или размера тела от исходной или недеформированной конфигурации до текущей или деформированной конфигурации (рисунок 1). ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Изменение конфигурации сплошного тела можно описать полем смещения. Поле смещения — это векторное поле всех векторов смещения для всех частиц тела, связывающее деформированную конфигурацию с недеформированной. Расстояние между любыми двумя частицами изменяется тогда и только тогда, когда произошла деформация. Если смещение происходит без деформации, то это смещение твердого тела.

Тензор градиента смещения

Два типа тензора градиента смещения могут быть определены в соответствии с лагранжевой и эйлеровой спецификациями. Смещение частиц, индексированное переменной i, может быть выражено следующим образом. Вектор, соединяющий положения частицы в недеформированной конфигурации и деформированной конфигурации, называется вектором смещения , , обозначаемым ниже или . ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}-P_{i}}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$

Материальные координаты (Лагранжево описание)

Используя вместо и вместо , оба из которых являются векторами из начала системы координат в каждую соответствующую точку, мы получаем лагранжево описание вектора смещения: где — ортонормальные единичные векторы , определяющие основу пространственной ( лабораторной ) системы координат. ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle p_{i}\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

Выраженное в терминах материальных координат, т.е. как функция , поле смещения имеет вид: где — вектор смещения, представляющий собой поступательное движение твердого тела. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$$ ${\displaystyle \mathbf {b} (t)}$

Частная производная вектора смещения по материальным координатам дает тензор градиента смещения материала . Таким образом, имеем, где — тензор градиента деформации материала , а — поворот. ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!}$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {R} =\mathbf {F} -\mathbf {R} \qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\alpha _{iK}=F_{iK}-\alpha _{iK}}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Пространственные координаты (Эйлерово описание)

В эйлеровом описании вектор, простирающийся от частицы в недеформированной конфигурации до ее местоположения в деформированной конфигурации, называется вектором смещения : где — единичные векторы, определяющие основу материальной (тело-система координат). ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{i}}$

Выраженное в терминах пространственных координат, т.е. как функция , поле смещения имеет вид: ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ $${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$

Пространственная производная , т. е. частная производная вектора смещения по пространственным координатам, дает тензор градиента пространственного смещения . Таким образом, имеем, где - тензор градиента пространственной деформации . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!}$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} =\mathbf {R} ^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} =\mathbf {R} ^{T}-\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-F_{Jk}^{-1}\,,}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {H} }$

Связь между материальной и пространственной системами координат

${\displaystyle \alpha _{Ji}}$являются направляющими косинусами между материальной и пространственной системами координат с единичными векторами и , соответственно. Таким образом, ${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$$

Связь между и тогда определяется как ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle U_{J}}$ $${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$$

Зная, что тогда $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$$ $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$$

Объединение систем координат деформированных и недеформированных конфигураций

Обычно системы координат для деформированной и недеформированной конфигураций накладываются друг на друга, что приводит к , а направляющие косинусы становятся дельтами Кронекера , т.е. ${\displaystyle \mathbf {b} =0\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$$

Таким образом, в материальных (недеформированных) координатах смещение можно выразить как: $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$$

А в пространственных (деформированных) координатах смещение можно выразить как: $${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$

Смотрите также

• Стресс
• Напряжение

Ссылки

1. "Механика сплошной среды - Кинематика". Инженерная школа . Университет Брауна . Получено 25 июля 2018 г.
2. "2.080 Лекция 3: Концепция стресса, обобщенных стрессов и равновесия" (PDF) . MIT OpenCourseWare . Получено 25.07.2018 .