Распределенная задержка

В статистике и эконометрике модель распределенного лага — это модель для данных временного ряда , в которой уравнение регрессии используется для прогнозирования текущих значений зависимой переменной на основе как текущих значений объясняющей переменной , так и запаздывающих (прошлый период) значений этой объясняющей переменной. ^{[1] [2]}

Начальной точкой для модели распределенного лага является предполагаемая структура вида

${\displaystyle y_{t}=a+w_{0}x_{t}+w_{1}x_{t-1}+w_{2}x_{t-2}+...+{\text{error term}}}$

или форма

${\displaystyle y_{t}=a+w_{0}x_{t}+w_{1}x_{t-1}+w_{2}x_{t-2}+...+w_{n}x_{t-n}+{\text{error term}},}$

где y _t — значение в период времени t зависимой переменной y , a — свободный член, который необходимо оценить, а w _i называется весом лага (также подлежащим оценке), накладываемым на значение i периодов ранее объясняющей переменной x . В первом уравнении предполагается, что зависимая переменная подвержена влиянию значений независимой переменной произвольно далеко в прошлом, поэтому число весов лага бесконечно, и модель называется моделью с бесконечным распределенным лагом . В альтернативном, втором, уравнении имеется только конечное число весов лага, что указывает на предположение о том, что существует максимальный лаг, за пределами которого значения независимой переменной не влияют на зависимую переменную; модель, основанная на этом предположении, называется моделью с конечным распределенным лагом .

В модели с бесконечным распределенным лагом необходимо оценить бесконечное число весов лагов; очевидно, что это можно сделать, только если предположить некоторую структуру для связи между различными весами лагов, причем вся их бесконечность может быть выражена в терминах конечного числа предполагаемых базовых параметров. В модели с конечным распределенным лагом параметры могут быть напрямую оценены обычными наименьшими квадратами (предполагая, что число точек данных существенно превышает число весов лагов); тем не менее, такая оценка может дать очень неточные результаты из-за крайней мультиколлинеарности среди различных лаговых значений независимой переменной, поэтому снова может потребоваться предположить некоторую структуру для связи между различными весами лагов.

Концепция моделей с распределенным лагом легко обобщается на контекст более чем одной правой объясняющей переменной.

Неструктурированная оценка

Самый простой способ оценки параметров, связанных с распределенными лагами, — это обычные наименьшие квадраты , предполагающие фиксированный максимальный лаг , предполагающие независимые и одинаково распределенные ошибки и не налагающие никакой структуры на взаимосвязь коэффициентов лаговых объясняющих факторов друг с другом. Однако часто возникает мультиколлинеарность среди лаговых объясняющих факторов, что приводит к высокой дисперсии оценок коэффициентов. ${\displaystyle p}$

Структурированная оценка

Структурированные модели распределенных лагов бывают двух типов: конечные и бесконечные. Бесконечные распределенные лаги позволяют значению независимой переменной в определенное время влиять на зависимую переменную бесконечно далеко в будущем, или, другими словами, они позволяют текущему значению зависимой переменной подвергаться влиянию значений независимой переменной, которые произошли бесконечно давно; но за пределами некоторой длины лага эффекты сходят на нет. Конечные распределенные лаги позволяют независимой переменной в определенное время влиять на зависимую переменную только в течение конечного числа периодов.

Конечные распределенные лаги

Наиболее важной структурированной конечной распределенной моделью лага является модель лага Алмона . ^[3] Эта модель позволяет данным определять форму структуры лага, но исследователь должен указать максимальную длину лага; неправильно указанная максимальная длина лага может исказить форму оцененной структуры лага, а также кумулятивный эффект независимой переменной. Лаг Алмона предполагает, что k + 1 вес лага связаны с n + 1 линейно оцениваемыми базовыми параметрами ( n < k ) a _j согласно

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=0}^{n}a_{j}i^{j}}$

для ${\displaystyle i=0,\dots ,k.}$

Бесконечные распределенные задержки

Наиболее распространенным типом структурированной модели с бесконечным распределенным лагом является геометрический лаг , также известный как лаг Койка . В этой структуре лага веса (величины влияния) значений независимой переменной с лагом экспоненциально уменьшаются с длиной лага; в то время как форма структуры лага, таким образом, полностью навязывается выбором этой техники, скорость уменьшения, а также общая величина эффекта определяются данными. Спецификация уравнения регрессии очень проста: в качестве объясняющих факторов (переменных правой стороны в регрессии) включаются значение зависимой переменной с лагом на один период и текущее значение независимой переменной:

${\displaystyle y_{t}=a+\lambda y_{t-1}+bx_{t}+{\text{error term}},}$

где . В этой модели краткосрочный (тот же период) эффект изменения единицы независимой переменной равен значению b , тогда как долгосрочный (кумулятивный) эффект устойчивого изменения единицы независимой переменной можно показать как ${\displaystyle 0\leq \lambda <1}$

${\displaystyle b+\lambda b+\lambda ^{2}b+...=b/(1-\lambda ).}$

Другие модели с бесконечным распределенным лагом были предложены, чтобы данные могли определить форму структуры лага. Полиномиальный обратный лаг ^{[4] [5]} предполагает, что веса лага связаны с базовыми, линейно оцениваемыми параметрами a _j согласно

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=2}^{n}{\frac {a_{j}}{(i+1)^{j}}},}$

для ${\displaystyle i=0,\dots ,\infty .}$

Геометрическое комбинированное лагирование ^[6] предполагает, что веса лагов связаны с базовыми линейно оцениваемыми параметрами a _j в соответствии с

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=2}^{n}a_{j}(1/j)^{i},}$

для или ${\displaystyle i=0,\dots ,\infty }$

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}[j/(n+1)]^{i},}$

для ${\displaystyle i=0,\dots ,\infty .}$

Гамма -лаг ^[7] и рациональный лаг ^[8] — это другие структуры с бесконечным распределенным лагом.

Модель распределенного лага в исследованиях в области здравоохранения

Модели распределенного лага были введены в исследования, связанные со здоровьем, в 2002 году Занобетти и Шварцем. ^[9] Байесовская версия модели была предложена Уэлти в 2007 году. ^[10] Гаспаррини представил более гибкие статистические модели в 2010 году ^[11] , которые способны описывать дополнительные временные измерения взаимосвязи воздействия-реакции, и разработал семейство нелинейных моделей распределенного лага (DLNM), структуру моделирования, которая может одновременно представлять нелинейные зависимости воздействия-реакции и отсроченные эффекты. ^[12]

Концепция модели распределенного лага была впервые применена в продольном когортном исследовании Сю в 2015 году ^[13] , изучавшим связь между PM2.5 и детской астмой , а более сложный метод распределенного лага, направленный на обеспечение анализа продольного когортного исследования, такой как байесовская модель взаимодействия распределенного лага ^[14] Уилсона, был впоследствии разработан для ответа на аналогичные исследовательские вопросы.

Смотрите также

• АРМАКС
• Смешанная выборка данных

Ссылки

1. Кромвель, Джефф Б. и др. (1994). Многомерные тесты для моделей временных рядов . SAGE Publications. ISBN 0-8039-5440-9.
2. Джадж, Джордж Г.; Гриффитс, Уильям Э.; Хилл, Р. Картер; Ли, Цунг-Чао (1980). Теория и практика эконометрики . Нью-Йорк: Wiley. С. 637–660. ISBN 0-471-05938-2.
3. Алмон, Ширли, «Распределенный лаг между капитальными ассигнованиями и чистыми расходами», Econometrica 33, 1965, 178-196.
4. Митчелл, Дуглас В. и Спикер, Пол Дж., «Простой, гибкий метод распределенного лага: полиномиальный обратный лаг», Журнал эконометрики 31, 1986, 329-340.
5. Геллес, Грегори М. и Митчелл, Дуглас В., «Аппроксимационная теорема для полиномиального обратного лага», Economics Letters 30, 1989, 129-132.
6. Спикер, Пол Дж., Митчелл, Дуглас В. и Геллес, Грегори М., «Геометрические комбинированные лаги как гибкие бесконечно распределенные оценщики лага», Журнал экономической динамики и управления 13, 1989, 171-185.
7. Шмидт, Питер (1974). «Модификация распределенного лага Алмона». Журнал Американской статистической ассоциации . 69 (347): 679–681. doi :10.1080/01621459.1974.10480188.
8. Йоргенсон, Дейл В. (1966). «Рациональные распределенные функции запаздывания». Econometrica . 34 (1): 135–149. doi :10.2307/1909858. JSTOR  1909858.
9. Занобетти, Антонелла; Шварц, Джоэл; Самоли, Эви; Грипарис, Александрос; Тулуми, Джота; Аткинсон, Ричард; Ле Тертр, Ален; Боброс, Янош; Селко, Мартин; Горен, Аяна; Форсберг, Бертиль (январь 2002 г.). «Временная картина реакции смертности на загрязнение воздуха: многогородская оценка смещения смертности». Эпидемиология . 13 (1): 87–93. doi : 10.1097/00001648-200201000-00014 . ISSN  1044-3983. PMID  11805591. S2CID  25181383.
10. Welty, LJ; Peng, RD; Zeger, SL; Dominici, F. (март 2009 г.). «Модели с байесовским распределением задержек: оценка влияния загрязнения воздуха твердыми частицами на ежедневную смертность». Biometrics . 65 (1): 282–291. doi :10.1111/j.1541-0420.2007.01039.x. ISSN  1541-0420. PMID  18422792.
11. Гаспаррини, А.; Армстронг, Б.; Кенвард, МГ (2010-09-20). «Нелинейные модели с распределенным запаздыванием». Статистика в медицине . 29 (21): 2224–2234. doi :10.1002/sim.3940. ISSN  0277-6715. PMC 2998707. PMID 20812303  . 
12. "Нелинейные модели с распределенным запаздыванием [пакет R dlnm версии 2.4.6]". cran.r-project.org . 2021-06-15 . Получено 2021-09-17 .
13. Леон Сю, Сяо-Сянь; Матильда Чиу, Юэ-Сю; Коулл, Брент А.; Клоог, Итай; Шварц, Джоэл; Ли, Элисон; Райт, Роберт О.; Райт, Розалинд Дж. (2015-11-01). «Пренатальное загрязнение воздуха частицами и начало астмы у городских детей. Определение чувствительных окон и половых различий». Американский журнал респираторной и интенсивной медицины . 192 (9): 1052–1059. doi :10.1164/rccm.201504-0658OC. ISSN  1073-449X. PMC 4642201. PMID 26176842  . 
14. Уилсон, Андер; Чиу, Юэ-Сю Матильда; Сю, Сяо-Сянь Леон; Райт, Роберт О.; Райт, Розалинд Дж.; Коулл, Брент А. (июль 2017 г.). «Модели взаимодействия с распределенным байесовским лагом для определения перинатальных окон уязвимости в здоровье детей». Биостатистика . 18 (3): 537–552. doi :10.1093/biostatistics/kxx002. ISSN  1465-4644. PMC 5862289. PMID  28334179 .