Система распределенных параметров

Система с бесконечномерным пространством состояний

В теории управления система с распределенными параметрами (в отличие от системы с сосредоточенными параметрами ) — это система , пространство состояний которой бесконечномерно . Поэтому такие системы также известны как бесконечномерные системы. Типичными примерами являются системы, описываемые уравнениями с частными производными или дифференциальными уравнениями с запаздыванием .

Линейные инвариантные во времени системы с распределенными параметрами

Абстрактные уравнения эволюции

Дискретное время

В гильбертовых пространствах U , X и Y и  ∈  L ( X ),  ∈  L ( U ,  X ),  ∈  L ( X ,  Y ) и  ∈  L ( U ,  Y ) следующие разностные уравнения определяют дискретную линейную стационарную систему : ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$ ${\displaystyle C\,}$ ${\displaystyle D\,}$

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)\,}$

где (состояние) — последовательность со значениями в X , (вход или управление) — последовательность со значениями в U и (выход) — последовательность со значениями в Y. ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle u\,}$ ${\displaystyle y\,}$

Непрерывное время

Случай непрерывного времени аналогичен случаю дискретного времени, но теперь вместо разностных уравнений рассматриваются дифференциальные уравнения:

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,}$,

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$.

Однако теперь дополнительным осложнением является то, что для включения интересных физических примеров, таких как уравнения с частными производными и дифференциальные уравнения с запаздыванием, в эту абстрактную структуру приходится рассматривать неограниченные операторы . Обычно предполагается, что A генерирует сильно непрерывную полугруппу в пространстве состояний X. Предполагая, что B , C и D являются ограниченными операторами, тогда уже допускается включение многих интересных физических примеров, ^[1] но включение многих других интересных физических примеров также требует неограниченности B и C.

Пример: уравнение в частных производных

Уравнение с частными производными с и задается формулой ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle \xi \in [0,1]}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}w(t,\xi )=-{\frac {\partial }{\partial \xi }}w(t,\xi )+u(t),}$

${\displaystyle w(0,\xi )=w_{0}(\xi ),}$

${\displaystyle w(t,0)=0,}$

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{1}w(t,\xi )\,d\xi ,}$

Вписывается в абстрактную структуру уравнения эволюции, описанную выше, следующим образом. Входное пространство U и выходное пространство Y выбираются как набор комплексных чисел. Пространство состояний X выбирается как L ² (0, 1). Оператор A определяется как

${\displaystyle Ax=-x',~~~D(A)=\left\{x\in X:x{\text{ absolutely continuous }},x'\in L^{2}(0,1){\text{ and }}x(0)=0\right\}.}$

Можно показать ^[2] , что A порождает сильно непрерывную полугруппу на X. Ограниченные операторы B , C и D определяются как

${\displaystyle Bu=u,~~~Cx=\int _{0}^{1}x(\xi )\,d\xi ,~~~D=0.}$

Пример: дифференциальное уравнение с задержкой

Дифференциальное уравнение задержки

${\displaystyle {\dot {w}}(t)=w(t)+w(t-\tau )+u(t),}$

${\displaystyle y(t)=w(t),}$

вписывается в абстрактную структуру уравнения эволюции, описанную выше, следующим образом. Входное пространство U и выходное пространство Y выбираются как набор комплексных чисел. Пространство состояний X выбирается как произведение комплексных чисел на L ² (− τ , 0). Оператор A определяется как

${\displaystyle A{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r+f(-\tau )\\f'\end{pmatrix}},~~~D(A)=\left\{{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}\in X:f{\text{ absolutely continuous }},f'\in L^{2}([-\tau ,0]){\text{ and }}r=f(0)\right\}.}$

Можно показать ^[3] , что A порождает сильно непрерывную полугруппу на X. Ограниченные операторы B , C и D определяются как

${\displaystyle Bu={\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}},~~~C{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}=r,~~~D=0.}$

Передаточные функции

Как и в конечномерном случае, передаточная функция определяется через преобразование Лапласа (непрерывное время) или Z-преобразование (дискретное время). В то время как в конечномерном случае передаточная функция является собственно рациональной функцией, бесконечная размерность пространства состояний приводит к иррациональным функциям (которые, однако, все еще голоморфны ).

Дискретное время

В дискретном времени передаточная функция задается в терминах параметров пространства состояний как и она голоморфна в диске с центром в начале координат. ^[4] В случае, если 1/ z принадлежит резольвентному множеству A (что имеет место в случае возможно меньшего диска с центром в начале координат), передаточная функция равна . Интересным фактом является то, что любая функция, голоморфная в нуле, является передаточной функцией некоторой системы с дискретным временем. ${\displaystyle D+\sum _{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}}$ ${\displaystyle D+Cz(I-zA)^{-1}B}$

Непрерывное время

Если A порождает сильно непрерывную полугруппу, а B , C и D — ограниченные операторы, то ^[5] передаточная функция задается в терминах параметров пространства состояний с помощью для s с действительной частью, большей, чем граница экспоненциального роста полугруппы, порождаемой A. В более общих ситуациях эта формула в ее нынешнем виде может даже не иметь смысла, но соответствующее обобщение этой формулы все еще справедливо. ^[6] Чтобы получить простое выражение для передаточной функции, часто лучше взять преобразование Лапласа в заданном дифференциальном уравнении, чем использовать формулы пространства состояний, как показано ниже на приведенных выше примерах. ${\displaystyle D+C(sI-A)^{-1}B}$

Передаточная функция для примера уравнения в частных производных

Приравняв начальное условие нулю и обозначив преобразования Лапласа по t заглавными буквами, из приведенного выше уравнения в частных производных получим ${\displaystyle w_{0}}$

${\displaystyle sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),}$

${\displaystyle W(s,0)=0,}$

${\displaystyle Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .}$

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение с переменной s в качестве параметра и начальным условием нулевым. Решение . Подстановка этого в уравнение для Y и интегрирование дает так, что передаточная функция . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s}$ ${\displaystyle Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}}$ ${\displaystyle (e^{-s}+s-1)/s^{2}}$

Передаточная функция для примера дифференциального уравнения с задержкой

Действуя аналогично примеру с частным дифференциальным уравнением, передаточная функция для примера уравнения с запаздыванием равна ^[7] . ${\displaystyle 1/(s-1-e^{-s})}$

Управляемость

В бесконечномерном случае существует несколько неэквивалентных определений управляемости , которые для конечномерного случая сводятся к одному обычному понятию управляемости. Три наиболее важных понятия управляемости:

• Точная управляемость,
• Приблизительная управляемость,
• Нулевая управляемость.

Управляемость в дискретном времени

Важную роль играют карты , которые отображают множество всех последовательностей значений U в X и задаются как . Интерпретация заключается в том, что это состояние, которое достигается путем применения входной последовательности u, когда начальное условие равно нулю. Система называется ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}}$ ${\displaystyle \Phi _{n}u}$

• точно управляемо за время n, если диапазон равен X , ${\displaystyle \Phi _{n}}$
• приблизительно управляемо за время n, если область значений плотна в X , ${\displaystyle \Phi _{n}}$
• нуль управляем за время n, если диапазон включает диапазон A ⁿ . ${\displaystyle \Phi _{n}}$

Управляемость в непрерывном времени

В управляемости непрерывных систем отображение, заданное играет ту же роль, что и в дискретном времени. Однако пространство функций управления, на которое действует этот оператор, теперь влияет на определение. Обычный выбор — L ² (0, ∞; U ), пространство (классов эквивалентности) U -значных квадратично интегрируемых функций на интервале (0, ∞), но возможны и другие выборы, такие как L ¹ (0, ∞; U ). Различные понятия управляемости могут быть определены после выбора области определения . Система называется ^[8] ${\displaystyle \Phi _{t}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds}$ ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \Phi _{t}}$

• точно управляемо за время t, если диапазон равен X , ${\displaystyle \Phi _{t}}$
• приблизительно управляемо за время t, если область значений плотна в X , ${\displaystyle \Phi _{t}}$
• нуль контролируемый за время t, если диапазон включает диапазон . ${\displaystyle \Phi _{t}}$ ${\displaystyle {\rm {e}}^{At}}$

Наблюдаемость

Как и в конечномерном случае, наблюдаемость является дуальным понятием управляемости. В бесконечномерном случае существует несколько различных понятий наблюдаемости, которые в конечномерном случае совпадают. Три наиболее важных из них:

• Точная наблюдаемость (также известная как непрерывная наблюдаемость),
• Приблизительная наблюдаемость,
• Наблюдаемость конечного состояния.

Наблюдаемость в дискретном времени

Важную роль играют отображения, которые отображают X в пространство всех последовательностей значений Y и задаются как , если k  ≤  n и ноль, если k  >  n . Интерпретация такова, что это усеченный выход с начальным условием x и управлением нулевым. Система называется ${\displaystyle \Psi _{n}}$ ${\displaystyle (\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x}$ ${\displaystyle \Psi _{n}x}$

• точно наблюдаемо за время n, если существует k _n  > 0 такое, что для всех x  ∈  X , ${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|x\|}$
• приблизительно наблюдаемо за время n , если инъективно , ${\displaystyle \Psi _{n}}$
• конечное состояние, наблюдаемое за время n, если существует k _n  > 0 такое, что для всех x  ∈  X . ${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|}$

Наблюдаемость в непрерывном времени

В наблюдаемости систем с непрерывным временем отображение, заданное для s∈[0,t] и нулем для s>t, играет ту же роль, что и в дискретном времени. Однако пространство функций, в которое этот оператор отображается, теперь влияет на определение. Обычный выбор — это L ² (0, ∞,  Y ), пространство (классов эквивалентности) квадратично интегрируемых функций со значением Y на интервале (0, ∞) , но возможны и другие выборы, такие как L ¹ (0, ∞,  Y ). Различные понятия наблюдаемости могут быть определены после выбора области определения . Система называется ^[9] ${\displaystyle \Psi _{t}}$ ${\displaystyle (\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x}$ ${\displaystyle \Psi _{n}}$ ${\displaystyle \Psi _{t}}$

• точно наблюдаемо за время t, если существует k _t  > 0 такое, что для всех x  ∈  X , ${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|}$
• приблизительно наблюдаемо во времени t , если инъективно , ${\displaystyle \Psi _{t}}$
• конечное состояние, наблюдаемое за время t, если существует k _t  > 0 такое, что для всех x  ∈  X . ${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|}$

Двойственность между управляемостью и наблюдаемостью

Как и в конечномерном случае, управляемость и наблюдаемость являются дуальными понятиями (по крайней мере, когда для области и со-области обычного L ² делается выбор). Соответствие при дуальности различных понятий следующее: ^[10] ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$

• Точная управляемость ↔ Точная наблюдаемость,
• Приблизительная управляемость ↔ Приблизительная наблюдаемость,
• Нулевая управляемость ↔ Наблюдаемость конечного состояния.

Смотрите также

• Теория управления
• Пространство состояний (элементы управления)

Примечания

1. Занавес и Зварт
2. Пример занавеса и Zwart 2.2.4
3. Занавес и Теорема Цварта 2.4.6
4. Это математическое соглашение, инженеры, похоже, предпочитают, чтобы передаточные функции были голоморфными на бесконечности; это достигается заменой z на 1/ z
5. Занавес и Лемма Цварта 4.3.6
6. Теорема Стаффана 4.6.7
7. Пример занавеса и Zwart 4.3.13
8. Определение Тукзнака 11.1.1
9. Определение Тукзнака 6.1.1
10. Теорема Тукзнака 11.2.1

Ссылки

• Куртейн, Рут ; Цварт, Ганс (1995), Введение в теорию бесконечномерных линейных систем , Springer
• Tucsnak, Marius; Weiss, George (2009), Наблюдение и управление для операторных полугрупп , Birkhauser
• Стаффанс, Олоф (2005), Корректно поставленные линейные системы , Cambridge University Press
• Ло, Чжэн-Хуа; Го, Бао-Чжу; Моргул, Омер (1999), Устойчивость и стабилизация бесконечномерных систем с приложениями , Springer
• Ласицка, Ирена ; Триджиани, Роберто (2000), Теория управления для уравнений с частными производными , Cambridge University Press
• Бенсуссан, Ален; Да Прато, Джузеппе; Дельфур, Мишель; Миттер, Санджой (2007), Представление и управление бесконечномерными системами (второе издание), Биркхаузер