Множественный интеграл

Интеграл как площадь между двумя кривыми.

В математике (в частности, в многомерном исчислении ) кратный интеграл — это определенный интеграл функции нескольких действительных переменных , например, $f (x, y)$ или $f (x, y, z)$ .

Интегралы функции двух переменных по области в ( плоскости действительных чисел ) называются двойными интегралами , а интегралы функции трех переменных по области в (трехмерном пространстве действительных чисел) называются тройными интегралами . ^[1] Для повторного антидифференцирования функции одной переменной см. формулу Коши для повторного интегрирования . $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Введение

Так же, как определенный интеграл положительной функции одной переменной представляет собой площадь области между графиком функции и осью $x$ , двойной интеграл положительной функции двух переменных представляет собой объем области между поверхностью, определяемой функцией (на трехмерной декартовой плоскости , где $z = f (x, y)$ ), и плоскостью, содержащей ее область определения . ^[1] Если переменных больше, кратный интеграл даст гиперобъемы многомерных функций.

Многократное интегрирование функции от $n$ переменных: $f (x 1, x 2, ..., x n)$ по области $D$ чаще всего представляется вложенными знаками интегралов в обратном порядке выполнения (самый левый знак интеграла вычисляется последним), за которыми следуют аргументы функции и подынтегрального выражения в правильном порядке (интеграл по самому правому аргументу вычисляется последним). Область интегрирования либо представляется символически для каждого аргумента по каждому знаку интеграла, либо сокращается переменной у самого правого знака интеграла: ^[2]

\int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}

Поскольку понятие первообразной определено только для функций одной действительной переменной, обычное определение неопределенного интеграла не распространяется непосредственно на кратный интеграл.

Математическое определение

Для $n > 1$ рассмотрим так называемую «полуоткрытую» $n$ -мерную гиперпрямоугольную область $T$ , определяемую как

T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}

Разобьем каждый интервал $[a j, b j)$ на конечное семейство $I j$ неперекрывающихся подынтервалов $i j α$ , причем каждый подынтервал закрыт на левом конце и открыт на правом конце.

Тогда конечное семейство подпрямоугольников $C$ задается формулой

C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}

является разбиением T ; то есть подпрямоугольники $C$ $k$ не перекрываются и их объединение $равно$ $T$ .

Пусть $f : T \to R$ — функция, определенная на $T.$ Рассмотрим разбиение $C$ множества $T$ , определенное выше, такое, что $C$ — это семейство из $m$ подпрямоугольников $C m$ и

T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}

Мы можем аппроксимировать общий $(n + 1)$ -мерный объем, ограниченный снизу $n-$ мерным гиперпрямоугольником $T$ и сверху $n-$ мерным графиком функции $f$ , следующей суммой Римана :

\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})

где $P k$ — точка в $C k$ , а $m(C k)$ — произведение длин интервалов, декартово произведение которых равно $C k$ , также известное как мера $C k$ .

Диаметр подпрямоугольника $C$ $k$ — это наибольшая из длин интервалов, декартово произведение которых равно $C$ $k$ . Диаметр данного разбиения $T$ определяется как наибольший из диаметров подпрямоугольников в разбиении. Интуитивно понятно, что по мере того, как диаметр разбиения $C$ ограничивается все меньше и меньше, число подпрямоугольников $m$ становится больше, а мера $m($ $C$ $k$ $)$ каждого подпрямоугольника становится меньше. Функция $f$ называется интегрируемой по Риману, если предел

S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})

существует, где предел берется по всем возможным разбиениям $T$ с диаметром не более $δ$ . ^[3]

Если $f$ интегрируема по Риману, $S$ называется интегралом Римана функции $f$ по $T$ и обозначается

\int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}

Часто это обозначение сокращается до

\int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x}

где $x$ представляет собой $n-мерный$ кортеж $(x 1, ..., x n)$ , а $d n x$ — $n -мерный$ дифференциал объема .

Интеграл Римана функции, определенной над произвольным ограниченным $n$ -мерным множеством, может быть определен путем расширения этой функции до функции, определенной над полуоткрытым прямоугольником, значения которого равны нулю вне области определения исходной функции. Тогда интеграл исходной функции над исходной областью определяется как интеграл расширенной функции над ее прямоугольной областью определения, если она существует.

В дальнейшем интеграл Римана в $n$ измерениях будет называться кратным интегралом .

Характеристики

Многократные интегралы имеют много свойств, общих со свойствами интегралов функций одной переменной (линейность, коммутативность, монотонность и т. д.). Одним из важных свойств многократных интегралов является то, что значение интеграла не зависит от порядка подынтегральных функций при определенных условиях. Это свойство широко известно как теорема Фубини . ^[4]

Частные случаи

В случае , интеграл $T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$

l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy

является двойным интегралом f по $T$ , и $если$ интеграл $T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$

l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz

— тройной интеграл f по $T.$ $$

Обратите внимание, что по соглашению двойной интеграл имеет два знака интеграла, а тройной интеграл — три; это соглашение об обозначениях, которое удобно при вычислении кратного интеграла как повторного интеграла, как показано далее в этой статье.

Методы интеграции

Решение проблем с кратными интегралами в большинстве случаев состоит в нахождении способа сведения кратного интеграла к итеративному интегралу , серии интегралов одной переменной, каждый из которых непосредственно решается. Для непрерывных функций это обосновано теоремой Фубини . Иногда можно получить результат интегрирования непосредственным рассмотрением без каких-либо вычислений.

Ниже приведены некоторые простые методы интеграции: ^[1]

Интегрирование постоянных функций

Когда подынтегральное выражение является постоянной функцией $c$ , интеграл равен произведению $c$ и меры области интегрирования. Если $c = 1$ и область является подобластью $R 2$ , интеграл дает площадь области, а если область является подобластью $R 3$ , интеграл дает объем области.

Пример. Пусть $f (x, y) = 2$ и
$D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}$ ,
в этом случае
$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {area} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12$ ,
поскольку по определению мы имеем:
$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {area} (D)$ .

Использование симметрии

Когда область интегрирования симметрична относительно начала координат относительно хотя бы одной из переменных интегрирования и подынтегральное выражение нечетно по этой переменной, интеграл равен нулю, так как интегралы по двум половинам области имеют одинаковую абсолютную величину, но противоположные знаки. Когда подынтегральное выражение четно по этой переменной, интеграл равен удвоенному интегралу по одной половине области, так как интегралы по двум половинам области равны.

Пример 1. Рассмотрим функцию $f (x, y) = 2 sin(x) - 3 y 3 + 5$ , проинтегрированную по области определения
$T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}$ ,
диск радиусом 1 с центром в начале координат, включая границу.
Используя свойство линейности, интеграл можно разложить на три части:
$\iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy$ .

Функция $2 sin(x)$ является нечетной функцией переменной $x$ , а диск $T$ симметричен относительно оси $y$ , поэтому значение первого интеграла равно 0. Аналогично, функция $3 y 3$ является нечетной функцией $y$ , а $T$ симметричен относительно оси $x$ , поэтому единственный вклад в конечный результат — это вклад третьего интеграла. Поэтому исходный интеграл равен площади диска, умноженной на 5, или 5 $π$ .

Пример 2. Рассмотрим функцию $f (x, y, z) = x exp(y 2 + z 2)$ и в качестве области интегрирования шар радиусом 2 с центром в начале координат,
$T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}$ .
«Шар» симметричен относительно всех трех осей, но достаточно проинтегрировать относительно оси $x$ , чтобы показать, что интеграл равен 0, поскольку функция является нечетной функцией этой переменной.

Нормальные домены наР 2

Этот метод применим к любой области $D,$ для которой:

Проекция D на ось $x$ или ось $y$ ограничена двумя $значениями$ $a$ и $b$ .
Любая линия, перпендикулярная этой оси, которая проходит между этими двумя значениями, пересекает область в интервале, конечные точки которого заданы графиками двух функций, $α$ и $β.$

Такой домен здесь будет называться нормальным доменом . В других местах литературы нормальные домены иногда называют доменами типа I или типа II, в зависимости от того, на какую ось расслоен домен. Во всех случаях интегрируемая функция должна быть интегрируемой по Риману на домене, что верно (например), если функция непрерывна.

$х$ -ось

Если область $D$ нормальна относительно оси $x$ , а $f : D \to R$ — непрерывная функция ; тогда $α (x)$ и $β (x)$ (обе из которых определены на интервале $[a, b]$ ) — две функции, определяющие $D$ . Тогда по теореме Фубини: ^[5]

\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy

$у$ -ось

Если $D$ нормальна относительно оси $y$ и $f : D \to R$ является непрерывной функцией; тогда $α (y)$ и $β (y)$ (обе из которых определены на интервале $[a, b]$ ) являются двумя функциями, определяющими $D$ . Опять же, по теореме Фубини:

\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx

Нормальные домены на $Р 3$

Если $T$ — область, нормальная относительно плоскости $xy$ и определяемая функциями $α (x, y)$ и $β (x, y)$ , то

\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint _{D}\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy

Это определение одинаково для пяти других случаев нормальности на $R 3$ . Его можно обобщить простым способом на области в $R n$ .

Изменение переменных

Пределы интегрирования часто не являются легко взаимозаменяемыми (без нормальности или со сложными формулами для интегрирования). Делается замена переменных , чтобы переписать интеграл в более «удобной» области, которую можно описать более простыми формулами. Для этого функция должна быть адаптирована к новым координатам.

Пример 1а. Функция $f (x, y) = (x - 1) 2 + \sqrt y$ ; если принять замену $u = x - 1$ , $v = y ,$ следовательно, $x = u + 1$ , $y = v ,$ то получим новую функцию $f 2 (u, v) = (u) 2 + \sqrt v$ .

Аналогично для домена, поскольку он ограничен исходными переменными, которые были преобразованы ранее ( $x$ и $y$ в примере)
Дифференциалы $dx$ и $dy$ преобразуются через модуль определителя матрицы Якоби, содержащей частные производные преобразований относительно новой переменной (рассмотрим в качестве примера дифференциальное преобразование в полярных координатах)

Существует три основных «вида» замены переменной (один в $R 2$ , два в $R 3$ ); однако, используя тот же принцип, можно сделать и более общие замены.

Полярные координаты

В $R 2,$ если домен имеет круговую симметрию, а функция имеет некоторые особые характеристики, можно применить преобразование к полярным координатам (см. пример на рисунке), что означает, что общие точки $P (x, y)$ в декартовых координатах переключаются на соответствующие им точки в полярных координатах. Это позволяет изменить форму домена и упростить операции.

Основное соотношение для выполнения преобразования следующее:

f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )

Пример 2а. Функция $f (x, y) = x + y$ и применяя преобразование получаем
$f(x,y)=f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi )$ .

Пример 2б. Функция $f (x, y) = x 2 + y 2$ , в этом случае имеем:
$f(x,y)=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}$
с использованием тригонометрического тождества Пифагора (может быть полезно для упрощения этой операции).

Преобразование области выполняется путем определения длины коронки радиуса и амплитуды описанного угла для определения интервалов $ρ, φ,$ начиная с $x, y$ .

Пример 2c. Область имеет вид $D = {x 2 + y 2 \leq 4}$ , то есть представляет собой окружность радиусом 2; очевидно, что охватываемый ею угол является углом окружности, поэтому $φ$ изменяется от 0 до 2 $π$ , в то время как радиус короны изменяется от 0 до 2 (корона с внутренним радиусом, равным нулю, представляет собой просто окружность).

Пример 2d. Область имеет вид $D = {x 2 + y 2 \leq 9, x 2 + y 2 \geq 4, y \geq 0}$ , то есть круговая корона в положительной полуплоскости $y (см. рисунок в примере);$ $φ$ описывает плоский угол, а $ρ$ изменяется от 2 до 3. Поэтому преобразованная область будет представлять собой следующий прямоугольник :
$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi \}$ .
Определитель Якоби этого преобразования имеет следующий вид:
${\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho$ ,
который был получен путем подстановки частных производных $x = ρ cos(φ)$ , $y = ρ sin(φ)$ в первый столбец относительно $ρ$ и во второй относительно $φ$ , так что дифференциалы $dx dy$ в этом преобразовании становятся $ρ dρ dφ$ .
После преобразования функции и оценки области определения можно определить формулу для замены переменных в полярных координатах:
$\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi$ .
$φ$ справедливо в интервале $[0, 2π],$ тогда как $ρ$ , являющееся мерой длины, может иметь только положительные значения.

Пример 2e. Функция $f (x, y) = x$ и область определения та же, что и в примере 2d. Из предыдущего анализа $D$ мы знаем интервалы $ρ$ (от 2 до 3) и $φ$ (от 0 до $π$ ). Теперь изменим функцию:
$f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi$ .
Наконец, применим формулу интегрирования:
$\iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi$ .
Как только интервалы известны, у вас есть
$\int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0$ .

Цилиндрические координаты

В $R 3$ интегрирование по областям с круглым основанием можно осуществить переходом к цилиндрическим координатам ; преобразование функции осуществляется по следующему соотношению:

f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)

Преобразование домена может быть осуществлено графически, поскольку изменяется только форма основания, а высота следует форме исходной области.

Пример 3а. Область $D = {x 2 + y 2 \leq 9, x 2 + y 2 \geq 4, 0 \leq z \leq 5}$ (то есть «трубка», основанием которой является круглая корона примера 2d, а высота равна 5); если применить преобразование, то получится такая область:
$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}$
(то есть параллелепипед, основание которого подобно прямоугольнику в примере 2d, а высота равна 5).
Поскольку $z$ - компонента не изменяется во время преобразования, дифференциалы $dx dy dz$ изменяются так же, как при переходе к полярным координатам: поэтому они становятся $ρ dρ dφ dz$ .
Наконец, можно применить окончательную формулу к цилиндрическим координатам:
$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$ .

Этот метод удобен в случае цилиндрических или конических доменов или в областях, где легко выделить интервал z и даже преобразовать круговое основание и функцию.

Пример 3б. Функция $f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z$ и в качестве области интегрирования этот цилиндр : $D = {x 2 + y 2 \leq 9, -5 \leq z \leq 5}$ . Преобразование $D$ в цилиндрических координатах следующее:
$T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}$ .
в то время как функция становится
$f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z$ .
Наконец, можно применить формулу интегрирования:
$\iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$ ;
разработка формулы у вас есть
$\int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi$ .

Сферические координаты

В $R 3$ некоторые области имеют сферическую симметрию, поэтому можно задать координаты каждой точки области интегрирования двумя углами и одним расстоянием. Поэтому можно использовать переход к сферическим координатам ; функция преобразуется по этому соотношению:

f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )

Точки на оси $z$ не имеют точной характеристики в сферических координатах, поэтому $θ$ может изменяться в пределах от 0 до $2π$ .

Лучшей областью интеграции для этого отрывка является сфера.

Пример 4а. Область $D = x 2 + y 2 + z 2 \leq 16$ (сфера с радиусом 4 и центром в начале координат); применяя преобразование, получаем область
$T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}$ .
Определитель Якоби этого преобразования имеет следующий вид:
${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi$ .
Таким образом, дифференциалы $dx dy dz$ преобразуются в $ρ 2 sin(φ) dρ dθ dφ$ .
Это дает окончательную формулу интегрирования:
$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$ .

Этот метод лучше использовать в случае сферических областей и в случае функций, которые можно легко упростить с помощью первого фундаментального соотношения тригонометрии, расширенного до $R 3$ (см. Пример 4б); в других случаях может быть лучше использовать цилиндрические координаты (см. Пример 4в).

\iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi

Дополнительные $ρ 2$ и $sin φ$ берутся из якобиана.

В следующих примерах роли $φ$ и $θ$ поменялись местами.

Пример 4б. $D$ — та же область, что и в примере 4а, а $f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2$ — функция для интегрирования. Ее преобразование очень простое:
$f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2}$ ,
в то время как мы знаем интервалы преобразованной области $T$ из $D$ :
$T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}$ .
Поэтому применим формулу интегрирования:
$\iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$ ,
и, развивая, получаем
$\iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}$ .

Пример 4c. Область $D$ представляет собой шар с центром в начале координат и радиусом $3 a$ ,
$D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}$ ,
и $f (x, y, z) = x 2 + y 2$ — функция для интегрирования.
Рассматривая область, кажется удобным принять переход к сферическим координатам, фактически интервалы переменных, ограничивающие новую область $T,$ равны:
$T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}$ .
Однако, применив преобразование, получим
$f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta$ .
Применяя формулу интегрирования получаем:
$\iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$ ,
которое можно решить, превратив его в повторный интеграл . $\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\underbrace {\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho } _{I}\,\underbrace {\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta } _{II}\,\underbrace {\int _{0}^{2\pi }d\varphi } _{III}$
$I=\left.\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho ={\frac {\rho ^{5}}{5}}\right\vert _{0}^{3a}={\frac {243}{5}}a^{5}$ ,
$II=\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta =-\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \,d(\cos \theta )=\int _{0}^{\pi }(\cos ^{2}\theta -1)\,d(\cos \theta )=\left.{\frac {\cos ^{3}\theta }{3}}\right|_{0}^{\pi }-\left.\cos \theta \right|_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}$ ,
$III=\int _{0}^{2\pi }d\varphi =2\pi$ .

Собрав все части,
$\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =I\cdot II\cdot III={\frac {243}{5}}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}}\pi a^{5}$ .

Альтернативно, эту проблему можно решить, используя переход к цилиндрическим координатам. Новые интервалы $T$ равны
$T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\}$ ;
интервал $z$ был получен путем деления шара на две полусферы простым решением неравенства из формулы $D$ (и последующим прямым преобразованием $x 2 + y 2$ в $ρ 2$ ). Новая функция — это просто $ρ 2$ . Применяем формулу интегрирования
$\iiint _{T}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$ .
Тогда получаем:
${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}\end{aligned}}$
Благодаря переходу к цилиндрическим координатам удалось свести тройной интеграл к более простому однопеременному интегралу.

См. также дифференциальную запись объема в набла в цилиндрических и сферических координатах .

Примеры

Двойной интеграл по прямоугольнику

Предположим, что мы хотим проинтегрировать многомерную функцию $f$ по области $A$ :

A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ and }}f(x,y)=x^{2}+4y\,

Отсюда формулируем повторный интеграл

\int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy

Сначала выполняется внутренний интеграл, интегрируя по $x$ и принимая $y$ как константу, поскольку она не является переменной интегрирования . Результат этого интеграла, который является функцией, зависящей только от $y$ , затем интегрируется по $y$ .

{\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}

Затем мы интегрируем результат по $y$ .

{\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}

В случаях, когда двойной интеграл абсолютного значения функции конечен, порядок интегрирования взаимозаменяем, то есть интегрирование сначала по x и интегрирование сначала по y дает один и тот же результат. Это теорема Фубини . Например, выполнение предыдущего вычисления с обратным порядком дает тот же результат:

{\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}

Двойной интеграл по нормальной области

Рассмотрим регион (см. график в примере):

D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}

Рассчитать

\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy

Эта область нормальна по отношению к обеим осям x и y . Для применения формул требуется найти функции, определяющие D , и интервалы, на которых эти функции определены. В этом случае две функции таковы:

\alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1

в то время как интервал задается пересечениями функций при x = 0, поэтому интервал равен [ a , b ] = [0, 1] (нормальность была выбрана относительно оси x для лучшего визуального понимания).

Теперь можно применить формулу:

\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}

(сначала вычисляется второй интеграл, считая x константой). Остальные операции состоят в применении основных приемов интегрирования:

\int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}

Если мы выберем нормальность по оси Y, мы можем вычислить

\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx

и получить то же самое значение.

Расчет объема

Используя описанные ранее методы, можно рассчитать объемы некоторых распространенных твердых тел.

Цилиндр : Объем цилиндра высотой $h$ и круглым основанием радиуса $R$ можно вычислить путем интегрирования постоянной функции $h$ по круглому основанию, используя полярные координаты.

\mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h

Это согласуется с формулой для объема призмы

\mathrm {Volume} ={\text{base area}}\times {\text{height}}

Сфера : Объем сферы радиусом $R$ можно вычислить путем интегрирования постоянной функции 1 по сфере, используя сферические координаты.

{\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\end{aligned}}

Тетраэдр (треугольная пирамида или 3- симплекс ): Объем тетраэдра с вершиной в начале координат и ребрами длиной $ℓ$ вдоль осей $x$ , $y$ и $z$ можно вычислить путем интегрирования постоянной функции 1 по тетраэдру.

{\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}

Это согласуется с формулой объема пирамиды .

\mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{base area}}\times {\text{height}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}

Многократный несобственный интеграл

В случае неограниченных областей или функций, не ограниченных вблизи границы области, необходимо ввести двойной несобственный интеграл или тройной несобственный интеграл .

Множественные интегралы и повторные интегралы

Теорема Фубини утверждает, что если ^[4]

\iint _{A\times B}\left|f(x,y)\right|\,d(x,y)<\infty

то есть, если интеграл абсолютно сходится, то кратный интеграл даст тот же результат, что и любой из двух повторных интегралов:

\iint _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy

В частности, это произойдет, если $| f (x, y) |$ — ограниченная функция , а $A$ и $B$ — ограниченные множества .

Если интеграл не является абсолютно сходящимся, необходимо проявлять осторожность, чтобы не путать понятия кратного интеграла и повторного интеграла , тем более, что для обоих понятий часто используется одно и то же обозначение. Обозначение

\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx

означает, в некоторых случаях, повторный интеграл, а не настоящий двойной интеграл. В повторном интеграле внешний интеграл

\int _{0}^{1}\cdots \,dx

представляет собой интеграл по $x$ следующей функции $x$ :

g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy

Двойной интеграл, с другой стороны, определяется относительно площади в плоскости $xy$ . Если двойной интеграл существует, то он равен каждому из двух повторных интегралов (либо " $dy dx$ ", либо " $dx dy$ "), и его часто вычисляют, вычисляя любой из повторных интегралов. Но иногда два повторных интеграла существуют, когда двойной интеграл не существует, и в некоторых таких случаях два повторных интеграла являются разными числами, т. е. один имеет

\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy

Это пример перестановки условно сходящегося интеграла.

С другой стороны, некоторые условия гарантируют, что два повторных интеграла равны, даже если двойной интеграл не обязательно существует. По теореме Фихтенгольца – Лихтенштейна , если $f$ ограничена на $[0, 1] \times [0, 1]$ и оба повторных интеграла существуют, то они равны. Более того, существование внутренних интегралов гарантирует существование внешних интегралов. ^[6]^[7]^[8] Двойной интеграл не обязательно существует в этом случае, даже как интеграл Лебега , согласно Серпинскому . ^[9]

Обозначение

\int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy

может использоваться, если кто-то хочет подчеркнуть, что имеет в виду двойной интеграл, а не повторный интеграл.

Тройной интеграл

Тройной интеграл был продемонстрирован теоремой Фубини. ^[10] Теорема Дрихле и теорема Лиувилля о расширении тройного интеграла.

Некоторые практические приложения

В общем случае, как и в случае с одной переменной, можно использовать кратный интеграл для нахождения среднего значения функции по заданному множеству. Если задано множество $D \subseteq R n$ и интегрируемая функция $f$ по $D$ , среднее значение $f$ по ее области определения определяется как

{\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx

где $m (D)$ — мера D. $$

Кроме того, кратные интегралы используются во многих приложениях в физике . Примеры ниже также показывают некоторые вариации в обозначениях.

В механике момент инерции вычисляется как объемный интеграл (тройной интеграл) плотности, взвешенной с квадратом расстояния от оси:

I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV

Гравитационный потенциал , связанный с распределением массы , заданным мерой массы dm $в$ трехмерном евклидовом пространстве $R 3 ,$ равен ^[11]

V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} )

$Если$ существует непрерывная функция $ρ (x),$ $представляющая$ плотность распределения в точке $x$ , так что $dm (x) =$ $ρ$ $($ $x$ $)$ $d3x$ $,$ где $d3x —$ евклидов элемент объема , то гравитационный потенциал равен

V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y}

В электромагнетизме уравнения Максвелла можно записать с использованием множественных интегралов для вычисления полных магнитных и электрических полей. ^[12] В следующем примере электрическое поле , создаваемое распределением зарядов, заданным объемной плотностью заряда $ρ (r \to),$ получается с помощью тройного интеграла векторной функции:

{\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{3}r'

Это также можно записать в виде интеграла относительно знаковой меры, представляющей распределение заряда.

Смотрите также

Основные теоремы анализа , связывающие кратные интегралы:

Ссылки

^ abc Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: Ранние трансцендентали (6-е изд.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.
^ Ларсон; Эдвардс (2014). Многомерное исчисление (10-е изд.). Cengage Learning. ISBN 978-1-285-08575-3.
^ Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Уолтер Рудин, студенческая серия по высшей математике (3-е изд.). McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
^ ab Jones, Frank (2001). Интеграция Лебега в евклидовом пространстве . Jones and Bartlett. стр. 527–529. ISBN 9780763717087.^{[ ISBN отсутствует ]}
^ Стюарт, Джеймс (2015-05-07). Исчисление, 8-е издание . Cengage Learning. ISBN 978-1285740621.
^ Левин, Джонатан (2003). Интерактивное введение в математический анализ . Кембридж. Раздел 16.6. ISBN 978-1107694040.
^ Левин, Джонатан (1987). «Некоторые приложения теоремы ограниченной сходимости для вводного курса анализа». The American Mathematical Monthly . 94 (10). AMS: 988–993. doi :10.2307/2322609. JSTOR 2322609.
^ Синклер, Джордж Эдвард (1974). «Конечно-аддитивное обобщение теоремы Фихтенгольца–Лихтенштейна». Труды Американского математического общества . 193. AMS: 359–374. doi : 10.2307/1996919 . JSTOR 1996919.
^ Богачев, Владимир И. (2006). Теория меры . Т. 1. Springer. Пункт 3.10.49.^{[ ISBN отсутствует ]}
^ «5.4 Тройные интегралы - Исчисление, том 3 | OpenStax» . openstax.org . 30 марта 2016 года . Проверено 25 августа 2022 г.
^ Киббл, Том У. Б.; Беркшир, Фрэнк Х. (2004). Классическая механика (5-е изд.). Imperial College Press . ISBN 978-1-86094-424-6.
^ Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.

Дальнейшее чтение

Адамс, Роберт А. (2003). Исчисление: Полный курс (5-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-79131-5.
Джейн, РК; Айенгар, СРК (2009). Advanced Engineering Mathematics (3-е изд.). Narosa Publishing House. ISBN 978-81-7319-730-7.
Герман, Эдвин «Джед» и Стрэнг, Гилберт (2016): Исчисление: Том 3 : OpenStax, Университет Райса, Хьюстон, Техас, США. ISBN 978-1-50669-805-2 . (PDF)

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Кратный интеграл». MathWorld .
Л.Д. Кудрявцев (2001) [1994], "Кратный интеграл", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
Математический помощник в Интернете: онлайн-оценка двойных интегралов в декартовых и полярных координатах (включает промежуточные шаги в решении, работающем на базе Maxima (программное обеспечение) )
Онлайн-калькулятор двойных интегралов от WolframAlpha
Онлайн-калькулятор тройного интеграла от WolframAlpha