В математической области теории порядка каждое частично упорядоченное множество P порождает дуальное (или противоположное ) частично упорядоченное множество, которое часто обозначается как P op или P d . Этот дуальный порядок P op определяется как то же самое множество, но с обратным порядком , т. е. x ≤ y выполняется в P op тогда и только тогда, когда y ≤ x выполняется в P . Легко видеть, что эта конструкция, которую можно изобразить, перевернув диаграмму Хассе для P вверх ногами, действительно даст частично упорядоченное множество. В более широком смысле два частично упорядоченных множества также называются дуальными, если они дуально изоморфны , т. е. если одно частично упорядоченное множество порядково изоморфно дуальному множеству другого.
Важность этого простого определения вытекает из того факта, что каждое определение и теорема теории порядка могут быть легко перенесены на дуальный порядок. Формально это фиксируется принципом дуальности для упорядоченных множеств:
Если утверждение или определение эквивалентно своему дуальному, то оно называется самодуальным . Обратите внимание, что рассмотрение дуальных порядков настолько фундаментально, что оно часто неявно происходит при записи ≥ для дуального порядка ≤ без предварительного определения этого «нового» символа.
Естественно, существует множество примеров двойственных понятий:
Примерами самодвойственных понятий являются:
Поскольку частичные порядки антисимметричны , единственными самодвойственными являются отношения эквивалентности (но понятие частичного порядка самодвойственно ).