В математической области теории порядка каждое частично упорядоченное множество P порождает двойственное (или противоположное ) частично упорядоченное множество, которое часто обозначается P op или P d . Этот двойственный порядок P op определяется как тот же набор, но с обратным порядком , т. е. x ≤ y выполняется в P op тогда и только тогда, когда y ≤ x выполняется в P . Легко видеть, что эта конструкция, которую можно изобразить, перевернув диаграмму Хассе для P вверх ногами, действительно дает частично упорядоченное множество. В более широком смысле два частично упорядоченных множества также называются двойственными, если они дуально изоморфны , т. е. если одно частично упорядоченное множество по порядку изоморфно двойственному другому.
Важность этого простого определения проистекает из того факта, что любое определение и теорема теории порядка можно легко перенести на двойственный порядок. Формально это фиксируется принципом двойственности для упорядоченных множеств:
Если утверждение или определение эквивалентно своему двойственному, то оно называется самодвойственным . Обратите внимание, что рассмотрение двойственных порядков настолько фундаментально, что оно часто происходит неявно при написании ≥ для двойственного порядка ≤ без какого-либо предварительного определения этого «нового» символа.
Естественно, существует множество примеров двойственных понятий:
Примеры понятий, которые являются самодвойственными, включают:
Поскольку частичные порядки антисимметричны , самодвойственными являются только отношения эквивалентности (но понятие частичного порядка самодвойственно ).