Электрический дипольный переход

Электрический дипольный переход является доминирующим эффектом взаимодействия электрона в атоме с электромагнитным полем .

Следуя ссылке ^[1] , рассмотрим электрон в атоме с квантовым гамильтонианом , взаимодействующий с плоской электромагнитной волной ${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle {\mathbf {E} }({\mathbf {r} },t)=E_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\cos(ky-\omega t),\ \ \ {\mathbf {B} }({\mathbf {r} },t)=B_{0}{\hat {\mathbf {x} }}\cos(ky-\omega t).}$

Запишите гамильтониан электрона в этом электромагнитном поле как

${\displaystyle H(t)\ =\ H_{0}+W(t).}$

Рассматривая эту систему с помощью теории возмущений, зависящей от времени , можно обнаружить, что наиболее вероятные переходы электрона из одного состояния в другое происходят из-за слагаемого, определяемого как ${\displaystyle W(t)}$

${\displaystyle W_{\mathrm {DE} }(t)={\frac {qE_{0}}{m_{e}\omega }}p_{z}\sin \omega t,\,}$

где и — заряд и масса голого электрона. Электрические дипольные переходы — это переходы между уровнями энергии в системе с гамильтонианом . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m_{e}}$ ${\displaystyle H_{0}+W_{\mathrm {DE} }(t)}$

Между определенными электронными состояниями скорость перехода электрического диполя может быть равна нулю из-за одного или нескольких правил отбора , в частности правила отбора углового момента . В таком случае переход называется запрещенным электрическим диполем , и переходы между такими уровнями должны быть аппроксимированы переходами более высокого порядка .

Следующий порядковый член в определяется как ${\displaystyle W(t)}$

${\displaystyle W_{\mathrm {DM} }(t)={\frac {q}{2m_{e}}}(L_{x}+2S_{x})B_{0}\cos \omega t\,}$

и описывает магнитные дипольные переходы .

Еще меньший вклад в скорости переходов вносят высшие электрические и магнитные мультипольные переходы.

Полуклассический подход

Энергетическая диаграмма модели с тремя состояниями

Один из способов моделирования и понимания воздействия света (в основном электрического поля) на атом — рассмотреть более простую модель, состоящую из трех энергетических уровней. В этой модели мы упростили наш атом до перехода между состоянием с 0 угловым моментом ( , в состояние с угловым моментом 1 ( ). Это может быть, например, переход в водороде между состоянием 1s (основное состояние) и состоянием 2p ( ). ${\displaystyle J_{g}=0)}$ ${\displaystyle J_{e}=1}$ ${\displaystyle n=1,\ell =1}$

Чтобы понять влияние электрического поля на этот упрощенный атом, мы выберем электрическое поле, линейно поляризованное с осью поляризации, параллельной оси перехода , мы называем эту ось осью . Это предположение не имеет реальной потери общности. Фактически, если бы мы выбрали другую ось, то мы смогли бы найти другое состояние, которое было бы линейной комбинацией предыдущих состояний, которые были бы параллельны электрическому полю, возвращая нас к этому предположению о линейно поляризованном электрическом поле, параллельном оси перехода. ${\displaystyle |g\rangle }$ ${\displaystyle |e\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$

Имея это в виду, мы можем ограничиться только переходом от к . Мы будем использовать электрическое поле, которое можно записать как , где — ось перехода, — угловая частота света, входящего в атом (представьте себе лазер, излучаемый в атом), — фаза света, которая может зависеть от положения, и — амплитуда лазерного света. ${\displaystyle |g\rangle }$ ${\displaystyle |e\rangle }$ ${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},t)={\hat {z}}{\mathcal {E}}({\vec {r}})\cos(wt-\phi ({\vec {r}}))}$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Теперь главный вопрос, который мы хотим решить, — какова средняя сила, ощущаемая атомом при таком свете? Нас интересует, что представляет среднюю силу, ощущаемую атомом. Здесь скобки представляют собой среднее значение по всем внутренним состояниям атома (в квантовой манере), а черта представляет собой временное среднее значение в классической манере. представляет собой потенциал, обусловленный электрическим диполем атома. ${\displaystyle f={\overline {\langle {\hat {F}}\rangle }}={\overline {\langle -\nabla {\hat {V}}_{e.d.}({\hat {r}},t)\rangle }}}$ ${\displaystyle {\hat {V}}_{e.d.}}$

Этот потенциал можно далее записать как где — оператор дипольного перехода. ${\displaystyle {\hat {V}}_{e.d}=-{\hat {D}}\cdot {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\hat {D}}}$

Причина, по которой мы используем модель с двумя состояниями, заключается в том, что она позволяет нам явно записать оператор дипольного перехода как , и таким образом мы получаем ${\displaystyle {\hat {D}}=d_{0}(|e\rangle \langle g|+|g\rangle \langle e|)}$

${\displaystyle {\hat {V}}_{e.d}=-d_{0}{\mathcal {E}}({\hat {\vec {r}}})(|e\rangle \langle g|+|g\rangle \langle e|)\cos(\omega t-\phi ({\hat {\vec {r}}}))=-d_{0}{\mathcal {E}}({\hat {\vec {r}}})({\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-})\cos(\omega t-\phi ({\hat {\vec {r}}}))}$.

Затем

${\displaystyle f({\vec {r}})={\overline {\langle d_{0}({\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-})\nabla [{\mathcal {E}}({\vec {r}})\cos(\omega t-\phi ({\hat {\vec {r}}})]\rangle }}={\overline {d({\vec {r}},t)\nabla {\mathcal {E}}({\vec {r}},t)}}={\overline {f({\vec {r}},t)}}}$.

Полуклассический подход означает, что мы записываем дипольный момент как поляризуемость атома, умноженную на электрическое поле:

${\displaystyle d({\vec {r}},t)=\alpha (\omega ){\mathcal {E}}({\vec {r}},t)}$

И как таковые и таким образом , и как таковые мы имеем . ${\displaystyle f({\vec {r}},t)=\alpha (\omega ){\mathcal {E}}({\vec {r}},t)\nabla {\mathcal {E}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{2}}\alpha (\omega )\nabla {\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}},t)}$ ${\displaystyle f({\vec {r}})=\nabla [{\frac {1}{2}}\alpha (\omega ){\overline {{\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}},t)}}]=\nabla [{\frac {1}{4}}\alpha (\omega ){\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}})]}$ ${\displaystyle V_{e.d}=-{\frac {1}{4}}\alpha (\omega ){\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}})}$

Прежде чем углубляться в математику и пытаться найти более явное выражение для константы пропорциональности , есть важный аспект, который нам нужно обсудить. А именно, мы обнаружили, что потенциал, ощущаемый атомом в индуцированном светом потенциале, следует квадрату усредненного по времени электрического поля. Это важно для многих экспериментальных физиков в физике холодных атомов, где физики используют этот факт, чтобы понять, какой потенциал приложен к атомам, используя известную интенсивность лазерного света, приложенного к атомам, поскольку интенсивность света сама по себе пропорциональна квадрату усредненного по времени электрического поля, т. е . . ${\displaystyle \alpha (\omega )}$ ${\displaystyle I\propto {\overline {{\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}},t)}}}$

Теперь давайте рассмотрим, как получить выражение поляризуемости . ${\displaystyle \alpha (\omega )}$

Для этого мы воспользуемся формализмом матрицы плотности и оптическими уравнениями Блоха .

Основная идея здесь заключается в том, что недиагональные элементы матрицы плотности можно записать как и ; и ${\displaystyle \rho _{eg}=Tr({\hat {\sigma }}_{-}{\hat {\rho }})}$ ${\displaystyle \rho _{ge}=Tr({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {\rho }})}$

${\displaystyle d({\vec {r}},t)=Tr({\hat {D}}{\hat {\rho }}(t))=Tr(d_{0}({\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-})\rho (t))=d_{0}[Tr({\hat {\sigma }}_{+}\rho (t))+Tr({\hat {\sigma }}_{-}\rho (t))]=d_{0}(\rho _{ge}+\rho _{eg})}$

Вот здесь нам пригодятся оптические уравнения Блоха, они дают нам уравнение для понимания динамики матрицы плотности.

Действительно, у нас есть:

${\displaystyle {\frac {d{\hat {\rho }}(t)}{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {H}},\rho ]}$что объясняет обратимую нормальную квантовую эволюцию матрицы плотности.

и еще один термин, описывающий спонтанные излучения атома:

${\displaystyle {\frac {d{\hat {\rho }}_{eg}(t)}{dt}}=-{\frac {\Gamma }{2}}{\hat {\rho }}_{eg},{\frac {d{\hat {\rho }}_{ge}(t)}{dt}}=-{\frac {\Gamma }{2}}{\hat {\rho }}_{ge}}$

Где наш полуклассический гамильтониан. Он записывается как . А . представляет собой ширину линии перехода, и таким образом вы можете видеть как период полураспада данного перехода. ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega _{0}|e\rangle \langle e|+V_{e.d.}}$ ${\displaystyle \Gamma ={\frac {d_{0}^{2}\omega _{0}^{3}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ^{-1}}$

Давайте введем частоту Раби : ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \hbar \Omega =-d_{0}{\mathcal {E}}({\vec {r}})}$

Тогда мы можем записать оптические уравнения Блоха для и : ${\displaystyle \rho _{eg}}$ ${\displaystyle \rho _{ge}}$

Для этой части мы берем уравнение эволюции и берем матричные элементы. Получаем: ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle i\hbar {\frac {d{\hat {\rho }}_{eg}(t)}{dt}}=\hbar (\omega _{0}-i{\frac {\Gamma }{2}})\rho _{eg}-d_{0}{\mathcal {E}}({\vec {r}},t)(\rho _{gg}-\rho _{ee})}$

Мы можем получить уравнение для , взяв его комплексно сопряженное. ${\displaystyle \rho _{ge}}$

Затем мы можем повторить процесс для всех 4 матричных элементов, но в нашем исследовании мы применим приближение малого поля, так что электрическое поле будет достаточно малым, чтобы мы могли разделить 4 уравнения. Это приближение математически записывается с использованием частоты Раби как:

${\displaystyle \Omega \ll |\Delta |,\Gamma }$, с . ${\displaystyle \Delta =\omega -\omega _{0}}$

Тогда мы можем пренебречь , и установить . Действительно, идея, стоящая за этим, заключается в том, что если атом не видит никакого света, то в приближении первой степени в , атом будет находиться в основном состоянии, а не в возбужденном состоянии, заставляя нас установить , . ${\displaystyle \rho _{ee}=0}$ ${\displaystyle \rho _{gg}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \rho _{ee}=0}$ ${\displaystyle \rho _{gg}=1}$

Затем мы можем переписать уравнение эволюции следующим образом:

${\displaystyle {\frac {d{\hat {\rho }}_{eg}(t)}{dt}}=-(i\omega _{0}+{\frac {\Gamma }{2}})\rho _{eg}-i\Omega \cos(wt-\phi )}$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с неоднородным членом в косинусах. Его можно легко решить, используя формулу Эйлера для косинуса.

Получаем следующее решение:

${\displaystyle \rho _{eg}(t)=\Omega /2{\bigg (}{\frac {e^{-i(\omega t-\phi )}}{\omega -\omega _{0}+i\Gamma /2}}-{\frac {e^{i(\omega t-\phi )}}{\omega +\omega _{0}-i\Gamma /2}}{\bigg )}}$

Более того, если мы говорим, что расстройка намного больше, чем , то, конечно, сумма обоих также намного больше, чем , и мы можем переписать предыдущее уравнение как: ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \omega ,\omega _{0}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \rho _{eg}(t)=\Omega /2{\bigg (}{\frac {e^{-i(\omega t-\phi )}}{\omega -\omega _{0}}}-{\frac {e^{i(\omega t-\phi )}}{\omega +\omega _{0}}}{\bigg )}}$

и

${\displaystyle \rho _{ge}(t)=\Omega /2{\bigg (}{\frac {e^{i(\omega t-\phi )}}{\omega -\omega _{0}}}-{\frac {e^{-i(\omega t-\phi )}}{\omega +\omega _{0}}}{\bigg )}}$

И возвращаясь к нашему среднему дипольному моменту:

${\displaystyle d(t)=d_{0}\Omega /{\overline {\Delta }}\cos(\omega t-\phi )=-{\frac {d_{0}^{2}{\mathcal {E}}({\vec {r}})}{\hbar {\overline {\Delta }}}}\cos(\omega t-\phi )}$с ${\displaystyle {\frac {1}{\overline {\Delta }}}={\frac {1}{\omega -\omega _{0}}}-{\frac {1}{\omega +\omega _{0}}}}$

Тогда ясно, что , и поляризуемость становится . ${\displaystyle d(t)=-{\frac {d_{0}^{2}}{\hbar {\overline {\Delta }}}}{\mathcal {E}}({\vec {r}},t)}$ ${\displaystyle \alpha (\omega )=-{\frac {d_{0}^{2}}{\hbar {\overline {\Delta }}}}}$

Наконец, мы можем записать потенциал, ощущаемый атомом вследствие электрического дипольного взаимодействия, как:

${\displaystyle V_{e.d.}({\vec {r}})={\frac {d_{0}^{2}}{4\hbar {\overline {\Delta }}}}{\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}})}$

Существенные моменты, которые стоит здесь обсудить, как уже говорилось ранее, заключаются в том, что интенсивность света лазера создает пропорциональный локальный потенциал, который атомы «чувствуют» в этой области. Более того, теперь мы можем определить знак такого потенциала. Мы видим, что он следует за знаком , который в свою очередь следует за знаком расстройки. Это означает, что потенциал является притягивающим, если у нас есть красный расстроенный лазер ( ), и отталкивающим, если у нас есть синий расстроенный лазер ( ). ${\displaystyle I\propto {\overline {{\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}},t)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}}$ ${\displaystyle \omega <\omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega >\omega _{0}}$

Смотрите также

• Диполь
• Электрический дипольный момент
• Электромагнетизм
• Магнитно-дипольный переход

Ссылки

1. «Теория возмущений, зависящих от времени».