Вычислительная электродинамика ( ВЭМ ), вычислительная электродинамика или электромагнитное моделирование — это процесс моделирования взаимодействия электромагнитных полей с физическими объектами и окружающей средой с использованием компьютеров.
Обычно это включает использование компьютерных программ для вычисления приближенных решений уравнений Максвелла для расчета производительности антенны , электромагнитной совместимости , эффективной площади рассеяния радара и распространения электромагнитных волн , когда они не находятся в свободном пространстве. Большое подразделение — это компьютерные программы моделирования антенн , которые вычисляют диаграмму направленности и электрические свойства радиоантенн и широко используются для проектирования антенн для конкретных приложений.
Несколько реальных электромагнитных проблем, таких как электромагнитное рассеяние , электромагнитное излучение , моделирование волноводов и т. д., не поддаются аналитическому расчету из-за множества нерегулярных геометрий, встречающихся в реальных устройствах. Вычислительные численные методы могут преодолеть невозможность вывести замкнутые решения уравнений Максвелла при различных конститутивных соотношениях сред и граничных условиях . Это делает вычислительную электродинамику (CEM) важной для проектирования и моделирования антенн, радаров, спутников и других систем связи, нанофотонных устройств и высокоскоростной кремниевой электроники, медицинской визуализации , проектирования антенн сотовых телефонов и других приложений.
CEM обычно решает задачу вычисления полей E (электрических) и H (магнитных) в проблемной области (например, для расчета диаграммы направленности антенны для антенной структуры произвольной формы). Также вычисление направления потока мощности ( вектора Пойнтинга ), нормальных мод волновода , дисперсии волн, генерируемых средой, и рассеяния может быть вычислено из полей E и H. Модели CEM могут предполагать или не предполагать симметрию , упрощая реальные структуры до идеализированных цилиндров , сфер и других регулярных геометрических объектов. Модели CEM широко используют симметрию и решают для уменьшенной размерности с 3 пространственных измерений до 2D и даже 1D.
Формулировка задачи на собственные значения CEM позволяет нам вычислять нормальные моды установившегося состояния в конструкции. Переходный отклик и эффекты импульсного поля более точно моделируются CEM во временной области, с помощью FDTD . Изогнутые геометрические объекты более точно обрабатываются как конечные элементы FEM или неортогональные сетки. Метод распространения пучка (BPM) может решать для потока мощности в волноводах. CEM специфичен для приложения, даже если разные методы сходятся к одному и тому же распределению поля и мощности в моделируемой области.
Наиболее распространенный численный подход заключается в дискретизации («сетке») проблемного пространства в терминах сеток или регулярных форм («ячеек») и решении уравнений Максвелла одновременно по всем ячейкам. Дискретизация потребляет память компьютера, а решение соответствующих уравнений занимает значительное время. Крупномасштабные задачи CEM сталкиваются с ограничениями памяти и процессора, и борьба с этими ограничениями является активной областью исследований. Высокопроизводительная кластеризация, векторная обработка и/или параллелизм часто требуются для того, чтобы сделать вычисления практичными. Некоторые типичные методы включают: пошаговое выполнение уравнений по всей области для каждого момента времени; ленточная матричная инверсия для вычисления весов базисных функций (при моделировании методами конечных элементов); матричные произведения (при использовании методов матриц переноса); вычисление числовых интегралов (при использовании метода моментов ); использование быстрых преобразований Фурье ; и итерации по времени (при вычислении методом расщепления по шагам или BPM).
Выбор правильного метода решения проблемы важен, так как неправильный может привести либо к неверным результатам, либо к результатам, вычисления которых займут слишком много времени. Однако название метода не всегда говорит о том, как он реализован, особенно в коммерческих инструментах, которые часто имеют более одного решателя.
Дэвидсон [1] приводит две таблицы, сравнивающие методы FEM, MoM и FDTD в том виде, в котором они обычно реализуются. Одна таблица предназначена для обеих открытых областей (проблемы излучения и рассеяния), а другая — для задач направленных волн.
Уравнения Максвелла можно сформулировать как гиперболическую систему уравнений с частными производными . Это дает доступ к мощным методам численных решений.
Предполагается, что волны распространяются в плоскости ( x , y ) и ограничивают направление магнитного поля параллельно оси z , а следовательно, и электрического поля параллельно плоскости ( x , y ). Волна называется поперечной магнитной (TM) волной. В двумерном пространстве и без учета поляризационных членов уравнения Максвелла можно сформулировать следующим образом: где u , A , B и C определяются как
В этом представлении есть функция принуждения , и находится в том же пространстве, что и . Его можно использовать для выражения внешнего приложенного поля или для описания ограничения оптимизации . Как сформулировано выше:
может также быть явно определен равным нулю для упрощения определенных задач или для нахождения характеристического решения , что часто является первым шагом в методе нахождения конкретного неоднородного решения.
Дискретное дипольное приближение — это гибкий метод вычисления рассеяния и поглощения целями произвольной геометрии . Формулировка основана на интегральной форме уравнений Максвелла. DDA — это приближение непрерывной цели конечным массивом поляризуемых точек. Точки приобретают дипольные моменты в ответ на локальное электрическое поле. Диполи, конечно, взаимодействуют друг с другом через свои электрические поля, поэтому DDA также иногда называют приближением связанных диполей . Полученная линейная система уравнений обычно решается с использованием итераций сопряженного градиента . Матрица дискретизации имеет симметрии (интегральная форма уравнений Максвелла имеет форму свертки), что позволяет быстрому преобразованию Фурье умножать матрицу на вектор во время итераций сопряженного градиента.
Метод моментов (MoM) [2] или метод граничных элементов (BEM) — это численный вычислительный метод решения линейных уравнений в частных производных, которые были сформулированы как интегральные уравнения (т.е. в форме граничного интеграла ). Он может применяться во многих областях техники и науки, включая механику жидкости , акустику , электромагнетизм , механику разрушения и пластичность .
MoM стал более популярным с 1980-х годов. Поскольку он требует вычисления только граничных значений, а не значений по всему пространству, он значительно более эффективен с точки зрения вычислительных ресурсов для задач с малым отношением поверхности к объему. Концептуально он работает путем построения «сетки» по моделируемой поверхности. Однако для многих задач MoM значительно менее эффективен в вычислительном отношении, чем методы дискретизации объема ( метод конечных элементов , метод конечных разностей , метод конечных объемов ). Формулировки граничных элементов обычно приводят к полностью заполненным матрицам. Это означает, что требования к хранению и вычислительное время будут иметь тенденцию расти в соответствии с квадратом размера задачи. Напротив, матрицы конечных элементов обычно являются полосчатыми (элементы связаны только локально), а требования к хранению для системных матриц обычно растут линейно с размером задачи. Для решения этих проблем можно использовать методы сжатия ( например, многополюсные разложения или адаптивную перекрестную аппроксимацию/иерархические матрицы), хотя это сопряжено с дополнительным усложнением и с вероятностью успеха, которая в значительной степени зависит от характера и геометрии задачи.
MoM применим к задачам, для которых можно рассчитать функции Грина . Обычно они включают поля в линейных однородных средах. Это накладывает значительные ограничения на диапазон и общность задач, подходящих для граничных элементов. Нелинейности могут быть включены в формулировку, хотя они обычно вводят объемные интегралы, которые требуют дискретизации объема перед решением, устраняя часто упоминаемое преимущество MoM.
Быстрый мультипольный метод (FMM) является альтернативой MoM или суммированию Эвальда. Это точный метод моделирования, требующий меньше памяти и мощности процессора, чем MoM. FMM был впервые представлен Грингардом и Рохлиным [3] [4] и основан на методе мультипольного расширения . Первое применение FMM в вычислительной электродинамике было сделано Энгетой и др. (1992). [5] FMM также применяется в вычислительной биоэлектродинамике в методе быстрого мультиполя на основе граничных элементов заряда . FMM также может использоваться для ускорения MoM.
В то время как быстрый мультипольный метод полезен для ускорения решений MoM интегральных уравнений со статическими или частотными колебательными ядрами, алгоритм плоских волн во временной области (PWTD) использует схожие идеи для ускорения решения MoM интегральных уравнений во временной области, включающих запаздывающий потенциал . Алгоритм PWTD был представлен в 1998 году Эргином, Шанкером и Михильссеном. [6]
Эквивалентная схема с парциальным элементом (PEEC) — это трехмерный метод полноволнового моделирования, подходящий для комбинированного электромагнитного и схемного анализа. В отличие от MoM, PEEC — это метод полного спектра, действительный от постоянного тока до максимальной частоты, определяемой сеткой. В методе PEEC интегральное уравнение интерпретируется как закон напряжения Кирхгофа , примененный к базовой ячейке PEEC, что приводит к полному решению схемы для трехмерных геометрий. Формулировка эквивалентной схемы позволяет легко включать дополнительные элементы схемы типа SPICE . Кроме того, модели и анализ применяются как к временной, так и к частотной области. Уравнения схемы, полученные из модели PEEC, легко строятся с использованием формулировки модифицированного анализа контуров (MLA) или модифицированного узлового анализа (MNA). Помимо предоставления решения по постоянному току, он имеет несколько других преимуществ по сравнению с анализом MoM для этого класса задач, поскольку любой тип элемента схемы может быть включен простым способом с соответствующими матричными штампами. Метод PEEC недавно был расширен для включения неортогональных геометрий. [7] Это расширение модели, которое согласуется с классической ортогональной формулировкой, включает манхэттенское представление геометрий в дополнение к более общим четырехугольным и шестигранным элементам. Это помогает свести количество неизвестных к минимуму и, таким образом, сокращает время вычислений для неортогональных геометрий. [8]
Метод моментов Каньяра-деХупа (CdH-MoM) представляет собой трехмерный метод интегральных уравнений во временной области для всех волн, который формулируется с помощью теоремы взаимности Лоренца . Поскольку CdH-MoM в значительной степени опирается на метод Каньяра-деХупа , подход совместного преобразования, первоначально разработанный для аналитического анализа распространения сейсмических волн в модели земной коры, этот подход хорошо подходит для анализа TD EM плоскослоистых структур. Первоначально CdH-MoM применялся для исследований характеристик во временной области цилиндрических и плоских антенн [9], а в последнее время — для анализа рассеяния TD EM линий передачи в присутствии тонких листов [10] и электромагнитных метаповерхностей, [11] [12] , например.
Конечно-разностная частотная область (FDFD) обеспечивает строгое решение уравнений Максвелла в частотной области с использованием метода конечных разностей. [13] FDFD, возможно, является самым простым численным методом, который все еще обеспечивает строгое решение. Он невероятно универсален и способен решить практически любую задачу в электромагнетизме. Основным недостатком FDFD является низкая эффективность по сравнению с другими методами. Однако на современных компьютерах легко решается огромный массив задач, таких как расчет направленных мод в волноводах, расчет рассеяния от объекта, расчет пропускания и отражения от фотонных кристаллов, расчет фотонных зонных диаграмм, моделирование метаматериалов и многое другое.
FDFD может быть лучшим "первым" методом для изучения вычислительной электродинамики (CEM). Он включает в себя почти все концепции, встречающиеся в других методах, но в гораздо более простой структуре. Концепции включают граничные условия, линейную алгебру, ввод источников, численное представление устройств и постобработку полевых данных для вычисления значимых вещей. Это поможет человеку изучить другие методы, а также предоставит способ проверки и сравнения этих других методов.
FDFD очень похож на конечно-разностный метод во временной области (FDTD). Оба метода представляют пространство как массив точек и применяют уравнения Максвелла в каждой точке. FDFD помещает этот большой набор уравнений в матрицу и решает все уравнения одновременно, используя методы линейной алгебры. Напротив, FDTD непрерывно перебирает эти уравнения, чтобы со временем найти решение. Численно FDFD и FDTD очень похожи, но их реализации сильно различаются.
Конечно-разностный метод во временной области (FDTD) — популярный метод CEM. Его легко понять. Он имеет исключительно простую реализацию для решателя полной волны. Реализация базового решателя FDTD требует как минимум на порядок меньше работы, чем решателя FEM или MoM. FDTD — единственный метод, в котором один человек может реалистично реализовать себя в разумные сроки, но даже в этом случае это будет для довольно специфической проблемы. [1] Поскольку это метод во временной области, решения могут охватывать широкий диапазон частот за один прогон моделирования, при условии, что временной шаг достаточно мал, чтобы удовлетворить теореме выборки Найквиста–Шеннона для желаемой наивысшей частоты.
FDTD принадлежит к общему классу методов численного моделирования на основе сеток и дифференциальных уравнений во временной области. Уравнения Максвелла (в форме частных производных ) модифицируются в центрально-разностные уравнения, дискретизируются и реализуются в программном обеспечении. Уравнения решаются циклическим образом: электрическое поле решается в заданный момент времени, затем магнитное поле решается в следующий момент времени, и процесс повторяется снова и снова.
Базовый алгоритм FDTD восходит к основополагающей статье 1966 года Кейна Йи в IEEE Transactions on Antennas and Propagation . Аллен Тафлов создал дескриптор «Конечно-разностная временная область» и соответствующую ему аббревиатуру «FDTD» в статье 1980 года в IEEE Trans. Electromagn. Compat. Примерно с 1990 года методы FDTD стали основным средством моделирования многих научных и инженерных задач, связанных с взаимодействием электромагнитных волн с материальными структурами. Эффективная методика, основанная на процедуре дискретизации конечного объема во временной области, была предложена Мохаммадьяном и др. в 1991 году. [14] Текущие приложения моделирования FDTD варьируются от почти постоянного тока (сверхнизкочастотная геофизика, охватывающая весь волновод Земля -ионосфера ) через микроволны (технология сигнатуры радара, антенны, беспроводные устройства связи, цифровые соединения, биомедицинская визуализация/лечение) до видимого света ( фотонные кристаллы , наноплазмоника, солитоны и биофотоника ). Доступно около 30 коммерческих и разработанных университетами программных пакетов.
Среди многих методов временной области метод разрывного временного домена Галеркина (DGTD) стал популярным в последнее время, поскольку он объединяет преимущества как метода конечного объема временной области (FVTD), так и метода конечного элемента временной области (FETD). Как и FVTD, числовой поток используется для обмена информацией между соседними элементами, поэтому все операции DGTD являются локальными и легко распараллеливаемыми. Подобно FETD, DGTD использует неструктурированную сетку и способен обеспечивать точность высокого порядка, если принята иерархическая базисная функция высокого порядка. Благодаря вышеуказанным достоинствам метод DGTD широко применяется для анализа переходных процессов многомасштабных задач, включающих большое количество неизвестных. [15] [16]
MRTD — это адаптивная альтернатива методу конечных разностей во временной области (FDTD), основанная на вейвлет -анализе.
Метод конечных элементов (МКЭ) используется для поиска приближенного решения уравнений в частных производных (УЧП) и интегральных уравнений . Подход к решению основан либо на полном исключении производных по времени (задачи стационарного состояния), либо на преобразовании УЧП в эквивалентное обыкновенное дифференциальное уравнение , которое затем решается с использованием стандартных методов, таких как конечные разности и т. д.
При решении уравнений с частными производными основная задача состоит в создании уравнения, которое аппроксимирует изучаемое уравнение, но которое является численно устойчивым , что означает, что ошибки во входных данных и промежуточных вычислениях не накапливаются и не разрушают смысл полученного результата. Существует много способов сделать это, с различными преимуществами и недостатками. Метод конечных элементов является хорошим выбором для решения уравнений с частными производными в сложных областях или когда желаемая точность варьируется по всей области.
Метод конечного интегрирования (FIT) представляет собой схему пространственной дискретизации для численного решения задач электромагнитного поля во временной и частотной областях. Он сохраняет основные топологические свойства непрерывных уравнений, такие как сохранение заряда и энергии. FIT был предложен в 1977 году Томасом Вейландом и постоянно совершенствовался на протяжении многих лет. [17] Этот метод охватывает весь спектр электромагнетизма (от статики до высоких частот) и оптических приложений и является основой для коммерческих инструментов моделирования: CST Studio Suite, разработанный Computer Simulation Technology (CST AG), и решений Electromagnetic Simulation, разработанных Nimbic .
Основная идея этого подхода заключается в применении уравнений Максвелла в интегральной форме к набору смещенных сеток. Этот метод выделяется высокой гибкостью в геометрическом моделировании и обработке границ, а также включением произвольных распределений материалов и свойств материалов, таких как анизотропия , нелинейность и дисперсия. Кроме того, использование последовательной двойной ортогональной сетки (например, декартовой сетки ) в сочетании с явной схемой временной интеграции (например, схемой leap-frog) приводит к вычислительным и эффективным по памяти алгоритмам, которые особенно адаптированы для анализа переходных полей в радиочастотных (РЧ) приложениях.
Этот класс вычислительных методов, идущих во времени, для уравнений Максвелла использует либо дискретные преобразования Фурье, либо дискретные преобразования Чебышева для вычисления пространственных производных компонент векторов электрического и магнитного поля, которые расположены либо в двумерной сетке, либо в трехмерной решетке элементарных ячеек. PSTD вызывает незначительные числовые ошибки анизотропии фазовой скорости по сравнению с FDTD и, следовательно, позволяет моделировать проблемы гораздо большего электрического размера. [18]
PSSD решает уравнения Максвелла, распространяя их вперед в выбранном пространственном направлении. Таким образом, поля удерживаются как функция времени и (возможно) любых поперечных пространственных измерений. Метод является псевдоспектральным, поскольку временные производные вычисляются в частотной области с помощью БПФ. Поскольку поля удерживаются как функции времени, это позволяет быстро и точно моделировать произвольную дисперсию в среде распространения с минимальными усилиями. [19] Однако выбор распространения вперед в пространстве (а не во времени) влечет за собой некоторые тонкости, особенно если важны отражения. [20]
Матрица линии передачи (TLM) может быть сформулирована несколькими способами как прямой набор сосредоточенных элементов, решаемых непосредственно решателем цепей (например, SPICE, HSPICE и др.), как пользовательская сеть элементов или с помощью подхода матрицы рассеяния . TLM — очень гибкая стратегия анализа, схожая по возможностям с FDTD, хотя больше кодов, как правило, доступны с движками FDTD.
Это неявный метод. В этом методе в двумерном случае уравнения Максвелла вычисляются в два этапа, тогда как в трехмерном случае уравнения Максвелла делятся на три пространственных координатных направления. Анализ устойчивости и дисперсии трехмерного метода LOD-FDTD был подробно рассмотрен. [21] [22]
Разложение собственных мод (Eigenmode extension, EME) — это строгий двунаправленный метод моделирования распространения электромагнитных волн, основанный на разложении электромагнитных полей в базисный набор локальных собственных мод. Собственные моды находятся путем решения уравнений Максвелла в каждом локальном поперечном сечении. Разложение собственных мод может решать уравнения Максвелла в 2D и 3D и может обеспечить полностью векторное решение при условии, что решатели мод являются векторными. Он предлагает очень сильные преимущества по сравнению с методом FDTD для моделирования оптических волноводов и является популярным инструментом для моделирования волоконной оптики и кремниевых фотонных устройств.
Физическая оптика (ПО) — название высокочастотного приближения (коротковолнового приближения ) , обычно используемого в оптике, электротехнике и прикладной физике . Это промежуточный метод между геометрической оптикой, которая игнорирует волновые эффекты, и полноволновым электромагнетизмом , который является точной теорией . Слово «физический» означает, что он более физичен, чем геометрическая оптика , а не то, что он является точной физической теорией.
Приближение состоит из использования лучевой оптики для оценки поля на поверхности и последующего интегрирования этого поля по поверхности для вычисления переданного или рассеянного поля. Это напоминает приближение Борна , в котором детали проблемы рассматриваются как возмущение .
Равномерная теория дифракции (ЕТД) представляет собой высокочастотный метод решения задач электромагнитного рассеяния на электрически малых разрывах или разрывах в более чем одном измерении в одной и той же точке.
Единая теория дифракции аппроксимирует электромагнитные поля ближнего поля как квазиоптические и использует дифракцию лучей для определения коэффициентов дифракции для каждой комбинации дифрагирующего объекта и источника. Затем эти коэффициенты используются для расчета напряженности поля и фазы для каждого направления от дифрагирующей точки. Затем эти поля добавляются к падающим полям и отраженным полям для получения общего решения.
Валидация — одна из ключевых проблем, с которыми сталкиваются пользователи электромагнитного моделирования. Пользователь должен понимать и осваивать область валидности своего моделирования. Мера — «насколько далеки результаты от реальности?»
Ответ на этот вопрос включает три этапа: сравнение результатов моделирования с аналитической формулой, перекрестное сравнение между кодами и сравнение результатов моделирования с измерениями.
Например, оценка значения эффективной площади рассеяния пластины с помощью аналитической формулы: где A — площадь поверхности пластины, а — длина волны. Следующая кривая, представляющая эффективную площадь рассеяния пластины, рассчитанную на частоте 35 ГГц, может быть использована в качестве справочного примера.
Одним из примеров является перекрестное сравнение результатов метода моментов и асимптотических методов в областях их применимости. [23]
Последний шаг проверки выполняется путем сравнения измерений и моделирования. Например, расчет RCS [24] и измерение [25] сложного металлического объекта на частоте 35 ГГц. Расчет реализует GO, PO и PTD для краев.
Процессы валидации могут четко показать, что некоторые различия можно объяснить различиями между экспериментальной установкой и ее воспроизведением в среде моделирования. [26]
В настоящее время существует множество эффективных кодов для решения задач электромагнитного рассеяния. Они перечислены как:
Аналитические решения, такие как решение Ми для рассеяния сферами или цилиндрами, можно использовать для проверки более сложных методов.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {u}}&=\left({\begin{matrix}E_{x}\\E_{y}\\H_{z}\end{matrix}}\right),\\[1ex]A&=\left({\begin{matrix}0&0&0\\0&0&{\frac {1}{\epsilon }}\\0&{\frac {1}{\mu }}&0\end{matrix}}\right),\\[1ex]B&=\left({\begin{matrix}0&0&{\frac {-1}{\epsilon }}\\0&0&0\\{\frac {-1}{\mu }}&0&0\end{matrix}}\right),\\[1ex]C&=\left({\begin{matrix}{\frac {\sigma }{\epsilon }}&0&0\\0&{\frac {\sigma }{\epsilon }}&0\\0&0&0\end{matrix}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41523398447a19e2ea2e1aedb1bcbb1cf5c93186)
