Эллиптическая система координат

Двумерная система координат, координатные линии которой представляют собой софокусные эллипсы и гиперболы

Эллиптическая система координат

В геометрии эллиптическая система координат — это двумерная ортогональная система координат , в которой координатные линии — это софокусные эллипсы и гиперболы . Два фокуса и обычно считаются фиксированными в и , соответственно, на оси декартовой системы координат . ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle +a}$ ${\displaystyle x}$

Основное определение

Наиболее распространенное определение эллиптических координат : ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \\y&=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{aligned}}}$

где - неотрицательное действительное число и ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu \in [0,2\pi ].}$

На комплексной плоскости эквивалентное отношение имеет вид

${\displaystyle x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu )}$

Эти определения соответствуют эллипсам и гиперболам. Тригонометрическое тождество

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

показывает, что кривые постоянной формы имеют форму эллипса , тогда как гиперболическое тригонометрическое тождество ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

показывает, что кривые постоянной формы имеют вид гиперболы . ${\displaystyle \nu }$

Масштабные факторы

В ортогональной системе координат длины базисных векторов известны как масштабные коэффициенты. Масштабные коэффициенты для эллиптических координат равны ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a{\sqrt {\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}.}$

Используя тождества двойного аргумента для гиперболических функций и тригонометрических функций , масштабные коэффициенты можно эквивалентно выразить как

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}.}$

Следовательно, бесконечно малый элемент площади равен

${\displaystyle {\begin{aligned}dA&=h_{\mu }h_{\nu }d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)d\mu d\nu \end{aligned}}}$

и Лапласиан читается как

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi &={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\\&={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как и , могут быть выражены в координатах путем подстановки масштабных множителей в общие формулы, найденные в ортогональных координатах . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

Альтернативное определение

Иногда используется альтернативный и геометрически интуитивный набор эллиптических координат , где и . Таким образом, кривые константы являются эллипсами, тогда как кривые константы являются гиперболами. Координата должна принадлежать интервалу [-1, 1], тогда как координата должна быть больше или равна единице. ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ ${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$ ${\displaystyle \tau =\cos \nu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$

Координаты имеют простую связь с расстояниями до фокусов и . Для любой точки плоскости сумма ее расстояний до фокусов равна , тогда как их разность равна . Таким образом, расстояние до равно , тогда как расстояние до равно . (Напомним, что и расположены в точках и соответственно.) ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$ ${\displaystyle 2a\sigma }$ ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$ ${\displaystyle 2a\tau }$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle x=-a}$ ${\displaystyle x=+a}$

Недостатком этих координат является то, что точки с декартовыми координатами (x,y) и (x,-y) имеют одинаковые координаты , поэтому преобразование в декартовы координаты является не функцией, а мультифункцией . ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle x=a\left.\sigma \right.\tau }$

${\displaystyle y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right).}$

Альтернативные масштабные коэффициенты

Масштабные коэффициенты для альтернативных эллиптических координат равны ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.}$

Следовательно, бесконечно малый элемент площади становится

${\displaystyle dA=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau }$

и Лапласиан равен

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].}$

Другие дифференциальные операторы, такие как и , могут быть выражены в координатах путем подстановки масштабных множителей в общие формулы, найденные в ортогональных координатах . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

Экстраполяция на более высокие измерения

Эллиптические координаты составляют основу нескольких наборов трехмерных ортогональных координат :

1. Эллиптические цилиндрические координаты получаются путем проецирования в направлении . ${\displaystyle z}$
2. Вытянутые сфероидальные координаты получаются путем вращения эллиптических координат вокруг оси, т. е. оси, соединяющей фокусы, тогда как сплющенные сфероидальные координаты получаются путем вращения эллиптических координат вокруг оси, т. е. оси, разделяющей фокусы. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
3. Эллипсоидальные координаты представляют собой формальное расширение эллиптических координат в трехмерном пространстве, основанное на софокусных эллипсоидах, однополостных и двуполостных гиперболоидах.

Обратите внимание, что (эллипсоидальная) географическая система координат — это понятие, отличное от приведенного выше.

Приложения

Классические применения эллиптических координат заключаются в решении уравнений с частными производными , например, уравнения Лапласа или уравнения Гельмгольца , для которых эллиптические координаты являются естественным описанием системы, что позволяет разделить переменные в уравнениях с частными производными . Некоторые традиционные примеры — это решение систем, таких как электроны, вращающиеся вокруг молекулы, или планетарные орбиты, имеющие эллиптическую форму.

Геометрические свойства эллиптических координат также могут быть полезны. Типичный пример может включать интегрирование по всем парам векторов и эту сумму к фиксированному вектору , где подынтегральное выражение является функцией длин векторов и . (В таком случае следует расположить между двумя фокусами и выровнять по оси -, т.е. .) Для конкретности, , и могут представлять импульсы частицы и продукты ее распада, соответственно, а подынтегральное выражение может включать кинетические энергии продуктов (которые пропорциональны квадратам длин импульсов). ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q} }$ ${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|}$ ${\displaystyle \left|\mathbf {q} \right|}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$

Смотрите также

• Криволинейные координаты
• Эллипсоидальные координаты
• Обобщенные координаты
• Биполярные координаты

Ссылки

• «Эллиптические координаты», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Корн ГА и Корн ТМ . (1961) Математический справочник для ученых и инженеров , McGraw-Hill.
• Weisstein, Eric W. «Эллиптические цилиндрические координаты». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html