Эллиптическое распределение

Семейство распределений, обобщающих многомерное нормальное распределение

В теории вероятности и статистики эллиптическое распределение — это любой член широкого семейства распределений вероятностей , обобщающих многомерное нормальное распределение . Интуитивно понятно, что в упрощенном двух- и трехмерном случае совместное распределение образует эллипс и эллипсоид соответственно на графиках изоплотности.

В статистике нормальное распределение используется в классическом многомерном анализе , в то время как эллиптические распределения используются в обобщенном многомерном анализе для изучения симметричных распределений с тяжелыми хвостами , такими как многомерное t-распределение , или легкими (по сравнению с нормальным распределением). Некоторые статистические методы, которые изначально были мотивированы изучением нормального распределения, имеют хорошую производительность для общих эллиптических распределений (с конечной дисперсией), особенно для сферических распределений (которые определены ниже). Эллиптические распределения также используются в надежной статистике для оценки предлагаемых многомерных статистических процедур.

Определение

Эллиптические распределения определяются в терминах характеристической функции теории вероятностей. Случайный вектор в евклидовом пространстве имеет эллиптическое распределение , если его характеристическая функция удовлетворяет следующему функциональному уравнению (для каждого вектора-столбца ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \phi _{X-\mu }(t)=\psi (t'\Sigma t)}$

для некоторого параметра местоположения , некоторой неотрицательно определенной матрицы и некоторой скалярной функции . ^[1] Определение эллиптических распределений для действительных случайных векторов было расширено для учета случайных векторов в евклидовых пространствах над полем комплексных чисел , что облегчает применение в анализе временных рядов . ^[2] Существуют вычислительные методы для генерации псевдослучайных векторов из эллиптических распределений, например , для использования в моделировании Монте-Карло . ^[3] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \psi }$

Некоторые эллиптические распределения альтернативно определяются в терминах их функций плотности . Эллиптическое распределение с функцией плотности f имеет вид:

${\displaystyle f(x)=k\cdot g((x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu ))}$

где — нормирующая константа , — -мерный случайный вектор с медианным вектором (который также является средним вектором, если последний существует), и — положительно определенная матрица, которая пропорциональна ковариационной матрице, если последняя существует. ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Примеры

Примерами могут служить следующие многомерные распределения вероятностей:

• Многомерное нормальное распределение
• Многомерное t -распределение
• Симметричное многомерное устойчивое распределение ^[5]
• Симметричное многомерное распределение Лапласа ^[6]
• Многомерное логистическое распределение ^[7]
• Многомерное симметричное общее гиперболическое распределение ^[7]

Характеристики

В 2-мерном случае, если плотность существует, каждое изоплотностное локус (набор пар x ₁ , x _{2 ,} все из которых дают определенное значение ) является эллипсом или объединением эллипсов (отсюда и название эллиптическое распределение). В более общем смысле, для произвольного n изоплотностные локусы являются объединениями эллипсоидов . Все эти эллипсоиды или эллипсы имеют общий центр μ и являются масштабированными копиями (гомотетами) друг друга. ${\displaystyle f(x)}$

Многомерное нормальное распределение является частным случаем, в котором . В то время как многомерное нормальное распределение неограниченно (каждый элемент может принимать произвольно большие положительные или отрицательные значения с ненулевой вероятностью, поскольку для всех неотрицательных ), в общем случае эллиптические распределения могут быть ограниченными или неограниченными — такое распределение ограничено, если для всех больше некоторого значения. ${\displaystyle g(z)=e^{-z/2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e^{-z/2}>0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle g(z)=0}$ ${\displaystyle z}$

Существуют эллиптические распределения, которые имеют неопределенное среднее значение , например, распределение Коши (даже в одномерном случае). Поскольку переменная x входит в функцию плотности квадратично, все эллиптические распределения симметричны относительно ${\displaystyle \mu .}$

Если два подмножества совместно эллиптического случайного вектора некоррелированы , то если их средние значения существуют, то они являются средними независимыми друг от друга (среднее значение каждого подвектора, зависящее от значения другого подвектора, равно безусловному среднему). ^{[8] : стр. 748}

Если случайный вектор X имеет эллиптическое распределение, то DX также имеет эллиптическое распределение для любой матрицы D с полным рангом строки . Таким образом, любая линейная комбинация компонентов X является эллиптической (хотя не обязательно с тем же эллиптическим распределением), и любое подмножество X является эллиптическим. ^{[8] : стр. 748}

Приложения

Эллиптические распределения используются в статистике и экономике. Они также используются для расчета посадочных площадок космических аппаратов.

В математической экономике эллиптические распределения использовались для описания портфелей в математических финансах . ^{[9] [10]}

Статистика: Обобщенный многомерный анализ

В статистике многомерное нормальное распределение (Гаусса) используется в классическом многомерном анализе , в котором большинство методов оценки и проверки гипотез мотивированы для нормального распределения. В отличие от классического многомерного анализа, обобщенный многомерный анализ относится к исследованию эллиптических распределений без ограничения нормальности.

Для подходящих эллиптических распределений некоторые классические методы продолжают обладать хорошими свойствами. ^{[11] [12]} При предположениях о конечной дисперсии справедливо расширение теоремы Кохрана (о распределении квадратичных форм). ^[13]

Сферическое распределение

Эллиптическое распределение с нулевым средним и дисперсией в форме , где - единичная матрица, называется сферическим распределением . ^[14] Для сферических распределений были расширены классические результаты по оценке параметров и проверке гипотез. ^{[15] [16]} Аналогичные результаты справедливы для линейных моделей , ^[17] и, конечно, также для сложных моделей (особенно для модели кривой роста ). Анализ многомерных моделей использует многолинейную алгебру (в частности, произведения Кронекера и векторизацию ) и матричное исчисление . ^{[12] [18] [19]} ${\displaystyle \alpha I}$ ${\displaystyle I}$

Надежная статистика: асимптотика

Другое применение эллиптических распределений — это надежная статистика , в которой исследователи изучают, как статистические процедуры работают с классом эллиптических распределений, чтобы получить представление об эффективности процедур в еще более общих задачах, ^[20] например, используя предельную теорию статистики («асимптотика»). ^[21]

Экономика и финансы

Эллиптические распределения важны в теории портфеля , поскольку, если доходность всех активов, доступных для формирования портфеля, распределена совместно эллиптически, то все портфели можно полностью охарактеризовать по их местоположению и масштабу, то есть любые два портфеля с идентичным местоположением и масштабом доходности портфеля имеют идентичные распределения доходности портфеля. ^{[22] [8]} Различные особенности анализа портфеля, включая теоремы разделения паевых инвестиционных фондов и модель ценообразования капитальных активов , справедливы для всех эллиптических распределений. ^{[8] : стр. 748}

Примечания

1. Камбанис, Хуан и Саймонс (1981, стр. 368)
2. Фанг, Коц и Нг (1990, Глава 2.9 «Сложные эллиптически симметричные распределения», стр. 64-66)
3. Джонсон (1987, Глава 6, «Эллиптически контурированные распределения», стр. 106-124): Джонсон, Марк Э. (1987). Многомерное статистическое моделирование: Руководство по выбору и созданию непрерывных многомерных распределений . John Wiley and Sons., «восхитительно ясное обсуждение» по мнению Фанга, Котца и Нг (1990, стр. 27).
4. Фрам, Г., Юнкер, М. и Шимайер, А. (2003). Эллиптические копулы: применимость и ограничения. Statistics & Probability Letters , 63(3), 275–286.
5. Нолан, Джон (29 сентября 2014 г.). "Многомерные устойчивые плотности и функции распределения: общий и эллиптический случай" . Получено 2017-05-26 .
6. Паскаль, Ф.; и др. (2013). «Оценка параметров для многомерных обобщенных гауссовых распределений». Труды IEEE по обработке сигналов . 61 (23): 5960–5971. arXiv : 1302.6498 . Bibcode :2013ITSP...61.5960P. doi :10.1109/TSP.2013.2282909. S2CID  3909632.
7. Schmidt, Rafael (2012). "Моделирование и оценка кредитного риска с помощью эллиптических копул". В Bol, George; et al. (ред.). Кредитный риск: измерение, оценка и управление . Springer. стр. 274. ISBN 9783642593659.
8. Оуэн и Рабинович (1983)
9. (Гупта, Варга и Боднар, 2013)
10. (Чемберлен 1983; Оуэн и Рабинович 1983)
11. Андерсон (2004, Заключительный раздел текста (перед «Проблемами»), который всегда озаглавлен «Эллиптически контурированные распределения», следующих глав: Главы 3 («Оценка среднего вектора и ковариационной матрицы», Раздел 3.6, стр. 101–108), 4 («Распределения и использование выборочных коэффициентов корреляции», Раздел 4.5, стр. 158–163), 5 («Обобщенная статистика T ² », Раздел 5.7, стр. 199–201), 7 («Распределение выборочной ковариационной матрицы и выборочной обобщенной дисперсии», Раздел 7.9, стр. 242–248), 8 («Проверка общей линейной гипотезы; многомерный дисперсионный анализ», Раздел 8.11, стр. 370–374), 9 («Проверка независимости наборов переменных», Раздел 9.11, стр. 404-408), 10 ("Проверка гипотез о равенстве ковариационных матриц и равенстве средних векторов и ковариационных векторов", Раздел 10.11, стр. 449-454), 11 ("Главные компоненты", Раздел 11.8, стр. 482-483), 13 ("Распределение характеристических корней и векторов", Раздел 13.8, стр. 563-567))
12. Fang & Zhang (1990)
13. Фан и Чжан (1990, Глава 2.8 «Распределение квадратичных форм и теорема Кохрана», стр. 74-81)
14. Фан и Чжан (1990, Глава 2.5 «Сферические распределения», стр. 53-64)
15. Фан и Чжан (1990, Глава IV «Оценка параметров», стр. 127-153)
16. Фан и Чжан (1990, Глава V «Проверка гипотез», стр. 154-187)
17. Фан и Чжан (1990, Глава VII «Линейные модели», стр. 188-211)
18. Пан и Фанг (2007, стр. ii)
19. Колло и фон Розен (2005, стр. xiii)
20. Кария, Такеаки; Синха, Бимал К. (1989). Надежность статистических тестов . Academic Press. ISBN 0123982308.
21. Колло и фон Розен (2005, стр. 221)
22. Чемберлен (1983)

Ссылки

• Андерсон, TW (2004). Введение в многомерный статистический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley and Sons. ISBN 9789812530967.
• Камбанис, Стаматис; Хуан, Стил; Саймонс, Гордон (1981). «О теории эллиптически контурированных распределений». Журнал многомерного анализа . 11 (3): 368–385. doi : 10.1016/0047-259x(81)90082-8 .
• Чемберлен, Гэри (февраль 1983 г.). «Характеристика распределений, подразумевающих среднее значение — дисперсионные функции полезности». Журнал экономической теории . 29 (1): 185–201. doi :10.1016/0022-0531(83)90129-1.
• Фан, Кай-Тай; Чжан, Яо-Тин (1990). Обобщенный многомерный анализ . Science Press (Пекин) и Springer-Verlag (Берлин). ISBN 3540176519. OCLC  622932253.
• Фанг, Кай-Тай ; Коц, Сэмюэл ; Нг, Кай Ванг ("Кай-Ванг" на обложке) (1990). Симметричные многомерные и родственные распределения . Монографии по статистике и прикладной вероятности. Том 36. Лондон: Chapman and Hall. ISBN 0-412-314-304. OCLC  123206055.
• Гупта, Арджун К.; Варга, Тамас; Боднар, Тарас (2013). Эллиптические модели в статистике и теории портфеля (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4614-8154-6. ISBN 978-1-4614-8153-9.

  Первоначально Гупта, Арджун К.; Варга, Тамас (1993). Эллиптически контурированные модели в статистике . Математика и ее приложения (1-е изд.). Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0792326083.

• Колло, Тыну; фон Розен, Дитрих (2005). Расширенная многомерная статистика с матрицами . Дордрехт: Спрингер. ISBN 978-1-4020-3418-3.
• Оуэн, Джоэл; Рабинович, Рамон (июнь 1983 г.). «О классе эллиптических распределений и их применении в теории выбора портфеля». Журнал финансов . 38 (3): 745–752. doi :10.2307/2328079. JSTOR  2328079.
• Pan, Jianxin; Fang, Kaitai (2007). Модели кривых роста и статистическая диагностика (PDF) . Серия Springer по статистике. Science Press (Пекин) и Springer-Verlag (Нью-Йорк). doi :10.1007/978-0-387-21812-0. ISBN 9780387950532. OCLC  44162563.

Дальнейшее чтение

• Фанг, Кай-Тай ; Андерсон, TW , ред. (1990). Статистический вывод в эллиптически контурированных и родственных распределениях . Нью-Йорк: Allerton Press. ISBN 0898640482. OCLC  20490516.Сборник статей.