Уравнение времени

Уравнение времени описывает расхождение между двумя видами солнечного времени . Слово «уравнение» используется в средневековом смысле «примирение разницы». Два времени, которые различаются, — это видимое солнечное время , которое напрямую отслеживает суточное движение Солнца , и среднее солнечное время , которое отслеживает теоретическое среднее Солнце с равномерным движением вдоль небесного экватора . Видимое солнечное время можно получить путем измерения текущего положения ( часового угла ) Солнца, как указано (с ограниченной точностью) солнечными часами . Среднее солнечное время для одного и того же места будет временем, указанным постоянными часами, установленными таким образом, что в течение года его различия с видимым солнечным временем будут иметь среднее значение, равное нулю. ^[1]

Уравнение времени — это восточный или западный компонент аналеммы , кривой, представляющей угловое смещение Солнца от его среднего положения на небесной сфере , наблюдаемого с Земли. Уравнение значений времени для каждого дня года, составленное астрономическими обсерваториями , было широко представлено в альманахах и эфемеридах . ^[2]^[3]^{: 14}

Уравнение времени можно аппроксимировать суммой двух синусоид (см. пояснение ниже):

D=6,240\,040\,77+0,017\,201\,97(365,25(y-2000)+d)

\Delta t_{ey}=-7,659\sin(D)+9,863\sin \left(2D+3,5932\right)

[минут]

где представляет собой количество дней с 1 января текущего года, . $д$ $у$

Концепция

В течение года уравнение времени меняется, как показано на графике; его изменение от года к году незначительно. Истинное время и солнечные часы могут опережать (быстрее) на целых 16 мин 33 с (около 3 ноября) или отставать (медленнее) на целых 14 мин 6 с (около 11 февраля). Уравнение времени имеет нули около 15 апреля, 13 июня, 1 сентября и 25 декабря. Игнорируя очень медленные изменения орбиты и вращения Земли, эти события повторяются в одно и то же время каждый тропический год . Однако из-за нецелого числа дней в году эти даты могут отличаться на день или около того из года в год. В качестве примера неточности дат, согласно Многолетнему интерактивному компьютерному альманаху Военно-морской обсерватории США , уравнение времени было равно нулю в 02:00 UT1 16 апреля 2011 года. ^[4]^{: 277}

График уравнения времени близко аппроксимируется суммой двух синусоид, одна с периодом в год, а другая с периодом в полгода. Кривые отражают два астрономических эффекта, каждый из которых вызывает различную неравномерность в видимом суточном движении Солнца относительно звезд:

наклон эклиптики ( плоскости годового орбитального движения Земли вокруг Солнца), которая наклонена примерно на 23,44 градуса относительно плоскости земного экватора ; и
эксцентриситет орбиты Земли вокруг Солнца, который составляет около 0,0167 .

Уравнение времени исчезает только для планеты с нулевым наклоном оси и нулевым эксцентриситетом орбиты. ^[5] Двумя примерами планет с большими уравнениями времени являются Марс и Уран. На Марсе разница между солнечным временем и временем на часах может достигать 50 минут из-за значительно большего эксцентриситета его орбиты. Планета Уран , имеющая чрезвычайно большой наклон оси, имеет уравнение времени, которое заставляет ее дни начинаться и заканчиваться на несколько часов раньше или позже в зависимости от того, где она находится на своей орбите.

Обозначение

Анимация, показывающая уравнение времени и путь аналеммы за один год.

Военно-морская обсерватория США утверждает, что «уравнение времени — это разница между видимым солнечным временем и средним солнечным временем », т. е. если солнце опережает часы, знак положительный, а если часы опережают солнце, знак отрицательный. ^[6]^[7] Уравнение времени показано на верхнем графике выше для периода чуть больше года. Нижний график (который охватывает ровно один календарный год) имеет те же абсолютные значения, но знак обратный , поскольку он показывает, насколько часы опережают солнце. Публикации могут использовать любой формат: в англоязычном мире первый вариант более распространен, но не всегда соблюдается. Любой, кто использует опубликованную таблицу или график, должен сначала проверить использование ее знака. Часто есть примечание или подпись, которые это объясняют. В противном случае использование можно определить, зная, что в течение первых трех месяцев каждого года часы опережают солнечные часы. Мнемоническое « NYSS» (произносится как «найс»), для «новый год, солнечные часы идут медленно», может быть полезным. В некоторых опубликованных таблицах двусмысленность устраняется путем отказа от знаков, а вместо этого используются такие фразы, как «солнечные часы быстрые» или «солнечные часы медленные». ^[8]

История

Фраза «уравнение времени» происходит от средневекового латинского aequātiō diērum , что означает «уравнение дней» или «разница дней». Слово aequātiō (и среднеанглийское уравнение ) использовалось в средневековой астрономии для табулирования разницы между наблюдаемым значением и ожидаемым значением (как в уравнении центра, уравнении равноденствий, уравнении эпицикла). Джеральд Дж. Тумер использует средневековый термин «уравнение», от латинского aequātiō (выравнивание или корректировка), для разницы Птолемея между средним солнечным временем и видимым солнечным временем. Определение уравнения Иоганном Кеплером — «разница между числом градусов и минут средней аномалии и градусами и минутами исправленной аномалии». ^[9]^{: 155}

Разница между кажущимся солнечным временем и средним временем была признана астрономами еще в древности, но до изобретения точных механических часов в середине 17 века солнечные часы были единственными надежными хронометрами, а кажущееся солнечное время было общепринятым стандартом. Среднее время не вытесняло кажущееся время в национальных альманахах и эфемеридах до начала 19 века. ^[10]

Ранняя астрономия

Нерегулярное суточное движение Солнца было известно вавилонянам. ^{[ необходима цитата ]}

Книга III «Альмагеста » Птолемея (II век) в первую очередь посвящена аномалии Солнца, и он составил таблицу уравнения времени в своих Handy Tables . ^[11] Птолемей обсуждает поправку, необходимую для преобразования меридионального пересечения Солнца в среднее солнечное время, и принимает во внимание неравномерное движение Солнца вдоль эклиптики и меридиональную поправку для эклиптической долготы Солнца. Он утверждает, что максимальная поправка составляет 8+1 ⁄ 3 градуса времени или 5 ⁄ 9 часа (Книга III, глава 9).^[12] Однако он не считал этот эффект существенным для большинства расчетов, поскольку он был незначителен для медленно движущихся светил, и применял его только для самого быстро движущегося светила — Луны.

Основываясь на рассуждениях Птолемея в Альмагесте , значения уравнения времени (араб. taʿdīl al-ayyām bi layālayhā ) были стандартными для таблиц ( zij ) в трудах средневековой исламской астрономии . ^[13]

Ранний современный период

Описание кажущегося и среднего времени было дано Невилом Маскелайном в « Морском альманахе» за 1767 год: «Кажущееся время — это то, что выводится непосредственно из Солнца, будь то из наблюдения за его прохождением меридиана или из его наблюдаемого восхода или захода . Это время отличается от того, которое показывают часы, хорошо отрегулированные на Земле, и которое называется уравненным или средним временем». Он продолжил, сказав, что в море кажущееся время, найденное из наблюдения за Солнцем, должно быть скорректировано уравнением времени, если наблюдателю требуется среднее время. ^[1]

Первоначально правильным временем считалось то, которое показывали солнечные часы. Когда были введены хорошие механические часы, они совпадали с солнечными часами только около четырех дат в год, поэтому уравнение времени использовалось для «коррекции» их показаний для получения солнечного времени. Некоторые часы, называемые часами уравнения , включали внутренний механизм для выполнения этой «коррекции». Позже, когда часы стали доминирующими хорошими часами, неоткорректированное время часов, т. е. «среднее время», стало общепринятым стандартом. Показания солнечных часов, когда они использовались, тогда и часто до сих пор корректируются с помощью уравнения времени, используемого в обратном направлении от предыдущего, для получения времени часов. Поэтому на многих солнечных часах выгравированы таблицы или графики уравнения времени, чтобы пользователь мог вносить эту коррекцию. ^[8]^{: 123}

Уравнение времени исторически использовалось для установки часов. Между изобретением точных часов в 1656 году и появлением коммерческих служб распределения времени около 1900 года существовало несколько распространенных наземных способов установки часов. Показания солнечных часов считывались и корректировались с помощью таблицы или графика уравнения времени.

Если был доступен транзитный инструмент или была важна точность, отмечалось прохождение солнца через меридиан (момент, когда солнце оказывается точно к югу или северу от наблюдателя) (известное как его кульминация ); затем часы устанавливались на полдень и смещались на количество минут, заданное уравнением времени для этой даты. Третий метод не использовал уравнение времени; вместо этого он использовал звездные наблюдения для получения звездного времени , используя связь между звездным временем и средним солнечным временем . ^[14]^{: 57–58} Более точные методы также были предшественниками нахождения долготы наблюдателя по отношению к нулевому меридиану , например, в геодезии на суше и небесной навигации на море.

Первые таблицы, дающие уравнение времени по существу правильным образом, были опубликованы в 1665 году Христианом Гюйгенсом . ^[15] Гюйгенс, следуя традиции Птолемея и средневековых астрономов в целом, установил свои значения для уравнения времени таким образом, чтобы сделать все значения положительными в течение года. ^[15] Это означало, что любые часы, настроенные на среднее время по таблицам Гюйгенса, постоянно отставали примерно на 15 минут по сравнению с сегодняшним средним временем.

Другой набор таблиц был опубликован в 1672–73 годах Джоном Флемстидом , который позже стал первым королевским астрономом новой Королевской Гринвичской обсерватории . Похоже, что это были первые по существу правильные таблицы, которые давали сегодняшнее значение Среднего времени (ранее, как отмечалось выше, знак уравнения всегда был положительным и устанавливался на ноль, когда видимое время восхода было самым ранним относительно времени восхода солнца по часам). Флемстид принял соглашение о табулировании и наименовании поправки в том смысле, что она должна была применяться к видимому времени, чтобы дать среднее время. ^[16]

Уравнение времени, правильно основанное на двух основных компонентах нерегулярности видимого движения Солнца, не было общепринятым до появления таблиц Флемстида 1672–73 годов, опубликованных вместе с посмертным изданием трудов Джереми Хоррокса . ^[17]^{: 49}

Роберт Гук (1635–1703), который математически проанализировал универсальный шарнир , был первым, кто заметил, что геометрия и математическое описание (невекового) уравнения времени и универсального шарнира идентичны, и предложил использовать универсальный шарнир в конструкции «механических солнечных часов». ^[18]^{: 219}

18-й и начало 19-го века

Исправления в таблицах Флемстида 1672–1673 и 1680 годов дали среднее время, вычисленное по существу правильно и без необходимости дальнейшего смещения. Но числовые значения в таблицах уравнения времени с тех пор несколько изменились из-за трех факторов:

Общее повышение точности, достигнутое за счет усовершенствования методов астрономических измерений,
Медленные внутренние изменения в уравнении времени, происходящие в результате небольших долгосрочных изменений наклона и эксцентриситета Земли (влияющих, например, на расстояние и даты перигелия ) , и
Включение небольших источников дополнительных вариаций в видимое движение Солнца, неизвестных в 17 веке, но открытых с 18 века, включая эффекты Луны (см. барицентр ), Венеры и Юпитера. ^[19]

С 1767 по 1833 год в British Nautical Almanac and Astronomical Ephemeris уравнение времени было представлено в виде таблицы «прибавьте или вычтите (как указано) количество минут и секунд, указанных к или из кажущегося времени, чтобы получить среднее время». Время в Almanac указывалось в виде кажущегося солнечного времени, потому что время на борту судна чаще всего определялось путем наблюдения за Солнцем. Эта операция выполнялась в необычном случае, когда требовалось среднее солнечное время наблюдения. В выпусках с 1834 года все время указывалось в виде среднего солнечного времени, потому что к тому времени время на борту судна все чаще определялось морскими хронометрами . Соответственно, инструкции состояли в том, чтобы прибавлять или вычитать (как указано) количество минут, указанных к или из среднего времени, чтобы получить кажущееся время. Таким образом, теперь сложение соответствовало положительному уравнению, а вычитание — отрицательному.

Поскольку видимое суточное движение Солнца составляет один оборот в день, то есть 360° каждые 24 часа, а само Солнце выглядит как диск около 0,5° на небе, простые солнечные часы можно считывать с максимальной точностью около одной минуты. Поскольку уравнение времени имеет диапазон около 33 минут, разницу между солнечным временем и временем на часах нельзя игнорировать. В дополнение к уравнению времени необходимо также применять поправки из-за расстояния от меридиана местного часового пояса и летнего времени , если таковые имеются.

Незначительное увеличение средних солнечных суток из-за замедления вращения Земли, примерно на 2 мс в сутки за столетие, которое в настоящее время составляет около 1 секунды в год, не учитывается в традиционных определениях уравнения времени, поскольку оно незаметно на уровне точности солнечных часов.

Основные компоненты

Эксцентриситет земной орбиты

Земля вращается вокруг Солнца. Если смотреть с Земли, Солнце совершает один оборот вокруг Земли через фоновые звезды за один год. Если бы Земля вращалась вокруг Солнца с постоянной скоростью по круговой орбите в плоскости, перпендикулярной оси Земли, то Солнце достигало бы кульминации каждый день в одно и то же время и было бы идеальным хранителем времени (за исключением очень небольшого эффекта замедления вращения Земли). Но орбита Земли представляет собой эллипс, не центрированный на Солнце, и ее скорость изменяется от 30,287 до 29,291 км/с, согласно законам Кеплера о движении планет , и ее угловая скорость также изменяется, и поэтому Солнце, по-видимому, движется быстрее (относительно фоновых звезд) в перигелии (в настоящее время около 3 января) и медленнее в афелии полгода спустя. ^[20]^[21]^[22]

В этих экстремальных точках этот эффект изменяет видимые солнечные сутки на 7,9 с/день от их среднего значения. Следовательно, меньшие ежедневные различия в скорости в другие дни накапливаются до этих точек, отражая то, как планета ускоряется и замедляется по сравнению со средним значением.

В результате эксцентриситет орбиты Земли вносит периодический вклад в изменение, которое (в первом приближении) представляет собой синусоиду с :

амплитуда: 7,66 минут
период : один год
нулевые точки: перигелий (в начале января) и афелий (в начале июля)
крайние значения: начало апреля (отрицательное) и начало октября (положительное)

Этот компонент EoT представлен вышеупомянутым фактором a :

a=-7,659\sin(6,240\,040\,77+0,017\,201\,97(365(y-2000)+d))

Наклон эклиптики

Солнце и планеты в кажущийся местный полдень (Эклиптика — красный, Солнце и Меркурий — желтый, Венера — белый, Марс — красный, Юпитер — желтый с красным пятном, Сатурн — белый с кольцами).

Даже если бы орбита Земли была круговой, воспринимаемое движение Солнца вдоль нашего небесного экватора все равно не было бы равномерным. ^[5] Это является следствием наклона оси вращения Земли относительно плоскости ее орбиты , или, что эквивалентно, наклона эклиптики ( пути, который Солнце, по-видимому, проходит по небесной сфере ) относительно небесного экватора . Проекция этого движения на наш небесный экватор , вдоль которого измеряется «время по часам», является максимальной в солнцестояния , когда годовое движение Солнца параллельно экватору (вызывая усиление воспринимаемой скорости) и дает в основном изменение прямого восхождения . Она является минимальной в равноденствия , когда видимое движение Солнца более наклонное и дает большее изменение склонения , оставляя меньше для компонента прямого восхождения , который является единственным компонентом, влияющим на продолжительность солнечных суток. Практической иллюстрацией наклона является то, что ежедневное смещение тени, отбрасываемой Солнцем в солнечных часах даже на экваторе, меньше вблизи солнцестояний и больше вблизи равноденствий. Если бы этот эффект действовал в одиночку, то дни были бы длиннее 24 часов и 20,3 секунд (измерено от солнечного полудня до солнечного полудня) вблизи солнцестояний и на целых 20,3 секунды короче 24 часов вблизи равноденствий. ^[20]^[23]^[22]

На рисунке справа мы можем видеть ежемесячные изменения видимого наклона плоскости эклиптики в солнечный полдень, наблюдаемые с Земли. Эти изменения вызваны видимой прецессией вращающейся Земли в течение года, наблюдаемой с Солнца в солнечный полдень.

С точки зрения уравнения времени наклон эклиптики приводит к изменению синусоидальной волны:

амплитуда: 9,87 минут
период: 1/2 года
нулевые точки: равноденствия и солнцестояния
крайние значения: начало февраля и августа (отрицательные) и начало мая и ноября (положительные).

Этот компонент EoT представлен вышеупомянутым фактором «b»:

$b=9.863\sin \left(2(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365(y-2000)+d))+3.5932\right)$

Светские эффекты

Два вышеупомянутых фактора имеют разные длины волн, амплитуды и фазы, поэтому их совместный вклад представляет собой нерегулярную волну. На эпоху 2000 года это значения (в минутах и секундах с датами UT ):

^{[ необходима ссылка ]}

ET = видимое − среднее. Положительное означает: Солнце движется быстро и достигает кульминации раньше, или солнечные часы опережают среднее время. Небольшое годовое изменение происходит из-за наличия високосных лет, сбрасывая себя каждые 4 года. Точная форма кривой уравнения времени и связанной с ней аналеммы медленно меняются на протяжении столетий из-за вековых изменений как эксцентриситета, так и наклона. В данный момент оба медленно уменьшаются, но они увеличиваются и уменьшаются в течение временной шкалы в сотни тысяч лет. ^[24]

На более коротких временных масштабах (тысячи лет) сдвиги дат равноденствия и перигелия будут более важными. Первый вызван прецессией и сдвигает равноденствие назад по сравнению со звездами. Но его можно игнорировать в текущем обсуждении, поскольку наш григорианский календарь построен таким образом, чтобы сохранять дату весеннего равноденствия 20 марта (по крайней мере, с достаточной точностью для нашей цели здесь). Сдвиг перигелия происходит вперед, примерно на 1,7 дня каждое столетие. В 1246 году перигелий пришелся на 22 декабря, день солнцестояния, поэтому две вносящие вклад волны имели общие нулевые точки, а уравнение кривой времени было симметричным: в Astronomical Algorithms Meeus дает февральские и ноябрьские экстремумы в 15 мин 39 с, а майские и июльские — в 4 мин 58 с. До этого февральский минимум был больше ноябрьского максимума, а майский максимум больше июльского минимума. Фактически, в годы до −1900 (1901 г. до н. э.) майский максимум был больше ноябрьского максимума. В год −2000 (2001 г. до н. э.) майский максимум был +12 минут и пару секунд, в то время как ноябрьский максимум был чуть меньше 10 минут. Вековое изменение очевидно, если сравнить текущий график уравнения времени (см. ниже) с графиком 2000-летней давности, например, построенным по данным Птолемея. ^[25]

Практическое использование

Если гномон (отбрасывающий тень объект) не является ребром, а точкой (например, отверстием в пластине), тень (или пятно света) будет описывать кривую в течение дня. Если тень отбрасывается на плоскую поверхность, эта кривая будет коническим сечением (обычно гиперболой), поскольку окружность движения Солнца вместе с точкой гномона определяют конус. В весеннее и осеннее равноденствия конус вырождается в плоскость, а гипербола в линию. При наличии разных гипербол для каждого дня на каждой гиперболе можно нанести часовые метки, которые включают любые необходимые поправки. К сожалению, каждая гипербола соответствует двум разным дням, по одному в каждом полугодии, и эти два дня потребуют разных поправок. Удобным компромиссом является проведение линии для «среднего времени» и добавление кривой, показывающей точное положение точек тени в полдень в течение года. Эта кривая примет форму восьмерки и известна как аналемма . Сравнивая аналемму со средней полуденной линией, можно определить величину поправки, которую следует применять в этот день.

Уравнение времени используется не только в связи с солнечными часами и аналогичными устройствами, но и для многих применений солнечной энергии . Такие машины, как солнечные трекеры и гелиостаты, должны двигаться способами, на которые влияет уравнение времени.

Гражданское время — это местное среднее время для меридиана, который часто проходит вблизи центра часового пояса и может быть дополнительно изменен летним временем . Когда требуется найти кажущееся солнечное время, соответствующее данному гражданскому времени, необходимо учитывать разницу в долготе между интересующим местом и меридианом часового пояса, летнее время и уравнение времени. ^[26]

Расчет

Уравнение времени получается из опубликованной таблицы или графика. Для дат в прошлом такие таблицы создаются на основе исторических измерений или путем расчета; для будущих дат, конечно, таблицы могут быть только рассчитаны. В таких устройствах, как гелиостаты с компьютерным управлением, компьютер часто программируется для расчета уравнения времени. Расчет может быть численным или аналитическим. Первые основаны на численном интегрировании дифференциальных уравнений движения, включая все значимые гравитационные и релятивистские эффекты. Результаты имеют точность лучше 1 секунды и являются основой для современных данных альманаха. Последние основаны на решении, которое включает только гравитационное взаимодействие между Солнцем и Землей, более простом, но не таком точном, как первое. Его точность может быть улучшена путем включения небольших поправок.

В следующем обсуждении описывается достаточно точный (согласующийся с данными альманаха с точностью до 3 секунд в широком диапазоне лет) алгоритм для уравнения времени, который хорошо известен астрономам. ^[27]^{: 89} Он также показывает, как получить простую приближенную формулу (с точностью до 1 минуты в большом интервале времени), которую можно легко вычислить с помощью калькулятора, и дает простое объяснение явления, которое использовалось ранее в этой статье.

Математическое описание

Точное определение уравнения времени: ^[28]^{: 1529}

\mathrm {EOT} =\mathrm {GHA} -\mathrm {GMHA}

Величины, встречающиеся в этом уравнении, следующие:

EOT — разница во времени между истинным солнечным временем и средним солнечным временем ;
GHA — гринвичский часовой угол видимого (фактического) Солнца;
GMHA = Всемирное время − Смещение, средний часовой угол по Гринвичу среднего (фиктивного) Солнца.

Здесь время и угол — это величины, которые связаны такими факторами, как: 2 $π$ радиан = 360° = 1 день = 24 часа. Разница, EOT, измерима, поскольку GHA — это угол, который можно измерить, а всемирное время , UT, — это шкала для измерения времени. Смещение на $π$ = 180° = 12 часов от всемирного времени необходимо, поскольку UT равно нулю в среднюю полночь, а GMHA = 0 в средний полдень. Всемирное время прерывисто в среднюю полночь, поэтому для формирования непрерывной величины времени $t требуется еще одно число дней$ $N$ , целое число : $t$ = $N$ + ⁠ЮТ/24 часа⁠ дней . Как GHA, так и GMHA, как и все физические углы, имеют математическую, но не физическую прерывность в соответствующий им (кажущийся и средний) полдень. Несмотря на математические прерывности его компонентов, EOT определяется как непрерывная функция путем добавления (или вычитания) 24 часов в небольшом временном интервале между прерывностями в GHA и GMHA.

Согласно определениям углов на небесной сфере GHA = GAST − $α$ (см. часовой угол ),
где:

GAST — это кажущееся звездное время по Гринвичу (угол между кажущимся весенним равноденствием и меридианом в плоскости экватора). Это известная функция UT. ^[29]
$α$ — прямое восхождение видимого Солнца (угол между видимым весенним равноденствием и фактическим Солнцем в плоскости экватора).

Подставляя в уравнение времени, получаем

\mathrm {EOT} =\mathrm {GAST} -\alpha -\mathrm {UT} +\mathrm {offset}

Подобно формуле для GHA выше, можно записать GMHA = GAST − $α M$ , где последний член — это прямое восхождение среднего Солнца. Уравнение часто записывается в этих терминах как ^[4]^{: 275}^[30]^{: 45}

\mathrm {EOT} =\alpha _{M}-\alpha

где $α M$ = GAST − UT + offset . В этой формулировке измерение или расчет EOT в определенное значение времени зависит от измерения или расчета $α$ в это время. Как $α$ , так и $α M$ изменяются от 0 до 24 часов в течение года. Первый имеет разрыв во времени, которое зависит от значения UT, в то время как последний имеет разрыв в немного более позднее время. Как следствие, при расчете таким образом EOT имеет два искусственных разрыва. Оба они могут быть удалены путем вычитания 24 часов из значения EOT в небольшом интервале времени после разрыва в $α$ и до разрыва в $α M$ . Результирующий EOT является непрерывной функцией времени.

Другое определение, обозначенное $E,$ чтобы отличить его от EOT, выглядит так:

E=\mathrm {GMST} -\alpha -\mathrm {UT} +\mathrm {offset}

Здесь GMST = GAST − eqeq , — среднее сидерическое время по Гринвичу (угол между средней точкой весеннего равноденствия и средним Солнцем в плоскости экватора). Таким образом, GMST является приближением к GAST (а $E$ является приближением к EOT); eqeq называется уравнением равноденствий и обусловлено колебанием или нутацией оси вращения Земли вокруг ее прецессионного движения. Поскольку амплитуда нутационного движения составляет всего около 1,2 с (18″ долготы), разницу между EOT и $E$ можно игнорировать, если только вас не интересует точность в доли секунды.

Третье определение, обозначаемое $Δ t,$ чтобы отличать его от EOT и $E$ , и теперь называемое уравнением эфемеридного времени ^[28]^{: 1532} (до того, как сейчас проводится различие между EOT, $E$ и $Δ t,$ последнее было известно как уравнение времени) — это

\Дельта t=\Лямбда -\альфа

здесь $Λ$ — эклиптическая долгота среднего Солнца (угол от средней точки весеннего равноденствия до среднего Солнца в плоскости эклиптики ) .

Разница $Λ$ − (GMST − UT + смещение) составляет 1,3 с с 1960 по 2040 год. Таким образом, в этом ограниченном диапазоне лет $Δ t$ является приближением к EOT, погрешность которого находится в диапазоне от 0,1 до 2,5 с в зависимости от поправки на долготу в уравнении равноденствий; для многих целей, например, для корректировки солнечных часов, эта точность более чем достаточна.

Расчет прямого восхождения

Прямое восхождение, а следовательно, и уравнение времени, можно рассчитать с помощью теории двух тел Ньютона о небесном движении, в которой тела (Земля и Солнце) описывают эллиптические орбиты вокруг их общего центра масс. Используя эту теорию, уравнение времени становится следующим:

\Delta t=M+\lambda _{p}-\alpha

где появляются новые углы:

$М = ⁠ 2π(t - t p) / т Y ⁠$ , - средняя аномалия , угол от перицентра эллиптической орбиты до среднего Солнца; ее диапазон составляет от 0 до 2π $по$ мереувеличения $t от$ $t p$ до $t p + t Y$ ;
$т Y$ =365,259 6358 дней — это продолжительность аномального года : временной интервал между двумя последовательными прохождениями перицентра;
$λ p = Λ - M$ , — эклиптическая долгота перицентра;
$t$ — динамическое время , независимая переменная в теории. Здесь оно принимается идентичным непрерывному времени, основанному на UT (см. выше), но в более точных расчетах ( $E$ или EOT) необходимо учитывать небольшую разницу между ними^[28]^{: 1530}^[29], а также разницу между UT1 и UTC.
$t p$ — значение $t$ в перицентре.

Для завершения расчета необходимы три дополнительных угла:

$E$ — эксцентрическая аномалия Солнца(обратите внимание, что она отличается от $M$ );
$ν$ — истинная аномалия Солнца;
$λ = ν + λ p$ , истинная долгота Солнца на эклиптике.

Небесная сфера и эллиптическая орбита Солнца, видимые геоцентрическим наблюдателем, смотрящим перпендикулярно эклиптике, показывающие 6 углов ( $M, λ p, α, ν, λ, E$ ), необходимых для расчета уравнения времени. Для ясности чертежи не в масштабе.

Все эти углы показаны на рисунке справа, на котором изображены небесная сфера и эллиптическая орбита Солнца , видимая с Земли (такая же, как орбита Земли, видимая с Солнца). На этом рисунке $ε$ — это наклон , а $e = \sqrt 1 - (b / a) 2$ — это эксцентриситет эллипса.

Теперь, если задано значение $0 \leq M \leq 2π$ , можно вычислить $α (M)$ с помощью следующей хорошо известной процедуры: ^[27]^{: 89}

Сначала, зная $M$ , вычисляем $E$ из уравнения Кеплера : ^[31]^{: 159}

M=Ee\sin {E}

Хотя это уравнение не может быть решено точно в замкнутой форме, значения $E (M)$ могут быть получены из бесконечных (степенных или тригонометрических) рядов, графических или численных методов. В качестве альтернативы, обратите внимание, что для $e = 0$ , $E = M$ , и итерацией: ^[32]^{: 2}

E\approx M+e\sin {M}

Это приближение можно улучшить для малых $e$ , повторив итерацию:

E\approx M+e\sin {M}+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin {2M}

и продолжение итерации дает последовательно более высокие порядки членов степенного ряда по $e$ . Для малых значений $e$ (намного меньше 1) два или три члена ряда дают хорошее приближение для $E$ ; чем меньше $e$ , тем лучше приближение.

Далее, зная $E$ , вычисляем истинную аномалию $ν$ из соотношения эллиптической орбиты ^[31]^{: 165}

\nu =2\arctan \left({\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\tfrac {1}{2}}E\right)

Правильная ветвь многозначной функции $arctan x$ для использования — это та, которая делает $ν$ непрерывной функцией $E (M),$ начиная с $ν E =0 = 0$ . Таким образом, для $0 \leq E < π$ используйте $arctan x = arctan x$ , а для $π < E \leq 2π$ используйте $arctan x = arctan x + π$ . При определенном значении $E = π,$ для которого аргумент $tan$ бесконечен, используйте $ν = E$ . Здесь $arctan x$ — главная ветвь, $| arctan x | < ⁠ π / 2 ⁠$ ; функция, возвращаемая калькуляторами и компьютерными приложениями. В качестве альтернативы эта функция может быть выражена в виде ряда Тейлора в $e$ , первые три члена которого:

\nu \approx E+e\sin {E}+{\frac {1}{4}}e^{2}\sin {2E}

Для малых $e$ это приближение (или даже только первые два члена) является хорошим. Объединение приближения для $E (M)$ с этим для $ν (E)$ дает:

\nu \approx M+2e\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}

Соотношение $ν (M)$ называется уравнением центра ; выражение, записанное здесь, является приближением второго порядка по $e$ . Для малого значения $e$ , характеризующего орбиту Земли, это дает очень хорошее приближение для $ν (M)$ .

Далее, зная $ν$ , вычисляем $λ$ из его определения:

\lambda =\nu +\lambda _{p}

Значение $λ$ изменяется нелинейно с $M$ , поскольку орбита эллиптическая, а не круговая. Из приближения для $ν$ :

\lambda \approx M+\lambda _{p}+2e\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}

Наконец, зная $λ,$ вычислите $α$ из соотношения для прямоугольного треугольника на небесной сфере, показанного выше ^[33]^{: 22}

\альфа =\arctan \left(\cos {\varepsilon}\tan {\lambda}\right)

Обратите внимание, что квадрант $α$ такой же, как и $λ$ , поэтому уменьшите $λ$ до диапазона от 0 до 2π $и$ запишите

\alpha =\arctan \left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }+k\pi \right)

где $k$ равен 0, если $λ$ находится в квадранте 1, равен 1, если $λ$ находится в квадрантах 2 или 3, и равен 2, если $λ$ находится в квадранте 4. Для значений, при которых tan равен бесконечности, $α = λ$ .

Хотя приблизительные значения для $α$ можно получить из усеченных рядов Тейлора, таких как для $ν$ , ^[34]^{: 32} , более эффективно использовать уравнение ^[35]^{: 374}

\альфа =\лямбда -\arcsin \left(y\sin \left(\альфа +\лямбда \right)\right)

где $у = тангенс 2 (⁠ ε / 2 ⁠)$ . Обратите внимание, что для $ε = y = 0$ , $α = λ$ и итерации дважды:

\альфа \приблизительно \лямбда -y\sin {2\лямбда }+{\frac {1}{2}}y^{2}\sin {4\лямбда }

Окончательный расчет

Уравнение времени получается путем подстановки результата расчета прямого восхождения в формулу уравнения времени. Здесь используется $Δ t (M) = M + λ p - α [λ (M)] ; отчасти потому, что не включены небольшие поправки (порядка 1 секунды), которые оправдывали бы использование$ $E$ , а отчасти потому, что цель состоит в том, чтобы получить простое аналитическое выражение. Использование двухчленных приближений для $λ (M)$ и $α (λ)$ позволяет записать $Δ t$ как явное выражение из двух членов, которое обозначается $Δ t ey ,$ поскольку это приближение первого порядка по $e$ и по $y$ .

1) минут

\Delta t_{ey}=-2e\sin {M}+y\sin \left(2M+2\lambda _{p}\right)=-7,659\sin {M}+9,863\sin \left(2M+3,5932\right)

Это уравнение было впервые выведено Милном ^[35]^{: 375,} который записал его в терминах $λ = M + λ p$ . Численные значения, записанные здесь, получены в результате использования значений орбитального параметра, $e$ =0,016 709 , $ε$ =23,4393 ° =0,409 093 радиан, а $λ p$ =282,9381 ° =4,938 201 радиан, что соответствует эпохе 1 января 2000 года в 12 часов дня UT1 . При оценке числового выражения для $Δ t ey$ , как указано выше, калькулятор должен находиться в радианном режиме, чтобы получить правильные значения, поскольку значение $2 λ p - 2π$ в аргументе второго члена записано там в радианах. Также могут быть записаны приближения более высокого порядка, ^[36]^{: Уравнения (45) и (46),} но они обязательно имеют больше членов. Например, приближение второго порядка как по $e,$ так и по $y$ состоит из пяти членов ^[28]^{: 1535}

\Delta t_{e^{2}y^{2}}=\Delta t_{ey}-{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+4ey\sin {M}\cos \left(2M+2\lambda _{p}\right)-{\frac {1}{2}}y^{2}\sin \left(4M+4\lambda _{p}\right)

Это приближение имеет потенциал для высокой точности, однако, чтобы достичь его в широком диапазоне лет, параметры $e$ , $ε$ , и $λ p$ должны изменяться со временем. ^[27]^{: 86}^[28]^{: 1531,1535} Это создает дополнительные вычислительные сложности. Были предложены другие приближения, например, $Δ t e$ ^[27]^{: 86}^[37], которое использует уравнение первого порядка центра, но не другое приближение для определения $α$ , и $Δ t e 2$ ^[38] , которое использует уравнение второго порядка центра.

Переменная времени $M$ может быть записана либо через $n$ , количество дней после перигелия, либо через $D$ , количество дней после определенной даты и времени (эпохи):

3) дней дней

M={\frac {2\pi }{t_{Y}}}n

=M_{D}+{\frac {2\pi }{t_{Y}}}D

=6.240\,040\,77+0.017\,201\,97D

M=6.240\,040\,77+0.017\,201\,97D

Кривые $Δ t$ и $Δ t ey$ вместе с символами, указывающими дневные значения в полдень (с 10-дневными интервалами), полученные из *Многолетнего интерактивного компьютерного альманаха* против $d$ (день) за 2000 год

Здесь $M D$ — значение $M$ в выбранную дату и время. Для приведенных здесь значений в радианах $M D$ — это значение, измеренное для фактического Солнца в эпоху, 1 января 2000 года в 12 часов дня UT1, а $D$ — количество дней после этой эпохи. В периапсиде $M = 2π$ , поэтому решение дает $D = D p$ =2,508 109 . Это помещает перицентр на 4 января 2000 года в 00:11:41, тогда как фактический перицентр, согласно результатам из Multiyear Interactive Computer Almanac ^[39] (сокращенно MICA), приходится на 3 января 2000 года в 05:17:30. Такое большое расхождение происходит из-за того, что разница между радиусом орбиты в двух местах составляет всего 1 часть на миллион; другими словами, радиус является очень слабой функцией времени вблизи перицентра. С практической точки зрения это означает, что нельзя получить высокоточный результат для уравнения времени, используя $n$ и добавляя фактическую дату перицентра для данного года. Однако высокой точности можно достичь, используя формулировку в терминах $D$ .

Когда $D > D p$ , M больше 2 $π$ и нужно вычесть из него кратное 2 $π$ (зависящее от года), чтобы привести его в диапазон от 0 до 2 $π$ . Аналогично для лет до 2000 года нужно добавить кратные 2 $π$ . Например, для 2010 года $D$ изменяется от3653 1 января в полдень4017 31 декабря в полдень; соответствующие значения $M$ равны69.078 9468 и75,340 4748 и уменьшаются до диапазона от 0 до 2π $путем$ вычитания 10 и 11 раз по $2π$ соответственно.

Всегда можно написать:

5) $Д = н Y + д$

где:

$n Y$ = количество дней от эпохи до полудня 1 января желаемого года
$0 \leq d \leq 364$ (365, если расчет ведется для високосного года).

Итоговое уравнение для лет после 2000 года, записанное в виде суммы двух членов, с учетом 1), 4) и 5), выглядит следующим образом:

$a=-7.659\sin(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d))$

$b=9.863\sin \left(2(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d))+3.5932\right)$

6) [минуты] $\Delta t_{ey}=a+b$

В текстовом формате:

7) EoT = -7,659sin(6,24004077 + 0,01720197(365*(y-2000) + d)) + 9,863sin( 2 (6,24004077 + 0,01720197 (365*(y-2000) + d)) + 3,5932) [минут]

Член «a» представляет вклад эксцентриситета, член «b» представляет вклад наклона.

Результат вычислений обычно представляется в виде набора табличных значений или графика уравнения времени как функции $d$ . Сравнение графиков $Δ t$ , $Δ t ey$ и результатов MICA для всего 2000 года показано на рисунке. График $Δ t ey$ близок к результатам, полученным с помощью MICA, абсолютная погрешность Err = | $Δ t ey$ − MICA2000 | составляет менее 1 минуты в течение года; ее наибольшее значение составляет 43,2 секунды и приходится на 276-й день (3 октября). График $Δ t$ неотличим от результатов MICA, наибольшая абсолютная погрешность между ними составляет 2,46 с на 324-й день (20 ноября).

Непрерывность

Для выбора соответствующей ветви отношения $arctan$ относительно непрерывности функции полезна модифицированная версия функции arctangent. Она вносит предыдущие знания об ожидаемом значении по параметру. Модифицированная функция arctangent определяется как:

\arctan _{\eta }x=\arctan x+\pi \operatorname {round} {\left({\frac {\eta -\arctan x}{\pi }}\right)}

Она выдает значение, максимально приближенное к $η$ . Функция $round$ округляет до ближайшего целого числа.

Применяя это, получаем:

\Delta t(M)=M+\lambda _{p}-\arctan _{M+\lambda _{p}}\left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }\right)

Параметр $M + λ p$ здесь позволяет установить $Δ t$ на ближайшее к нулю значение, которое и является искомым.

Светские изменения

Разница между результатами MICA и $Δ t$ проверялась каждые 5 лет в диапазоне с 1960 по 2040 год. В каждом случае максимальная абсолютная ошибка была менее 3 с; наибольшая разница, 2,91 с, имела место 22 мая 1965 года (день 141). Однако для достижения такого уровня точности в этом диапазоне лет необходимо учитывать вековое изменение орбитальных параметров со временем. Уравнения, описывающие это изменение, следующие: ^[27]^{: 86}^[28]^{: 1531,1535}

{\begin{aligned}e&=1.6709\times 10^{-2}-4.193\times 10^{-5}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)-1.26\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36525}}\right)^{2}\\\varepsilon &=23.4393-0.013\left({\frac {D}{36\,525}}\right)-2\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}+5\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{3}{\mbox{ degrees}}\\\lambda _{\mathrm {p} }&=282.938\,07+1.7195\left({\frac {D}{36\,525}}\right)+3.025\times 10^{-4}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}{\mbox{ degrees}}\end{aligned}}

Согласно этим соотношениям, через 100 лет ( $D$ = 36 525 ), $λ p$ увеличивается примерно на 0,5% (1,7°), $e$ уменьшается примерно на 0,25%, а $ε$ уменьшается примерно на 0,05%.

В результате число вычислений, необходимых для любого из приближений высшего порядка уравнения времени, требует, чтобы компьютер выполнил их, если мы хотим достичь их присущей точности в широком диапазоне времени. В этом случае оценить $Δ t$ с помощью компьютера не сложнее, чем любое из его приближений.

Во всем этом отметим, что $Δ t ey,$ как написано выше, легко оценить, даже с помощью калькулятора, достаточно точен (лучше 1 минуты в 80-летнем диапазоне) для корректировки солнечных часов и имеет хорошее физическое объяснение как сумма двух членов, один из-за наклона, а другой из-за эксцентриситета, который использовался ранее в статье. Это неверно ни для $Δ t,$ рассматриваемого как функция $M$ , ни для любого из его приближений более высокого порядка.

Альтернативный расчет

Другая процедура расчета уравнения времени может быть выполнена следующим образом. ^[37] Углы указаны в градусах; применяется обычный порядок операций .

н

= ⁠360°365,24 дня,⁠

где $n$ — средняя угловая орбитальная скорость Земли в градусах в день, также известная как «среднее суточное движение» .

A=\left(D+9\right)n

где $D$ — дата, отсчитываемая в днях, начиная с 1 января (т.е. дни — часть порядковой даты в году). 9 — приблизительное количество дней от декабрьского солнцестояния до 31 декабря. $A$ — угол, на который Земля будет двигаться по своей орбите со средней скоростью от декабрьского солнцестояния до даты $D.$

B=A+0.0167\cdot {\frac {360^{\circ }}{\pi }}\sin \left(\left(D-3\right)n\right)

$B$ — это угол, на который Земля движется от солнцестояния до даты $D$ , включая поправку первого порядка для эксцентриситета орбиты Земли, 0,0167. Число 3 — это приблизительное количество дней от 31 декабря до текущей даты перигелия Земли . Это выражение для $B$ можно упростить, объединив константы до:

B=A+1.914^{\circ }\cdot \sin \left(\left(D-3\right)n\right)

C={\frac {A-\arctan {\frac {\tan B}{\cos 23.44^{\circ }}}}{180^{\circ }}}

Здесь $C$ — это разница между углом, пройденным со средней скоростью, и углом при скорректированной скорости, спроецированным на экваториальную плоскость, и деленная на 180°, чтобы получить разницу в « полуоборотах ». Значение 23,44° — это наклон земной оси («наклон») . Вычитание дает условный знак уравнению времени. Для любого заданного значения $x$ arctan $x$ (иногда записываемый как $tan$ $-1$ $x$ ) имеет несколько значений, отличающихся друг от друга на целое число полуоборотов. Значение, сгенерированное калькулятором или компьютером, может не подходить для этого расчета. Это может привести к тому, что $C$ $будет$ неправильным на целое число полуоборотов. Избыточные полуобороты удаляются на следующем этапе расчета, чтобы получить уравнение времени:

\mathrm {EOT} =720\left(C-\operatorname {nint} {C}\right)

минут

Выражение $nint(C)$ означает ближайшее целое число к $C$ . На компьютере его можно запрограммировать, например, как INT(C + 0.5) . Его значение равно 0, 1 или 2 в разное время года. Вычитание его оставляет небольшое положительное или отрицательное дробное число полуоборотов, которое умножается на 720, количество минут (12 часов), которое требуется Земле, чтобы совершить один полуоборот относительно Солнца, чтобы получить уравнение времени.

По сравнению с опубликованными значениями ^[8] этот расчет имеет среднеквадратичную ошибку всего 3,7 с. Наибольшая ошибка составляет 6,0 с. Это намного точнее, чем описанное выше приближение, но не так точно, как сложный расчет.

Солнечное склонение

Значение $B$ в приведенном выше расчете является точным значением эклиптической долготы Солнца (смещенным на 90°), поэтому солнечное склонение $δ$ становится легкодоступным:

\delta =-\arcsin \left(\sin 23.44^{\circ }\cdot \cos B\right)

что является точным с точностью до долей градуса.

Смотрите также

Азимут – горизонтальный угол от севера или другого опорного направления по стороне света.
Циклы Миланковича – Глобальные климатические циклы

Примечания

^ ab Maskelyne, Nevil (1767). Морской альманах и астрономические эфемериды. Лондон: Commissioners of Longitude .
^ Милхэм, Уиллис И. (1945). Время и хранители времени . Нью-Йорк: Macmillan. С. 11–15. ISBN 978-0780800083.
↑ Британская комиссия по долготе (1794). Морской альманах и астрономические эфемериды на 1803 год. Лондон, Великобритания: C. Bucton.
^ ab Heilbron, JL (1999). Солнце в церкви: соборы как солнечные обсерватории . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN 9780674005365.
^ ab Jenkins, Alejandro (2013). «Положение Солнца на небе». European Journal of Physics . 34 (3): 633–652. arXiv : 1208.1043 . Bibcode : 2013EJPh...34..633J. doi : 10.1088/0143-0807/34/3/633. S2CID 119282288.
^ Отдел астрономических приложений. «Уравнение времени». Военно-морская обсерватория США . Военно-морские силы США . Получено 1 августа 2022 г.
^ Отдел астрономических приложений. "Глоссарий астрономического альманаха". Военно-морская обсерватория США . Военно-морские силы США . Получено 1 августа 2022 г.
^ abc Waugh, Albert E. (1973). Солнечные часы, их теория и конструкция . Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 205. ISBN 978-0-486-22947-8.
^ Кеплер, Иоганнес (1995). Краткое изложение коперниканской астрономии и гармонии мира . Книги Прометея. ISBN 978-1-57392-036-0.
^ Маккарти и Зайдельманн 2009, стр. 9.
^ Нойгебауэр, Отто (1975), История древней математической астрономии , Исследования по истории математики и физических наук, т. 1, Нью-Йорк / Гейдельберг / Берлин: Springer-Verlag, стр. 984–986, doi :10.1007/978-3-642-61910-6, ISBN 978-0-387-06995-1
^ Тумер, Г. Дж. (1998). Альмагест Птолемея . Princeton University Press. стр. 171. ISBN 978-0-691-00260-6.
^ Кеннеди, ES (1956). «Обзор исламских астрономических таблиц». Труды Американского философского общества . 46 (2): 141. doi :10.2307/1005726. hdl : 2027/mdp.39076006359272 . JSTOR 1005726.
Перепечатано в: Kennedy, ES (1989). Обзор исламских астрономических таблиц (2-е изд.). Филадельфия, Пенсильвания: Американское философское общество. стр. 19. ISBN 9780871694621.
↑ Олмстед, Деннисон (1866). Компендиум по астрономии. Нью-Йорк: Collins & Brother.
^ аб Гюйгенс, Кристиан (1665). Корт Ондервис выбрал часовое искусство, чтобы найти длину на Востоке и на Западе. Гаага: [издатель неизвестен].
↑ Флемстид, Джон (1673) [1672 для выходных данных и переплетен с другими разделами, напечатанными в 1673 году]. De Inaequalitate Dierum Solarium . Лондон: William Godbid.
^ Винс, С. "Полная система астрономии". 2-е издание, том 1, 1814 г.
^ Миллс, Аллан (2007). «Универсальный шарнир Роберта Гука и его применение в солнечных часах и солнечных часах». Примечания Rec. R. Soc . 61 (2). Royal Society Publishing: 219–236. doi : 10.1098/rsnr.2006.0172 .
^ Маскелин, Невил (1764). «Некоторые замечания об уравнении времени и истинном способе его вычисления». Philosophical Transactions . 54. Королевское общество : 336–347. JSTOR 105569 .
^ ab "Уравнение времени". Королевские музеи Гринвича . Архивировано из оригинала 10 сентября 2015 года . Получено 29 января 2021 года .
^ "Эксцентричность". Аналемма . Получено 29 января 2021 г.
^ ab Taylor, Kieran (4 ноября 2018 г.). «Уравнение времени: почему солнечное время отличается от времени часов в зависимости от времени года». moonkmft . Получено 29 января 2021 г. .
^ "Obliquity". Аналемма . Получено 29 января 2021 г.
^ Карни, Кевин (декабрь 2005 г.). «Изменение уравнения времени» (PDF) .
^ Миус 1997.
^ "Как узнать точное время солнечного полдня, где бы вы ни находились в мире". Spot-On Sundials . Лондон . Получено 23 июля 2013 г.
^ abcde Даффетт-Смит, Питер; Цварт, Джонатан (2017). Практическая астрономия с калькулятором или электронной таблицей (4-е изд.). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 9781108436076.
^ abcdef Хьюз, Дэвид В.; Яллоп, Б.Д.; Хоэнкерк, Калифорния (июнь 1989 г.). «Уравнение времени». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 238 (4): 1529–1535. дои : 10.1093/mnras/238.4.1529 . ISSN 0035-8711.
^ ab Astronomical Applications Department. «Вычисление приблизительного звездного времени». Военно-морская обсерватория США . Военно-морские силы США . Получено 1 августа 2022 г.
^ Рой, AE (1988). Орбитальное движение (3-е изд.). Бристоль, Англия: A. Hilger. ISBN 0-85274-228-2.
^ ab Moulton, Forest Ray (1914). Введение в небесную механику (2-е изд.). Macmillan.
^ Хинч, Э. Дж. (2002). Методы возмущений . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9781139172189. ISBN 9781139172189.
^ Burington, Richard S. (1965) [1933]. Справочник по математическим таблицам и формулам (4-е изд.). McGraw-Hill. LCCN 63-23531.
^ Уитмен, Алан М. (2007). «Простое выражение для уравнения времени». Компендиум . 14. Североамериканское общество солнечных часов: 29–33. CiteSeerX 10.1.1.558.1314 . ISSN 1074-8059.
^ ab Milne, RM (декабрь 1921 г.). «Заметка об уравнении времени». The Mathematical Gazette . 10 (155). Mathematical Association: 372–375. doi :10.1017/S0025557200232944. S2CID 126276982.
^ Мюллер, М. (1995). «Уравнение времени: проблема в астрономии» (PDF) . Acta Physica Polonica A. 88 ( Приложение). Институт физики Польской академии наук: S49–S67.
^ ab Williams, David O. (2009). "Широта и долгота Солнца". Архивировано из оригинала 23 марта 2012 года.
^ «Приблизительные солнечные координаты, архивированные 24 июля 2011 г. на Wayback Machine », «Военно-морской океанографический портал».
↑ Военно-морская обсерватория США , апрель 2010 г., Многолетний интерактивный компьютерный альманах (версия 2.2.1), Ричмонд, Вирджиния: Willmann-Bell.

Ссылки

Helyar, AG "Sun Data". Архивировано из оригинала 11 января 2004 г.
Миус, Дж. (1997). Кусочки математической астрономии . Ричмонд, Вирджиния: Willman-Bell.
Маккарти, Деннис Д.; Зайдельманн, П. Кеннет (2009). ВРЕМЯ От вращения Земли до атомной физики . Weinheim: Wiley VCH. ISBN 978-3-527-40780-4.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме Уравнение времени (солнечные часы) .

Солнечный калькулятор NOAA
"USNO data services". Архивировано из оригинала 29 мая 2014 года.(включая время восхода/захода/прохождения Солнца и других небесных объектов)
Уравнение времени, описанное на веб-сайте Королевской Гринвичской обсерватории
Уравнение времени и аналемма, Кирон Тейлор
Статья Брайана Танга, содержащая ссылку на программу на языке C, использующую более точную формулу, чем большинство (особенно при больших наклонах и эксцентриситетах). Программа может вычислять солнечное склонение, уравнение времени или аналемму
Выполнение расчетов с использованием геоцентрических планетарных моделей Птолемея с обсуждением его графика внеземного развития
Уравнение времени. Длинные часы Джона Топпинга, 1720 г.
Уравнение коррекции времени - таблица Страница, описывающая, как исправить часы по солнечным часам
Солнечный температурометр: рассчитайте свое солнечное время, включая уравнение времени