В математике понятие абелева многообразия является обобщением эллиптической кривой на более высокие размеры . Уравнения, определяющие абелевы многообразия, являются предметом изучения, поскольку каждое абелево многообразие является проективным многообразием . Однако в размерности d ≥ 2 обсуждать такие уравнения уже не так просто.
Существует большая классическая литература по этому вопросу, который в переформулировке для комплексной алгебраической геометрии является вопросом описания отношений между тета-функциями . Современная геометрическая трактовка теперь ссылается на некоторые основные работы Дэвида Мамфорда с 1966 по 1967 год, который переформулировал эту теорию в терминах абстрактной алгебраической геометрии, справедливой над общими полями .
Единственные «легкие» случаи — это случаи для d = 1, для эллиптической кривой с линейной оболочкой проективной плоскости или проективного 3-пространства. На плоскости каждая эллиптическая кривая задается кубической кривой. В P 3 эллиптическая кривая может быть получена как пересечение двух квадрик .
В общем случае абелевы многообразия не являются полными пересечениями . Методы компьютерной алгебры теперь способны оказывать некоторое влияние на прямую обработку уравнений для малых значений d > 1.
Интерес к поверхности Куммера в геометрии XIX века возник отчасти из-за того, что поверхность четвертой степени представляла собой фактор абелева многообразия с d = 2 по группе автоморфизмов второго порядка, порожденных x → − x на абелевом многообразии.
Мамфорд определил тета-группу, связанную с обратимым пучком L на абелевом многообразии A. Это группа самоавтоморфизмов L , и она является конечным аналогом группы Гейзенберга . Основные результаты касаются действия тета-группы на глобальных сечениях L. Когда L очень обильно , линейное представление может быть описано с помощью структуры тета-группы. Фактически, тета-группа абстрактно является простым типом нильпотентной группы , центральным расширением группы точек кручения на A , и расширение известно (оно фактически задается спариванием Вейля ) . Существует результат о единственности для неприводимых линейных представлений тета-группы с заданным центральным характером , или, другими словами, аналог теоремы Стоуна–фон Неймана . (Для этого предполагается, что характеристика поля коэффициентов не делит порядок тета-группы.)
Мамфорд показал , как эта абстрактная алгебраическая формулировка может объяснить классическую теорию тета-функций с тета-характеристиками , как в случае, когда тета-группа является расширением двукручения A.
Новшеством в этой области является использование преобразования Мукая–Фурье .
Целью теории является доказательство результатов об однородном координатном кольце вложенного абелева многообразия A , то есть заданного в проективном пространстве согласно очень обильному L и его глобальным сечениям. Градуированное коммутативное кольцо , которое образовано прямой суммой глобальных сечений
то есть n -кратное тензорное произведение самого себя, представляется как фактор-кольцо полиномиальной алгебры по однородному идеалу I. Градуированные части I были предметом интенсивного изучения.
Квадратичные соотношения были предоставлены Бернхардом Риманом . Теорема Коидзуми утверждает, что третья степень обильного линейного расслоения нормально порождается . Теорема Мамфорда–Кемпфа утверждает, что четвертая степень обильного линейного расслоения квадратично представлена. Для базового поля характеристики нуль Джузеппе Парески доказал результат, включающий эти (как случаи p = 0, 1), которые были предположены Лазарсфельдом: пусть L — обильное линейное расслоение на абелевом многообразии A. Если n ≥ p + 3, то n -я тензорная степень L удовлетворяет условию N p . [1] Дальнейшие результаты были доказаны Парески и Попой, включая предыдущие работы в этой области. [2]
