Эквиареальная карта

Преобразование, сохраняющее меру площади регионов

В дифференциальной геометрии равноплощадное отображение , иногда называемое аутентичным отображением , представляет собой гладкое отображение одной поверхности на другую, сохраняющее площади фигур.

Характеристики

Если M и N — две римановы (или псевдоримановы ) поверхности, то эквиареальное отображение f из M в N может быть охарактеризовано любым из следующих эквивалентных условий:

• Площадь поверхности f ( U ) равна площади U для каждого открытого множества U на M .
• Откат элемента площади μ _N на N равен μ _M , элементу площади на M .
• В каждой точке p точки M и касательных векторов v и w к точке M в точке p ,

$${\displaystyle {\bigl |}df_{p}(v)\wedge df_{p}(w){\bigr |}=|v\wedge w|\,}$$

где обозначает евклидово клиновое произведение векторов, а df обозначает прямой перенос вдоль f . ${\textstyle \wedge }$

Пример

Примером равновеликой карты, полученной Архимедом из Сиракуз , является проекция единичной сферы x ² + y ² + z ² = 1 на единичный цилиндр x ² + y ² = 1 наружу от их общей оси. Явная формула:

${\displaystyle f(x,y,z)=\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},z\right)}$

для ( x , y , z ) точки на единичной сфере.

Линейные преобразования

Каждая евклидова изометрия евклидовой плоскости является равноплощадной, но обратное неверно. Фактически, отображение сдвига и отображение сжатия являются контрпримерами обратного.

Отображение сдвига переводит прямоугольник в параллелограмм той же площади. Записанное в матричной форме, отображение сдвига вдоль оси x имеет вид

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+vy\\y\end{pmatrix}}.}$

Отображение сжатия удлиняет и сжимает стороны прямоугольника в обратной пропорции, сохраняя площадь. Записанное в матричной форме, с λ > 1, сжатие читается как

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&1/\lambda \end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda x\\y/\lambda .\end{pmatrix}}}$

Линейное преобразование умножает площади на абсолютное значение ее определителя | ad – bc | . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

Метод Гаусса показывает, что каждое равноплощадное линейное преобразование ( включая повороты ) может быть получено путем сложения не более двух сдвигов вдоль осей, сжатия и (если определитель отрицателен) отражения .

В картографических проекциях

В контексте географических карт картографическая проекция называется равновеликой , эквивалентной , аутентичной , равноплощадной или сохраняющей площадь , ^{если площади сохраняются с точностью до постоянного множителя; встраивая целевую карту, обычно рассматриваемую как} подмножество R2 , очевидным образом в R3 , вышеуказанное требование ослабляется до:

${\displaystyle |df_{p}(v)\times df_{p}(w)|=\kappa |v\times w|}$

для некоторого κ > 0, не зависящего от и . Примеры таких проекций см. в разделе равновеликая картографическая проекция . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$

Смотрите также

• Матрица Якоби и определитель

Ссылки

• Прессли, Эндрю (2001), Элементарная дифференциальная геометрия , Springer Undergraduate Mathematics Series, Лондон: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-152-8, МР  1800436