Равносторонний пятиугольник

Равносторонний пятиугольник, построенный из четырех равных кругов, расположенных в цепочке.

В геометрии равносторонний пятиугольник — это многоугольник на евклидовой плоскости с пятью сторонами одинаковой длины . Его пять углов при вершинах могут принимать ряд значений, что позволяет ему образовывать семейство пятиугольников. Напротив, правильный пятиугольник уникален, поскольку он равносторонний и, более того, он равноугольный (его пять углов равны; мера составляет 108 градусов ).

Четыре пересекающихся равных окружности, расположенных в замкнутой цепи, достаточны для определения выпуклого равностороннего пятиугольника. Центр каждой окружности является одной из четырех вершин пятиугольника. Оставшаяся вершина определяется одной из точек пересечения первой и последней окружностей цепи.

Примеры

Внутренние углы выпуклого равностороннего пятиугольника

Выпуклый равносторонний пятиугольник, разрезан на 3 треугольника, что помогает вычислить значение угла δ как функцию α и β.

Когда выпуклый равносторонний пятиугольник разрезан на треугольники, два из них выглядят как равнобедренные (треугольники оранжевого и синего цветов), а третий является более общим (треугольник зеленого цвета). Мы предполагаем, что нам даны смежные углы и . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Согласно теореме синусов длина линии , разделяющей зеленый и синий треугольники, равна:

${\displaystyle a=2\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right).}$

Квадрат длины линии, разделяющей оранжевый и зеленый треугольники, равен:

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=1+a^{2}-2(1)(a)\cos \left(\alpha -{\frac {\pi }{2}}+{\frac {\beta }{2}}\right)\\&=1+4\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)-4\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left(\alpha +{\frac {\beta }{2}}\right).\\\end{aligned}}}$

Согласно теореме косинусов , косинус δ можно увидеть из рисунка:

${\displaystyle \cos(\delta )={\frac {1^{2}+1^{2}-b^{2}}{2(1)(1)}}\ .}$

Упрощая, δ получается как функция α и β:

${\displaystyle \delta =\arccos \left[\cos(\alpha )+\cos(\beta )-\cos(\alpha +\beta )-{\frac {1}{2}}\right].}$

Оставшиеся углы пятиугольника можно найти геометрически: Оставшиеся углы оранжевого и синего треугольников легко находятся, если заметить, что два угла равнобедренного треугольника равны, а все три угла в сумме составляют 180°. Тогда и два оставшихся угла зеленого треугольника можно найти из четырех уравнений, утверждающих, что сумма углов пятиугольника равна 540°, сумма углов зеленого треугольника равна 180°, угол равен сумме своих трех компонентов, а угол равен сумме своих двух компонентов. ${\displaystyle \epsilon ,\gamma ,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Вписанный пятиугольник является равноугольным тогда и только тогда, когда он имеет равные стороны и, таким образом, является правильным. Аналогично, тангенциальный пятиугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда он имеет равные углы и, таким образом, является правильным. ^[2]

Плиточный

Пятиугольная мозаика Каира из равносторонних пятиугольников с двумя несмежными прямыми углами

Существует два бесконечных семейства равносторонних выпуклых пятиугольников, которые заполняют плоскость , одно из которых имеет два смежных дополнительных угла , а другое — два несмежных дополнительных угла. Некоторые из этих пятиугольников могут заполнять плоскость более чем одним способом, и есть один спорадический пример равностороннего пятиугольника, который может заполнять плоскость, но не принадлежит ни к одному из этих двух семейств; его углы примерно равны 89°16', 144°32.5', 70°55', 135°22' и 99°54.5', никаких двух дополнительных. ^[3]

Двумерное отображение

Все равносторонние пятиугольники, нанесенные в область, ограниченную условием α ≥ β ≥ δ. Показаны три области для каждого из трех типов пятиугольников: звездчатые, вогнутые и выпуклые

Равносторонние пятиугольники могут пересекать себя либо вообще не пересекать, либо пересекать себя один, два или пять раз. Те, которые не пересекают себя, называются простыми , и их можно классифицировать как выпуклые или вогнутые. Мы здесь используем термин «звездчатые» для обозначения тех, которые пересекают себя дважды или пять раз. В этом разделе мы исключаем равносторонние пятиугольники, которые пересекают себя ровно один раз.

Учитывая, что мы исключаем пятиугольники, которые пересекают себя один раз, мы можем построить график остальных как функцию двух переменных в двумерной плоскости . Каждая пара значений (α, β) отображается в одну точку плоскости, а также отображается в один пятиугольник.

Периодичность значений α и β и условие α ≥ β ≥ δ позволяют ограничить размер отображения. В плоскости с осями координат α и β уравнение α = β представляет собой линию, разделяющую плоскость на две части (южная граница показана на рисунке оранжевым цветом). Уравнение δ = β как кривая делит плоскость на различные секции (северная граница показана синим цветом).

Обе границы охватывают непрерывную область плоскости, точки которой отображаются в уникальные равносторонние пятиугольники. Точки за пределами области просто отображаются в повторяющиеся пятиугольники, то есть пятиугольники, которые при вращении или отражении могут соответствовать другим, уже описанным. Пятиугольники, которые отображаются точно на эти границы, имеют линию симметрии .

Внутри области уникальных отображений имеются три типа пятиугольников: звездчатые, вогнутые и выпуклые, разделенные новыми границами.

Звездчатый

Звездчатые пятиугольники имеют стороны , пересекаемые другими. Распространенным примером такого типа пятиугольника является пентаграмма . Условием для того, чтобы пятиугольник был звездчатым или самопересекающимся, является наличие 2α + β ≤ 180°. Таким образом, в отображении линия 2α + β = 180° (показана оранжевым цветом на севере) является границей между областями звездчатых и незвездчатых пятиугольников. Пятиугольники, которые отображаются точно на эту границу, имеют вершину, касающуюся другой стороны.

Вогнутый

Вогнутые пятиугольники — это незвездчатые пятиугольники, имеющие по крайней мере один угол больше 180°. Первый угол, который открывается шире 180°, — это γ, поэтому уравнение γ = 180° (граница показана зеленым справа) — это кривая, которая является границей областей вогнутых пятиугольников и других, называемых выпуклыми. Пятиугольники, которые отображаются точно на эту границу, имеют по крайней мере две последовательные стороны, появляющиеся как сторона двойной длины, что напоминает пятиугольник, вырожденный в четырехугольник .

Выпуклый

Выпуклые пятиугольники имеют все пять углов меньше 180° и ни одна сторона не пересекает другие. Распространенным примером этого типа пятиугольника является правильный пятиугольник .

Ссылки

1. Грюнбаум, Б. и Шепард, GC, 1979. Спиральные мозаики и универсалы. Преподавание математики, 88, стр. 50-51. Спиральные мозаики, Пол Гайлюнас
2. Де Вильерс, Майкл, «Равноугольные вписанные и равносторонние описанные многоугольники», Mathematical Gazette 95, март 2011 г., 102–107.
3. Шаттшнайдер, Дорис (1978), «Замощение плоскости конгруэнтными пятиугольниками», Mathematics Magazine , 51 (1): 29–44, doi :10.1080/0025570X.1978.11976672, JSTOR  2689644, MR  0493766